1、第 1 页 共 21 页 2019-2020 学年安徽省宣城市高一下学期期末数学（理）试题学年安徽省宣城市高一下学期期末数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1关于关于x的不等式的不等式 2 (1)10(0)axaxa 的解集为（的解集为（ ） A 1 1xx a B 1 1 x xx a 或 C 1 x x x1 a 或 D 1 1xx a 【答案【答案】A 【解析】【解析】不等式转化为 1 10 xx a ，再根据两个根的大小关系，解不等式. 【详解】 由 2 (1)10(0)axaxa ，即 1 11010 xaxxx a 不等式对应方程的两个根 1 1 a ，所以不等式的解集是 1 1
2、xx a . 故选：A 【点睛】 本题考查含参不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是当 0a 时，两边同时除以a时，不要忽略变号. 2已知已知 1 sin 30cos 3 ，则，则sin 230 （ ） A 7 9 B 7 9 C 4 3 9 D 4 3 9 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据条件展开化简得到 1 sin30 3 ，再利用角的变换，得到 sin 230sin 26090cos 260 ，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】 由 1 sin 30cos 3 ，得 131 cossincos 223 ， 第 2 页 共 21 页 化简得 1 sin30
3、3 ； sin 230sin 26090cos 260 2 17 12sin3012 99 故选:B 【点睛】 本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型. 3 在正三棱柱在正三棱柱 111 ABCABC中，中， M为侧面为侧面 11 ABB A的中心，的中心， N为侧面为侧面 11 ACC A的中心，的中心， P为为BC的中点，则直线的中点，则直线MN与直线 与直线AP所成的角为（所成的角为（ ） A0 B45 C60 D90 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意画出图形，可得MNBC，再由APBC，得到APMN，则答案 可求. 【详解】 如图， M为侧面 11
4、ABB A的中心，N为侧面 11 ACC A的中心， MNBC， P 为BC的中点，连接AP，则 APBC. APMN，即直线MN与直线AP所成的角为90. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4数列数列 n a的前的前 n项和为项和为21 n Snn（ * nN） ，若） ，若 173 aaka，则实数，则实数 k等等 第 3 页 共 21 页 于（于（ ） A2 B3 C 26 9 D 25 9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由已知结合递推公式可求 n a，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 因为21 n Snn
5、， 所以 11 1aS， 当2n时， 1 211 2343 nnn aSSnnnnn ， 11 1aS适合上式，故43 n an， 因为 173 aaka， 1 259k， 解可得 26 9 k 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了由数列前 n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题. 5 人体满足黄金分割比的人体是最美人体，人体满足黄金分割比的人体是最美人体， 0 618 是黄金分割比是黄金分割比 51 2 m 的近似值，的近似值， 黄金分割比还可以表示为黄金分割比还可以表示为2cos72，则，则 2 2 4 2cos 271 mm （ ） A4 B51 C2 D51 【答案】【
6、答案】C 【解析】【解析】根据2cos72m，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公 式，准确运算，即可求解. 【详解】 根据题意，可得2cos72m， 则 22 2 42cos7244cos 722sin144 2cos 271cos54cos54 mm 第 4 页 共 21 页 2sin 90542cos54 2 cos54cos54 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式， 诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（一个空间几何体的三视
