1、第 1 页 共 14 页 2019-2020 学年安徽省宣城六校高一下学期期中联考数学试学年安徽省宣城六校高一下学期期中联考数学试 题题 一、单选题一、单选题 1设设a、b、c为实数，且为实数，且0ab ，则下列不等式正确的是（，则下列不等式正确的是（ ） A 2 aab B 22 acbc C ba ab D 11 ab 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据不等式的性质可判断. 【详解】 对于 A，ab，当0a时， 2 aab，故 A错误； 对于 B，当0c =时， 22 acbc，故 B 错误； 对于 C，不等式 ba ab 等价于 22 ba，不符，故 C错误； 对于 D，0ab，
2、11 ab ，故 D正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查不等式的性质，属于基础题. 2已知已知2tab， 2 1sab，则，则t和和s的大小关系为的大小关系为 Ats Bts Cts Dts 【答案】【答案】D 【解析】【解析】试题分析：化简 st 的结果到完全平方的形式 （b1）2，判断符号后得出 结论 解：st=a+b2+1a2b=b22b+1=（b1）20， 故有 st， 故选 D 点评：本题考查完全平方公式的应用，用比较法证明不等式的方法，作差变形 判断符号得出结论 3设各项为正数的等比数列设各项为正数的等比数列 n a中，若中，若 2 3a ， 4 27a ，则，则q （ ） A3
3、 B9 C3 D9 第 2 页 共 14 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分析：由等比数列的通项直接可求得 q. 详解：由各项为正数的等比数列 n a中， 2 3a ， 4 27a ，q0 2 4 2 9 3 a q a q 故选 A. 点睛：考查等比数列的通项公式，注意题目条件为正项等比数列，故公比大于零，属于 基础题. 4若若x、y满足约束条件满足约束条件 10 10 330 xy xy xy ，则目标函数，则目标函数3zxy的最小值为（的最小值为（ ） A2 B1 C7 D3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 作出不等式组所表示的可行域， 平移直线3zxy， 找出使得直线3z
4、xy 在x轴上的截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】 作出不等式组 10 10 330 xy xy xy 所表示的可行域如下图所示： 联立 10 330 xy xy ，解得 2 3 x y ，即点2,3A， 平移直线3zxy， 当直线3zxy经过可行域的顶点A时， 直线3zxy在x轴 上的截距最小，此时z取最小值，即 min 23 37z . 第 3 页 共 14 页 故选：C. 【点睛】 本题考查线性规划中线性目标函数最值的求解，一般通过平移直线找出最优解，考查数 形结合思想的应用，属于基础题. 5已知已知ABC中，且中，且 1 1,2,sin 2 abA则则sin
5、B（ ） A 2 2 B 3 2 C 1 4 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用正弦定理即可得到答案. 【详解】 由正弦定理 sinsin ab AB ， 可得 1 2 sin2 2 sin 12 bA B a . 故选：A 【点睛】 本题考查了正弦定理的简单运用，属于基础题. 6在等差数列在等差数列 n a中，中， 37 =20=4，aa，则前，则前11项和为（项和为（ ） A22 B44 C66 D88 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由等差数列的通项公式表示已知，求得首项和公差，再代入等差数列前 n 项和 公式中，求得答案. 【详解】 在等差数列 n a中， 311
6、 71 =22032 =646 aada aadd 所以 111 11 11 111 11 1 1111 32622 22 Sad 故选：A 【点睛】 本题考查等差数列中知三求二，主要应用到通项公式和前 n项和公式构建方程组求解， 属于简单题. 第 4 页 共 14 页 7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ 积是（ ） A72 B48 C27 D36 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角三角形，直角边长 分别是 4，6cm，三棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长是 3，利用体积公式得到结果
7、 【详解】 由题可得直观图为三棱柱，故体积为：VSh 1 4 6336 2 ，故选 D. 【点睛】 本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积， 本题解题的关键是看出所给的几何 体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题 8已知已知 ABC中，中，AB6，A 30 ，B120 ，则，则 ABC的面积为的面积为( ) A9 B18 C93 D183 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由三角形内角和求出C，由三角形的性质求出边 BC，根据面积公式求出三 角形面积. 【详解】 由三角形内角和：30C，故三角形为等腰三角形，所以6ABBC， 由三角形面积公式： 1 6 6 sin9 3 2
8、 SB . 故选 C. 【点睛】 本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也 可以通过正弦定理. 9已知正实数已知正实数a，b满足满足1ab，则 ，则 12 ab 的最小值为（的最小值为（ ） 第 5 页 共 14 页 A 3 2 B3 C 32 2 2 D3 2 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】将 12 ab 化为 122 3 ba ab abab ，利用基本不等式可求最小值. 【详解】 因为1ab，故 12122 3 ba ab ababab ， 由基本不等式可得 2 2 2 ba ab ，当且仅当21,22ab时等号成立， 故 12 ab 的最小
