1、第 1 页 共 18 页 2019-2020 学年安徽省宣城市高一下学期期末数学（文）试题学年安徽省宣城市高一下学期期末数学（文）试题 一、单选题一、单选题 1若若ab，则下列不等式成立的是（，则下列不等式成立的是（ ） ） A 22 ab B 33 ab C21 a b Dg1()lab 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】 当0ba， 22 ab，故选项A不正确； 因为 3 yx在R上单调递增，若ab，则 33 ab，故选项 B 正确； 因为ab，所以0ab ，2xy 在R上单调递增，所以 0 221 a b ， 故选项C不正
2、确； 当101,1,lg()21abab，所以选项 D 不正确. 故选：B 【点睛】 本题主要考查了不等式的性质，涉及指数函数和对数函数和幂函数的单调性，属于基础 题. 2已知已知 1 sin 30cos 3 ，则，则sin 230 （ ） A 7 9 B 7 9 C 4 3 9 D 4 3 9 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据条件展开化简得到 1 sin30 3 ，再利用角的变换，得到 sin 230sin 26090cos 260 ，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】 由 1 sin 30cos 3 ，得 131 cossincos 223 ， 化简得 1 sin30 3 ； 第
3、 2 页 共 18 页 sin 230sin 26090cos 260 2 17 12sin3012 99 故选:B 【点睛】 本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型. 3在正三棱柱在正三棱柱 111 ABCABC中，中，M为侧面为侧面 11 ABB A的中心，的中心，N为侧面为侧面 11 ACC A的中的中 心，心，P为为BC的中点，则直线的中点，则直线MN与直线与直线AP的位置关系是（的位置关系是（ ） A相交相交 B平行平行 C异面但不垂直异面但不垂直 D异面且垂直异面且垂直 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 结合正三棱柱的结构特征， 根据M为侧面 11 A
4、BB A的中心，N为侧面 11 ACC A 的中心，得到MNBC判断. 【详解】 如图所示： 因为M为侧面 11 ABB A的中心，N为侧面 11 ACC A的中心， 所以MNBC， 又因为APBC， 所以MNAP且异面， 故选：D 【点睛】 第 3 页 共 18 页 本题主要考查空间两直线的位置关系，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 4关于关于x的不等式的不等式 2 (1)10(0)axaxa 的解集为（的解集为（ ） A 1 1xx a B 1 1 x xx a 或 C 1 x x x1 a 或 D 1 1xx a 【答案】【答案】A 【解析】【解析】不等式转化为 1 10 xx a
5、，再根据两个根的大小关系，解不等式. 【详解】 由 2 (1)10(0)axaxa ，即 1 11010 xaxxx a 不等式对应方程的两个根 1 1 a ，所以不等式的解集是 1 1xx a . 故选：A 【点睛】 本题考查含参不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是当 0a 时，两边同时除以a时，不要忽略变号. 5 人体满足黄金分割比的人体是最美人体，人体满足黄金分割比的人体是最美人体， 0 618 是黄金分割比是黄金分割比 51 2 m 的近似值，的近似值， 黄金分割比还可以表示黄金分割比还可以表示为为2cos72，则，则 2 2 4 2cos 271 mm （ ）
6、 A4 B51 C2 D51 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据2cos72m，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公 式，准确运算，即可求解. 【详解】 根据题意，可得2cos72m， 则 22 2 42cos7244cos 722sin144 2cos 271cos54cos54 mm 第 4 页 共 18 页 2sin 90542cos54 2 cos54cos54 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式， 诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6一个空间几何体的三视图如图，则
7、该几何体的表面积为（一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ） ） A93 B83 C10 D123 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据三视图得出空间几何体的直观图，结合三角形、矩形和梯形的面积公式， 即可求解. 【详解】 由三视图可知： 该几何体是一个棱长和底面边长都是 2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到 的几何体，如图所示， 则 1 11 111 + ABCPC BCBC BABB PACC P SSSSSS 矩形梯形梯形 311 4222(21)25 12 422 312 故选：D 【点睛】 第 5 页 共 18 页 本题考查了几何体的三视图及表面积的计算， 在由三视图还原