7、图如图，则该几何体的表面积为（ ） ） A93 B83 C10 D123 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据三视图得出空间几何体的直观图，结合三角形、矩形和梯形的面积公式， 即可求解. 【详解】 由三视图可知： 该几何体是一个棱长和底面边长都是 2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到 的几何体，如图所示， 则 1 11 111 + ABCPC BCBC BABB PACC P SSSSSS 矩形梯形梯形 311 4222(21)25 12 422 312 故选：D 【点睛】 第 5 页 共 21 页 本题考查了几何体的三视图及表面积的计算， 在由三视图还原为空间几何体的实际形状 时，要根据三视图
8、的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线 在三视图中为虚线， 求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视 图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解 7已知已知ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为 的对边分别为a，b，c， 2 sinsinsinBAC， 13 ac ca ，则，则B （ ） A 5 6 B 6 C 3 D 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据正弦定理，边角互化可得 2 bac，再根据 222 1 acacb caac ，利 用余弦定理求角. 【详解】 2 sinsinsinBAC， 2 1 b ac
9、 ， 222 13 acacb caac ， 3 cos 2 B ，又 0,B 6 B 故选:B 【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题 型. 8已知已知 m，0n， 41 2 1mn ，则，则mn的最小值为（的最小值为（ ） A 7 2 B7 C8 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用“乘 1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】 m，0n， 41 2 1mn ， 第 6 页 共 21 页 41114119 11554 122122 nm mnmn mnmn ， 当且仅当 41 1 nm mn 且 41 2 1mn ，即2m， 3
10、 2 n 时取等号， 故mn的最小值 7 2 . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了均值不等式求最值，“1”的变形使用，属于中档题. 9 在在ABC中， 角中， 角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c 若 若tan 7C ， 5 2 cos 8 A， 3 2b 时，则时，则ABC的面积为（的面积为（ ） A3 7 B 3 7 2 C 3 7 4 D 3 7 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】结合同角三角函数的基本关系可求出 14 sin 4 C ， 2 cos 4 C ， 14 sin 8 A，由两角和的正弦公式可求出sinB，结合正弦定理即可求出a，进而可 求出三角形
11、的面积. 【详解】 因为 sin tan7 cos C C C ，且 22 sincos1CC，解得 14 sin 4 C ， 2 cos 4 C ， 又 5 2 cos 8 A，所以 2 14 sin1cos 8 AA， 故 3 7 sinsin()sin()sincoscossin 8 BACACACAC 因为 sinsin ab AB ， 3 2b ，故 sin 2 sin bA a B ， 故 11143 7 sin2 3 2 2242 ABC SabC 故选:B 第 7 页 共 21 页 【点睛】 本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考 查了三角
12、形的面积公式，属于中档题. 10 已知数列已知数列 n a满足：满足： 1 1a ， 22 1 2121 nn nana （ * nN） .正项数列正项数列 n c 满足：对于每个满足：对于每个 * nN， 21nn ca ，且，且 21n c ， 2n c， 21n c 成等比数列，则成等比数列，则 2 1 n c 的的 前前 n项和为（项和为（ ） A 1 n n B 2 21 n n C 21 n n D 21 n n 【答案】【答案】C 【解析】【解析】运用数列的累乘法求得 2 21 n an，再由等比数列的中项性质可得 2 2 41 n cn，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.