9、值为3 2 2 . 故选：D. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，注意利用“1”的代换构造积为定值的形式，本题属于基 础题. 10如图，正方如图，正方体体 1111 ABCDABC D中，中，E为棱为棱 1 BB的中点，用过点的中点，用过点A、E、 1 C的的 平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图 【详解】 解：正方体 1111 ABCDABC D中， 第 6 页 共 14 页 过点 1
10、 , ,A E C的平面截去该正方体的上半部分后， 剩余部分的直观图如图： 则该几何体的正视图为图中粗线部分 故选 A 【点睛】 本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题 11 已知已知 n a是等比数列，是等比数列，0 n a ， 且， 且 243 546 2144a aa aa a， 则， 则 35 aa等于 （等于 （ ） A6 B12 C18 D24 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据等比数列中等比中项的性质，将等式化简，即可由各项大于 0得解. 【详解】 由等比数列性质可知 243546 2144a aa aa a， 可化为 22 3355 2144aa aa， 即
11、 2 35 144aa， 因为0 n a ， 所以 35 12aa， 故选：B. 【点睛】 本题考查了等比数列中等比中项性质的简单应用，属于基础题. 12已知数列已知数列 n a是是 1 为首项，为首项，2 为公差的等差数列，为公差的等差数列， n b是是 1 为首项，为首项，2 为公比的等为公比的等 比数列，设比数列，设 n nb ca ， 12nn Tccc，nN ，则当，则当2020 n T 时，时，n的最大值的最大值 为（为（ ） A9 B10 C11 D24 第 7 页 共 14 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题意计算21 n an， 1 2n n b ， 1 22 n
12、 n Tn ，解不等式得到答案. 【详解】 n a是以 1为首项，2 为公差的等差数列，21 n an, n b是以 1为首项，2 为公比的等比数列， 1 2n n b , 21 12 n nnbbb Tcccaaa 1 124 2n aaaa 1 (2 1 1)(2 2 1)(2 4 1)2 21 n 1 2 1242nn 1 1 2 222 1 2 n n nn ， 2020 n T ， 1 222020 n n ，解得9n， 则当2020 n T 时，n的最大值是 9. 故选：A. 【点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活 运用. 二、填空题
13、二、填空题 13已知不等式组已知不等式组 0 2 30 xy xy x ，则平面区域的面积是，则平面区域的面积是_ 【答案】【答案】16 【解析】【解析】作出不等式组的可行域，求出交点，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】 作出不等式组 0 2 30 xy xy x 表示的可行域，如图（阴影部分） ： 第 8 页 共 14 页 则8AB ，点1,1C 到直线3x 的距离为4， 所以平面区域的面积 11 48 416 22 SAB . 故答案为：16 【点睛】 本题考查了不等组表示的平面区域，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14设等差数列设等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n
14、S，且，且 3 0a ，若，若 53 3aa，则，则 9 5 S S _. 【答案】【答案】 27 5 【解析】【解析】由等差数列的性质可得 95 53 9 5 Sa Sa ，代入相应值即可. 【详解】 依题意， 19 95 15 53 9 9 2 5 5 2 aa Sa aa Sa ， 又 5 3 3 a a ， 9 5 927 3 55 S S . 【点睛】 本题考查等差数列的前 n项和，等差数列的性质，属于基础题. 15一段长为一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个菜园面积最大时，这个矩形菜园的篱笆围成一个矩形菜园，当这个菜园面积最大时，这个矩形菜园 的长为的长为_ 第 9 页 共
15、 14 页 【答案】【答案】9 【解析】【解析】设这个矩形菜园的长为x，则宽为18x，求出面积，利用基本不等式即可求 解. 【详解】 设这个矩形菜园的长为x，则宽为18x， 所以这个菜园面积 () 2 18 1881 2 xx Sxx 骣+ - 琪=-? 琪 桫 ， 当且仅当18xx，即9x时，等号成立. 故答案为：9. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 16在在ABC中，角中，角 A，B，C的对边分别为的对边分别为 a， ，b，c，且，且2 coscoscosaCbCcB， 则则C _. 【答案】【答案】 3 【解析】【解析】利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果. 【详
16、解】 由正弦定理可知，2sincossincossincossinACBCCBA 1 ,0,sin,cos 2 A CAC，即 3 C . 故答案为： 3 . 【点睛】 本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题. 三、解答题三、解答题 17解下列不等式：解下列不等式： （1） 2 540 xx； （2） 21 0 3 x x 【答案】【答案】 （1）1,4； （2） 1 ,3, 2 【解析】【解析】 （1）根据一元二次不等式的解法即可求解. （2）利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】 第 10 页 共 14 页 （1） 22 540540 xxxx 41014xxx ， 所以不等式的解集
17、为1,4. （2） 21 02130 3 x xx x 3x或 1 2 x ， 所以不等式的解集为 1 ,3, 2 . 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法、分式不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属 于基础题. 18ABC中，中，a7，c3，且，且 sin sin C B 3 5 （1）求）求 b； （2）求）求A 【答案】【答案】 （1）5b； （2）A120 . 【解析】【解析】由正弦定理求得 b，由余弦定理求得 cosA，进而求出A 的值 【详解】 （1）由正弦定理得 sin b B sin c C 可得， c b sin sin C B 3 5 ，所以 b 5 3 3 5 （2