8、为空间几何体的实际形状 时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线 在三视图中为虚线， 求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视 图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解 7已知已知ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为 的对边分别为a，b，c， 2 sinsinsinBAC， 13 ac ca ，则，则B （ ） A 5 6 B 6 C 3 D 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据正弦定理，边角互化可得 2 bac，再根据 222 1 acacb caac ，利 用余弦定理求角. 【详解】 2 si
9、nsinsinBAC， 2 1 b ac ， 222 13 acacb caac ， 3 cos 2 B ，又 0,B 6 B 故选:B 【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题 型. 8若数列若数列 n a的通项公式为的通项公式为 1 2 n n a n ，则满足，则满足 1011 2020 n a 的最小的的最小的n的值为（的值为（ ） A1009 B1010 C1011 D1012 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据条件直接解不等式求n的取值范围. 【详解】 由 11011 22020 n n 得202220202020nn， 第 6
10、页 共 18 页 1010n，n的最小值为 1011 故选：C 【点睛】 本题考查数列不等式，属于基础题型. 9已知已知,0m n， 14 3 mn ，则，则mn的最小值为（的最小值为（ ） A3 B9 C6 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由已知条件通过“1”的代入，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】 因为 14 3 mn ， 所以 1141414 ()1 4523 333 nmnm mnmn mnmnmn ， 当且仅当1m，2n时等号成立， 故选:A 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题. 10在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，
11、b，c若若tan7C ， 5 2 cos 8 A，3 2b时，则时，则ABC的面积为（的面积为（ ） A3 7 B 3 7 2 C 3 7 4 D 3 7 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】结合同角三角函数的基本关系可求出 14 sin 4 C ， 2 cos 4 C ， 14 sin 8 A，由两角和的正弦公式可求出sinB，结合正弦定理即可求出a，进而可 求出三角形的面积. 【详解】 因为 sin tan7 cos C C C ，且 22 sincos1CC，解得 14 sin 4 C ， 2 cos 4 C ， 第 7 页 共 18 页 又 5 2 cos 8 A，所以 2 14
12、sin1cos 8 AA， 故 3 7 sinsin()sin()sincoscossin 8 BACACACAC 因为 sinsin ab AB ， 3 2b ，故 sin 2 sin bA a B ， 故 11143 7 sin2 3 2 2242 ABC SabC 故选:B 【点睛】 本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考 查了三角形的面积公式，属于中档题. 11 设设 n S是数列是数列 n a的前的前n项和， 且项和， 且 * 2 nn San nN， 则， 则 n a的通项公式为的通项公式为 n a （ ） A23n B23n C1 2n D1
13、 2n 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由 * 2 nn San nN 结合 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn 即可求出 1 a和 1 21 nn aa ，通过构造法即可求出通项公式. 【详解】 当1n 时，1 11 21aSa， 解得 1 1a ； 当2n时， 1 22(1) nnn aanan 1 21 nn aa ， 1 121 nn aa 1 12a ，12n n a ， 12n n a 故选:C 【点睛】 本题考查了数列通项公式的求解，考查了, nn a S的递推关系求通项公式，考查了等比数 列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题. 12长方体长方