13、 【详解】 22 1 2121 nn nana （ * nN） ， 可得 2 1 21 21 n n an an ， 由 1 1a ，可得 32 1 121 n n n aaa aa aaa 222 23521 121 1323 n n n ， 可得 2 21 21 nn can ， 由 21n c ， 2n c， 21n c 成等比数列， 可得 2 22 22 22121 212141 nnn cccnnn ， 可得 2 2 41 n cn， 则 2 2 , 1, n n n c nn 为奇数 为偶数 ， 所以 222 111111111 1 214123352121 21 nn n 11
14、1 22121 n nn . 第 8 页 共 21 页 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了数列的递推关系，等比数列，累乘法，数列求和，属于中档题. 11ABC中角中角 A， B， C所对的边分别为所对的边分别为 a， b， ， c， 已知， 已知 a， b， c 成等差数列， 且成等差数列， 且2CA， 若若AC边上的中线边上的中线 79 2 BD ，则，则ABC的周长为（的周长为（ ） A15 B14 C16 D12 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即 可求得结果. 【详解】 由 a，b，c 成等差数列可知，2bac，
15、因为2CA， 所以sinsin22sincosCAAA， 由正弦定理及余弦定理可得， 222 2 2 bca ca bc ， 所以 2223 bcabaca ， 所以 3 2 ca， 5 4 ba， 若AC边上的中线 79 2 BD ， 所以 22 2 53 792 42 aaa ， 解可得4a，5b，6c ， 故ABC的周长为 15. 故选：A. 【点睛】 该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列 的条件，以及边角关系，属于简单题目. 12 如图， 在三棱锥如图， 在三棱锥PABC中，中，PA 平面平面ABC， ，ABBC，ADBP，PAAC， 若三棱锥若
16、三棱锥PABC外接球的表面积为外接球的表面积为8，则三棱锥，则三棱锥PACD体积的最体积的最大值为（大值为（ ） 第 9 页 共 21 页 A 2 3 B 1 2 C 3 4 D 2 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设ABa=，BCb，由三棱锥PABC外接球的表面积为8，可得出 22 4ab .根据等体积法得 22 4 3 2 P ABCDAABPCDC V ab VV ab ，利用基本不等 式可求得三棱锥PACD体积的最大值. 【详解】 设ABa=，BCb，由三棱锥PABC外接球的表面积为8，得外接球的半径 2R .又PA 平面ABC，AB BC， 所以 2 222222 228AB
17、BCAPACAPAPR，所以2AP ，所以 22 4ab . 因为PA 平面ABC，ADPB，所以 2 4PBa ， 2 2 4 a BD a ，过 D作 DEAB，垂足为 E，则DE 平面ABC， 所以/DE PA，所以 DEBD PABP ，所以 2 2 2 4 a DE a ，所以 2 2 222 11244 2 3643 43 2 P ABCD ABCACDP ACD aabab VVSPADEabV aaab 442 23 6 2 3 ab ba ，当且仅当 2ab ba ，即 2 3 3 a ， 2 6 3 b 时，“=”成立， 所以三棱锥PACD体积的最大值为 2 3 . 故选：
18、A. 第 10 页 共 21 页 【点睛】 本题考查三棱锥的外接球的相关计算，等体积法的运用，属于较难题. 二、填空题二、填空题 13若圆台的母线与高的夹角为若圆台的母线与高的夹角为 3 ，且上下底面半径之差为，且上下底面半径之差为 4，则该圆台的高为，则该圆台的高为 _ 【答案】【答案】 4 3 3 【解析】【解析】设上、下底面半径分别为R、r，圆台高为h，化简tan 3 Rr h 即得解. 【详解】 设上、下底面半径分别为R、r，圆台高为h， 根据轴截面可知tan 3 Rr h ，即 4 3 h ， 所以 4 3 3 h 故答案为： 4 3 3 【点睛】 本题主要考查圆台的计算，意在考查学
19、生对该知识的理解掌握水平. 14设设 n S是等比数列是等比数列 n a的前的前 n项和，项和， 42 2 nnn SSS （ * nN） ，且） ，且 1 2S ，则，则 20202021 aa_. 【答案】【答案】4或 0 【解析】【解析】设等比数列 n a的公比为 q，化简已知得 2 2121nnnn qaaaa ，再分 类讨论即得解. 第 11 页 共 21 页 【详解】 由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解. 由 42 2 nnn SSS 可得 422nnnn SSSS ， 即 4312nnnn aaaa ， 2 2121nnnn qaaaa ， 若 21 0 nn aa