18、）由余弦定理得 cosA 222 2 cba c b 92549 2 3 5 1 2 ，又因为0 ,180A ， 所以A120 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出 b 的值，是解题的 关键 19已知等差数列已知等差数列 n a满足：满足： 3 7a ， 57 26aa， n a的前的前n项和为项和为 n S （1）求）求 n a和和 n S； （2）令）令 n n S b n ，nN ，求证数列，求证数列 n b是等差数列是等差数列 【答案】【答案】 （1）21 n an； 2 2 n Snn； （2）证明见详解. 第 11 页 共 14 页 【解析】【解析
19、】 （1）利用等差数列的性质求出等差数列的首项与公差，再利用等差数列的通项 公式以及前n项和公式即可求解. （2）利用等差数列的定义即可证明. 【详解】 （1）设等差数列 n a的公差为d， 由 57 26aa， 则 6 226a ，所以 6 13a ， 又 3 7a ，则 63 37313aadd， 解得2d ，所以 31 27aad，解得 1 3a ， 所以 1 13 2121 n aandnn ， 22 1 1 32 2 n n n Snadnnnnn . （2）由（1）可得2 n n S bn n ， 1 1221 nn bbnn ， 所以数列 n b是等差数列. 【点睛】 本题考查了
20、等差数列的性质、等差数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的定义， 需熟记定义，属于基础题. 20ABC的内角的内角 , ,A B C的对边分别为 的对边分别为, ,a b c， 222 sinsinsinsinsinBCABC . （1 1）求）求A； （2 2）若）若4a，ABC的面积为的面积为4 3，求，求bc. 【答案】【答案】 （1） 3 ； （2）8. 【解析】【解析】(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果； （2）利用面积公式和余弦定理可得结果. 【详解】 （1）因为 222 sinsinsinsinsinBCABC，所以 222 bcabc， 第 12 页 共 1
21、4 页 则 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为0A，所以 3 A . （2）因为ABC的面积为4 3，所以 13 sin4 3 24 bcAbc，即16bc ， 因为 222 ,4bcabc a，所以 22 32bc， 所以 22 2648bcbcbc . 【点睛】 本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力， 难度不大. 21已知二次函数满足已知二次函数满足 2 0f xaxbxc a，满足，满足 12f xf xx，且，且 01f （1）函数）函数 f x的解析式；的解析式； （2）若当）若当 1,1x 时，不等式时，不等式 3f
22、 xxa恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 2 1f xxx ； （2）2a 【解析】【解析】 （1）利用待定系数法即可求解. （2） 由 （1） 分离参数可得 2 41axx ， 只需当 1,1x 时， 2 max 41axx 即可. 【详解】 （1）由 2 0f xaxbxc a， 01f，则1c， 又 12f xf xx，则 2 2 11112a xb xaxbxx ， 整理可得22axa bx ， 即 22 0 a ab ，解得 1 1 a b ，所以 2 1f xxx . （2）当 1,1x 时，不等式 3f xxa恒成立， 即 2 41ax
23、x 在 1,1x 恒成立， 设 2 41g xxx， 第 13 页 共 14 页 对称轴2x，开口朝下， 所以 g x在1,1上单调递增， 所以 max 11 4 12g xg ， 所以2a. 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式、一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查 了分离参数法求参数值，属于基础题. 22 若若 n S是公差不为是公差不为 0 0 的等差数列的等差数列 n a的前的前n项和， 且项和， 且 124 ,S S S成等比数列，成等比数列， 2 4S . . （1 1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2 2）设）设 1 3 , nn nn bT a
24、a 是数列是数列 n b的前的前n项和，求使得项和，求使得 20 n m T 对所有对所有n N 都成立都成立 的最小正整数的最小正整数m. . 【答案】【答案】(1) 21 n an (2) m的最小值为30. 【解析】【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差， 根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用 等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出 3311 21 212 2121 n b nnnn ，利用裂项相消法求得数列 n b的前n项 和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得
25、结果 试题解析： （1）因为 n a为等差数列，设 n a的首项为 1 a，公差为d0d ，所以 112141 ,2,46Sa Sad Sad 又因为 124 ,S S S成等比数列，所以 2 111 462aadad所以 2 1 2a dd 因为公差d不等于0， 所以 1 2da 又因为 2 4S ， 所以 1 a1,d2=， 所以21 n an （2）因为 3311 21 212 2121 n b nnnn ， 所以 311111 1 23352121 n T nn 313 1 2212 n T n 要使 20 n m T 对所有n N 都成立，则有 3 202 m ，即30m因为m N ，所以m 的最小值为 30 第 14 页 共 14 页 【考点】等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题