14、体 1111 ABCDABC D的各个顶点都在体积为的各个顶点都在体积为 32 3 的球的球O的球面上，其中的球面上，其中 1 2AA ，底面，底面ABCD是正方形，则是正方形，则OA与平面与平面ABCD所成角的大小为（所成角的大小为（ ） 第 8 页 共 18 页 A 6 B 3 C 2 D 5 6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求出球的半径2R ，进而可求得长方体 1111 ABCDABC D的体对角线长为 24R ，设AB a=，可求得 6a ，取AC的中点E，可得出OE 平面ABCD， 进而可知OAE是直线OA与平面ABCD所成的角，求解即可. 【详解】 因为长方体 1111 A
15、BCDABC D的各个顶点都在体积为 32 3 的球O的球面上， 设球O的半径为R，则 3 432 33 R ，解得2R ， 所以，长方体 1111 ABCDABC D的体对角线长为2 4R ， 设ABa=， 1 2AA ，四边形ABCD为正方形，可得 2 244a ，解得6a ， 取AC的中点E，连接OE，如下图所示： 易知球心O为 1 AC的中点，所以， 1 /OE CC，且 1 1 1 2 OECC， 1 CC 平面ABCD，则OE 平面ABCD， 所以，OAE是直线OA与平面ABCD所成的角， 在RtOAE中，2OA，1OE ， 2 OEA ， 1 sin 2 OE OAE OA ，
16、OAE为锐角，则 6 OAE ，因此，OA与平面ABCD所成角的大小为 6 . 故选：A. 【点睛】 第 9 页 共 18 页 本题考查直线与平面所成角的计算，同时也考查了长方体的外接球，考查计算能力，属 于中等题. 二、填空题二、填空题 13若圆台的母线与高的夹角为若圆台的母线与高的夹角为 3 ，且上下底面半径之差为，且上下底面半径之差为 4，则该圆台的高为，则该圆台的高为 _ 【答案】【答案】 4 3 3 【解析】【解析】设上、下底面半径分别为R、r，圆台高为h，化简tan 3 Rr h 即得解. 【详解】 设上、下底面半径分别为R、r，圆台高为h， 根据轴截面可知tan 3 Rr h ，
17、即 4 3 h ， 所以 4 3 3 h 故答案为： 4 3 3 【点睛】 本题主要考查圆台的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14在在ABC中，内角中，内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，若，若2b，3c ， 18 5 AB AC，则，则a_ 【答案】【答案】 145 5 【解析【解析】根据向量的数量积求出 3 cos 5 A ，再利用余弦定理即可求解. 【详解】 18 cos6cos 5 AB ACcbAA， 3 cos 5 A ， 222 29 2cos 5 abcbcA 第 10 页 共 18 页 145 5 a 故答案为： 145 5 【点睛】 本题考查了
18、向量数量积的定义、余弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题. 15已知已知 2* 2020, n antnnNtR，若数列，若数列 n a中最小项为第中最小项为第 3 项，则项，则 t_ 【答案】【答案】(5,7) 【解析】【解析】结合二次函数的图像和性质即可知 57 222 t ，从而可求出t的取值范围. 【详解】 因为 2 2020f xxtx开口向上，对称轴为 2 t x ，则由题意知 57 222 t ， 所以(5,7)t 故答案为: (5,7). 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，考查了已知数列最小项求参数的取值范围，属于基础题. 16在在ABC中，中，coscos3AB，2 3A
19、B 当当sinsinAB取最大值时，取最大值时， ABC的外接圆半径为的外接圆半径为_ 【答案】【答案】2 【解析】【解析】设sinsinABt与coscos3AB两边平方后相加，可得 2 322cos()ABt， 即 2 1 cos() 2 t AB ，可知AB时，sinsintAB最大，可得角C，再利用正 弦定理即可求解. 【详解】 设sinsinABt，则 2 222 sinsinsinsin2sinsintABABAB， 又因为 2 22 3coscoscoscos2coscosABABAB， 第 11 页 共 18 页 所以 22222 3sin2sinsinsincos2cosco
20、scostAABBAABB 22cos()BA ， 所以 2 1 cos() 2 t AB ， 所以当AB时， max 1t， 2 3 C， 此时ABC的外接圆半径为 2 3 2 3 故答案为：2 【点睛】 本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属 于中档题. 三、解答题三、解答题 17ABC中，角中，角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、 、b、c，其中，其中 cos cos Ab Ba （1）若）若2a，3b ，求边，求边c； （2）若）若sincosCA，求角，求角C 【答案】【答案】 （1）7c ； （2） 2 3 C . 【解析】【解析】(1
21、)结合正弦定理进行边角互化可得sin2sin2AB，从而可求出 2 C ，进 而可得边c. (2)分22AB和22AB 两种情况进行讨论， 结合sin cossin 2 CAA 即 可求出角C. 【详解】 解： （1）由 cossin cossin AbB BaA ，则有sincossincosAABB， 得sin2sin2AB，可得22AB（舍去）或22AB， 所以() 2 CAB ，所以 22 7cab （2）由（1）知22AB或22AB 第 12 页 共 18 页 当22AB时， 由sincossin 2 CAA ， 可得 2 CA 或 2 CA ， 当 2 CA 时，又AB，联合可得A