20、则1q ，此时 1 21 n n a ， 若 21 0 nn aa ，则1q ，此时2 n a ， 故 20202021 0aa或 20202021 4aa. 故答案为：4或 0 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15已知已知 2* 2020, n antnnNtR，若数列，若数列 n a中最小项为第中最小项为第 3 项，则项，则 t_ 【答案】【答案】(5,7) 【解析】【解析】结合二次函数的图像和性质即可知 57 222 t ，从而可求出t的取值范围. 【详解】 因为 2 2020f xxtx开口向上，对称轴为 2 t x ，则由题意知 5
21、7 222 t ， 所以(5,7)t 故答案为: (5,7). 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，考查了已知数列最小项求参数的取值范围，属于基础题. 16在在ABC中，中，coscos3AB，2 3AB 当当sinsinAB取最大值时，取最大值时， ABC的外接圆半径为的外接圆半径为_ 【答案】【答案】2 【解析】【解析】设sinsinABt与coscos3AB两边平方后相加，可得 2 322cos()ABt， 第 12 页 共 21 页 即 2 1 cos() 2 t AB ，可知AB时，sinsintAB最大，可得角C，再利用正 弦定理即可求解. 【详解】 设sinsinABt，则 2
22、222 sinsinsinsin2sinsintABABAB， 又因为 2 22 3coscoscoscos2coscosABABAB， 所以 22222 3sin2sinsinsincos2coscoscostAABBAABB 22cos()BA ， 所以 2 1 cos() 2 t AB ， 所以当AB时， max 1t， 2 3 C， 此时ABC的外接圆半径为 2 3 2 3 故答案为：2 【点睛】 本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属 于中档题. 三、解答题三、解答题 17已知在平面四边形已知在平面四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与 与BD
23、交于点交于点 E，ADE为正三角形，为正三角形， 1CE ，ACD的面积为的面积为 3 3 2 . （1）求）求CD的长；的长； （2）若）若 12 BAC ，求，求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）7CD ； （2） 93 3 4 . 【解析】【解析】 （1）直接利用三角形的面积公式和余弦定理的应用求出结果. （2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果. 【详解】 第 13 页 共 21 页 解： （1）根据题意，如图所示： 平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点 E， ADE为正三角形，1CE ，ACD的面积为 3 3 2 . 设ADx， 则 13 3 1 sin
24、60 22 ACD Sxx ，解得2x或3（负值舍去） ， 故2AD . 利用余弦定理： 22222 1 2cos120122 1 2 2 CDCEDECE DE ， 解得7CD . （2）在BAD中， 33124 ABD ， 利用正弦定理 sinsin ADAB ABDADB ，解得 2 3 2 AB . 所以 12 393 3 3 sin 21242 ABC S . 【点睛】 本题考查三角形的面积公式和正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题. 18已知函数已知函数 26 ( )sincos 4343 f xxx （1）求函数）求函数 ( )f x在区间 在区间 3 , 32 上的最值；上的最
25、值； （2）若）若 4 cos 5 ， 3 , 2 ，求，求2 3 f 的值的值 第 14 页 共 21 页 【答案】【答案】 （1）最大值为 6 4 ，最小值为 2 2 ； （2） 7 624 2 100 . 【解析】【解析】(1)由辅助角公式对函数解析式进行化简，求出 2 3 x 的取值范围，从而可求 出函数的最值. (2)结合同角三角函数的基本关系可求出sin， 结合二倍角公式可求出sin2，cos2， 由两角差的正弦公式即可求出2 3 f 的值. 【详解】 解： 26 ( )sincos 4343 f xxx 2 13 sincos 22323 xx 22 sin 23 x 因为 3
26、, 32 x ，所以 25 , 336 x ， 所以 23 sin,1 32 x ，所以 2226 sin, 2324 x ， 故函数 ( )f x在区间 3 , 32 上的最大值为 6 4 ，最小值为 2 2 （2）因为 4 cos 5 ， 3 , 2 ，所以 2 3 sin1 cos 5 ， 所以 24 sin22sincos 25 ， 22 7 cos2cossin 25 ， 所以 222 2sin 2sin 2 323323 f 213 sin2cos2 222 224677 624 2 425425100 【点睛】 本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最值的求解，考查了同角三角函数
27、的基本关 系，考查了二倍角公式，考查了两角差了正弦公式，属于中档题. 19如图，在三棱锥如图，在三棱锥DABC中，已知中，已知BCD 是正三角形，平面是正三角形，平面BCD平面平面ABC， ABBC，E为为BC的中点，的中点，F在棱在棱AC上，且上，且3AFFC . 第 15 页 共 21 页 （1）求证：）求证：AC 平面平面DEF； （2）若）若M为为BD的中点，问的中点，问AC上是否存在一点上是否存在一点N，使，使/MN平面平面DEF？若存在，？若存在， 说明点说明点N的位置；若不存在，试说明理由的位置；若不存在，试说明理由. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）存在， 3 8
28、CNCA. 【解析】【解析】 （1）取AC中点H，由三角形中位线和已知长度关系可知EHEC且F为 CH中点，三线合一得到EFAC；由面面垂直性质可得DE 平面ABC，由线面 垂直性质知DEAC；由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）假设存在满足题意的点N，由线面平行的性质可知/MNFO；根据重心的性质 可得到比例关系 2 3 CFCN，即 3 8 CNAC，从而可说明存在点N. 【详解】 （1）取AC中点H，连接EH ,E H分别为,BC AC中点 1 2 EHAB 又 1 2 ECBC，ABBC EHEC 3AFFC 11 42 FCACCH，即F为CH中点 EFAC BCD为等边三角形，
29、E为BC中点 DEBC 平面ABC 平面BCD，平面ABC平面BCDBC DE平面ABC AC 平面ABC DEAC ,DE EF 平面DEF，DEEFE AC平面DEF （2）假设AC上存在点N，使得/MN平面DEF 第 16 页 共 21 页 连接CM，交DE于点O，连接FO /MN平面DEF，MN 平面CMN，平面CMN平面DEFFO /MNFO ,CM DE为等边 BCD的两条中线 O为BCD的重心 2 3 COCM 2 3 CFCN，即 12 43 ACCN 3 8 CNAC 存在点N，满足 3 8 CNAC时，/MN平面DEF 【点睛】 本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、存在性
30、问题的求解，涉及到面面垂直的性质 定理、线面垂直的判定与性质定理、线面平行的性质定理的应用；解决本题中的线面平 行的存在性问题的关键是能够假定存在后， 利用线面平行的性质确定平面内与所证直线 平行的直线，进而确定比例关系. 20新冠肺炎疫情发生新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡 献生产口罩的固定成本为献生产口罩的固定成本为 200 万元，每生产万元，每生产x万箱，需另投入成本万箱，需另投入成本( )p x万元，当产万元，当产 量不足量不足 90 万箱时，万箱时， 2 1 ( )40 2 p xxx；当
31、产量不小于；当产量不小于 90 万箱时，万箱时， 8100 ( )1012180p xx x ，若每箱口罩售价，若每箱口罩售价 100 元，通过市场分析，该口罩厂生产元，通过市场分析，该口罩厂生产 的口罩可以全部销售完的口罩可以全部销售完 （1）求口罩销售利润）求口罩销售利润y（万元）关于产量（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】【答案】 （1） 2 1 60200,090 2 8100 1980,90 xxx y xx x ； （2）90
32、万箱. 【解析】【解析】 （1）根据当产量不足 90万箱时， 2 1 ( )40 2 p xxx；当产量不小于 90 万箱 第 17 页 共 21 页 时， 8100 ( )1012180p xx x ，分090 x和90 x两种情况，利用销售收入减 固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型. （2）当090 x时，利用二次函数的性质求得最大值；当90 x时，利用基本不等 式求得最大值，然后从中取最大的即可. 【详解】 （1）当090 x时， 22 11 1004020060200 22 yxxxxx ； 当90 x时， 81008100 10010121802001980yxxx xx ，