22、 CB C，不符合题意； 当 2 CA 时，又AB，代入ABC，得 6 A ， 2 3 C 当22AB时，即 2 AB ，得 2 C ，显然不符合条件sincosCA，故舍 去 综上可得 2 3 C 【点睛】 本题考查了二倍角公式，考查了正弦定理，属于中档题.本题难点是第二问需要分多钟 情况讨论. 18已知函数已知函数 26 ( )sincos 4343 f xxx （1）求函数）求函数 ( )f x在区间 在区间 3 , 32 上的最值；上的最值； （2）若）若 4 cos 5 ， 3 , 2 ，求，求2 3 f 的值的值 【答案】【答案】 （1）最大值为 6 4 ，最小值为 2 2 ； （
23、2） 7 624 2 100 . 【解析】【解析】(1)由辅助角公式对函数解析式进行化简，求出 2 3 x 的取值范围，从而可求 出函数的最值. (2)结合同角三角函数的基本关系可求出sin， 结合二倍角公式可求出sin2，cos2， 由两角差的正弦公式即可求出2 3 f 的值. 【详解】 解： 26 ( )sincos 4343 f xxx 2 13 sincos 22323 xx 22 sin 23 x 因为 3 , 32 x ，所以 25 , 336 x ， 第 13 页 共 18 页 所以 23 sin,1 32 x ，所以 2226 sin, 2324 x ， 故函数 ( )f x在
24、区间 3 , 32 上的最大值为 6 4 ，最小值为 2 2 （2）因为 4 cos 5 ， 3 , 2 ，所以 2 3 sin1 cos 5 ， 所以 24 sin22sincos 25 ， 22 7 cos2cossin 25 ， 所以 222 2sin 2sin 2 323323 f 213 sin2cos2 222 224677 624 2 425425100 【点睛】 本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最值的求解，考查了同角三角函数的基本关 系，考查了二倍角公式，考查了两角差了正弦公式，属于中档题. 19数列数列 n a满足满足 1 1a ， * 1 12 nnn aaanN （
25、1）求证：数列）求证：数列 n 1 a 是等差数列；是等差数列； （2）若）若 12231 16 33 nn a aa aa a ，求正整数，求正整数n的最小值的最小值 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）17. 【解析】【解析】 （1）由已知变形为 1 11 2 nn aa ，再利用等差数列的定义证明. （2） 由 （1） 得到 1 21 n a n ， 进而得到 1 1111 (21)(21)2 2121 nn a a nnnn ， 然后用裂项相消法求和，再解不等式即可. 【详解】 （1）因为 * 1 12 nnn aaanN ， 所以 11 2 nnnn aaa a ， 即： 1
26、 11 2 nn aa ， 第 14 页 共 18 页 所以数列 1 n a 是等差数列，首项 1 1 1 a = ，公差2d （2）由（1）可得 1 11 (1)21 n ndn aa ， 1 21 n a n 1 1111 (21)(21)2 2121 nn a a nnnn ， 12231 1 111111 2 13352121 nn a aa aa a nn 11 1 22121 n nn ， 16 2133 n n ，解得16n， 17n，即正整数n的最小值为 17 【点睛】 本题主要考查等差数列的定义和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档 题. 20如图，在四棱锥如图，
27、在四棱锥PABCD中，已知中，已知PB 底面 底面ABCD，底面，底面ABCD是是矩形，点矩形，点 E是是AD中点，中点，2PBABAE （1）求证：平面）求证：平面PCE 平面平面PBE； （2）求点）求点D到平面到平面PCE的距离的距离 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 3 . 【解析】【解析】 （1）根据PB 底面ABCD得到 PBCE再根据四边形ABCD是矩形， E是AD中点，得到CEBE，然后再利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明. （2）利用平面几何知识分别求得CDE和PCE的面积，然后利用等体积法，由 D PCEP CDE VV 求解. 【详解】 第 15 页 共
28、 18 页 （1）PB 底面ABCD，CE 平面ABCD， PBCE 四边形ABCD是矩形，E是AD中点，且2ABAE， 2DECD，90BAECDE 45BEACED 90BEC，即CEBE PBBEB，PB， BE 平面PBE， CE 平面PBE CE 平面PCE， 平面PCE 平面PBE （2）由（1）知2ABAEDECD， 90BADADC， 2 2BECE 且CDE的面积为 2 PB 平面ABCD，BE 平面ABCD， PBBE， 2PB ，482 3PE CE 平面PBE，CEPE PCE的面积为2 6， 设点D到平面PCE的距离为d， 由 D PCEP CDE VV 得 11 2
29、 62 2 33 d ， 6 3 d 【点睛】 本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理，等体积法求点到平面的距离，还考查了 逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 21新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡 情做贡 献生产口罩的固定成本为献生产口罩的固定成本为 200 万元，每生产万元，每生产x万箱，需另投入成本万箱，需另投入成本( )p x万元，当产万元，当产 量不足量不足 90 万箱时，万箱时， 2 1 ( )40 2 p xxx；当产量不小于；当产量不小于 90 万箱时，万箱时， 第 1
30、6 页 共 18 页 8100 ( )1012180p xx x ，若每箱口罩售价，若每箱口罩售价 100 元，通过市场分析，该口罩厂生产元，通过市场分析，该口罩厂生产 的口罩可以全部销售完的口罩可以全部销售完 （1）求口罩销售利润）求口罩销售利润y（万元）关于产量（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】【答案】 （1） 2 1 60200,090 2 8100 1980,90 xxx y xx x ； （2）90万箱. 【解析】【解析】 （
31、1）根据当产量不足 90万箱时， 2 1 ( )40 2 p xxx；当产量不小于 90 万箱 时， 8100 ( )1012180p xx x ，分090 x和90 x两种情况，利用销售收入减 固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型. （2）当090 x时，利用二次函数的性质求得最大值；当90 x时，利用基本不等 式求得最大值，然后从中取最大的即可. 【详解】 （1）当090 x时， 22 11 1004020060200 22 yxxxxx ； 当90 x时， 81008100 10010121802001980yxxx xx ， 2 1 60200,090 2 8100 1980,90
32、 xxx y xx x ， （2）当090 x时， 22 11 60200(60)1600 22 yxxx ， 当60 x时，y取最大值，最大值为 1600 万元； 当90 x时， 81008100 1980198021800yxx xx ， 当且仅当 8100 x x ，即90 x 时，y取得最大值，最大值为 1800万元 综上，当产量为 90 万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为 1800万 第 17 页 共 18 页 元 【点睛】 本题主要考查函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22已知等差数列已知等差数列 n a满足满足 5 4a ， 69 218aa，数
33、列，数列 n b的的前前n项和为项和为 n S满足满足 21 nn Sb. （）求）求 n a和和 n b的通项公式；的通项公式； （）若）若 * nN ， 1 12 2 (2)2 n n a ba ba bnt恒成立，求实数恒成立，求实数t的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （）1 n an， 1 2n n b ； （）2,8. 【解析】【解析】 （）根据题设条件，列出方程组求得 1, a d的值，即可得到得出数列 n a的通 项公式，再利用数列的递推关系，得到数列 n b是首项为 1，公比为 2 的等比数列，即 可求出数列的通项公式； （）由（）可得 1 (1)2n nn a bn
34、，利用乘公比错位相减法，即可求解 【详解】 （）设等差数列 n a的公差为d， 因为 5 4a ， 69 218aa，可得 1 1 44 31818 ad ad ，解得 1 0 1 a d ， 所以 1 (1)1 n aandn， 对于数列 n b，当1n 时， 111 21bSb，解得 1 1b . 当2n时， 11 21 nn Sb ，21 nn Sb， 两式相减，得 1 22 nnn bbb ，即 1 2 nn bb ， 所以 n b是以 1 为首项，2为公比的等比数列，所以 1 2n n b . （）由（）可得 1 (1)2n nn a bn . 令 1 12 2nn n Taba b
35、a b， 当1n 时， 1 0T . 当2n时， 1221 1 222(2)2(1)2 nn n Tnn ， 则 231 21 222(2)2(1)2 nn n Tnn . 第 18 页 共 18 页 两式相减，得 231 2222(1)2 nn n Tn 22 (1)2(2)22 12 n nn nn ， 得(2) 22 n n Tn，而1n 时也符合该式，所以(2) 22 n n Tn， 故题中不等式可化为(2) 2(2) n nnt.（） ， 当1n 时，不等式（）可化为2t ，解得2t ； 当2n时，不等式（）可化为00，此时tR； 当3n时，不等式（）可化为2nt ，因为数列 2 n 是递增数列，所以8t ， 综上，实数t的取值范围是2,8. 【点睛】 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用， 此类题目是数列问题中的常见题型， 解答中确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键， 易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能 力及基本计算能力等.