33、2 1 60200,090 2 8100 1980,90 xxx y xx x ， （2）当090 x时， 22 11 60200(60)1600 22 yxxx ， 当60 x时，y取最大值，最大值为 1600 万元； 当90 x时， 81008100 1980198021800yxx xx ， 当且仅当 8100 x x ，即90 x 时，y取得最大值，最大值为 1800万元 综上，当产量为 90 万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为 1800万 元 【点睛】 本题主要考查函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21 如图， 四棱锥如图， 四棱锥PABCD中，中，
34、PA 底面底面ABCD， ，/ /ADBC，3ABADAC， 4PABC=，M为线段为线段AD上一点，上一点，2AMMD，N为为PC的中点的中点. 第 18 页 共 21 页 （1）证明：）证明：/MN平面平面PAB； （2）求点）求点A到平面到平面PMN的距离；的距离； （3）求直线）求直线AN与平面与平面PMN所成角的正弦值所成角的正弦值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析（2） 4 5 5 （3） 8 5 25 【解析】【解析】 （1）取PB中点G，连接,AG NG，根据已知条件，可证四边形AMNG为平 行四边形，即可得证结论； （2） 点A到平面PMN的距离， 即为点A到平面PCM的
35、距离， 求出PCM，ACM 的面积， P ACMA PCM VV 等体积法，即可求出结论； （3）由（2）的结论，得出直线与平面所成的角，解直角三角形，即可求解. 【详解】 （1）证明：取PB中点G，连接,AG NG， N为PC的中点，/NGBC，且 1 N2 2 GBC， 又 2 2 3 AMAD，且/ /ADBC， /AMBC，且 1 2 AMBC， 则/NGAM，且NGAM， 四边形AMNG为平行四边形，/ /MNAG. 又AG 平面PAB.MN 平面PAB， /MN平面PAB. （2）取BC的中点H，连接AH，ABAC， AHBC且5AH ，四边形AHCM是矩形， CMAD，又PA 平
36、面ABCD，PACM， CM 平面PAM且5CMAH， 过点A作AF 平面PMN于F， 则AF即为点A到平面PMN的距离. P ACMA PCM VV ， 11 33 ACMPCM SPASAF ， 22 11 254542 22 AF ， 4 5 5 AF . 第 19 页 共 21 页 （3）连接,AN NF由（2）知 ANF即为直线AN与平面PMN所成的角， 在Rt PAC中，4PA，3AC ，5PC ， 又N是PC的中点， 15 22 ANPC， 8 5 sin 25 AF ANF AN ， 所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 8 5 25 . 【点睛】 本题考查线面平行的证明，
37、考查点到面距离，以及直线与平面所成的角，解题的关键是 等体积法的应用，属于中档题.f 22已知等差数列已知等差数列 n a满足满足 5 4a ， 69 218aa，数列，数列 n b的前的前n项和为项和为 n S满足满足 21 nn Sb . （）求）求 n a和和 n b的通项公式；的通项公式； （）若）若 * nN ， 1 12 2 (2)2 n n a ba ba bnt恒成立，求实数恒成立，求实数t的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （）1 n an， 1 2n n b ； （）2,8. 【解析】【解析】 （）根据题设条件，列出方程组求得 1, a d的值，即可得到得出数列 n
38、a的通 项公式，再利用数列的递推关系，得到数列 n b是首项为 1，公比为 2 的等比数列，即 可求出数列的通项公式； （）由（）可得 1 (1)2n nn a bn ，利用乘公比错位相减法，即可求解 【详解】 第 20 页 共 21 页 （）设等差数列 n a的公差为d， 因为 5 4a ， 69 218aa，可得 1 1 44 31818 ad ad ，解得 1 0 1 a d ， 所以 1 (1)1 n aandn， 对于数列 n b，当1n 时， 111 21bSb，解得 1 1b . 当2n时， 11 21 nn Sb ，21 nn Sb， 两式相减，得 1 22 nnn bbb ，
39、即 1 2 nn bb ， 所以 n b是以 1 为首项，2为公比的等比数列，所以 1 2n n b . （）由（）可得 1 (1)2n nn a bn . 令 1 12 2nn n Taba ba b， 当1n 时， 1 0T . 当2n时， 1221 1 222(2)2(1)2 nn n Tnn ， 则 231 21 222(2)2(1)2 nn n Tnn . 两式相减，得 231 2222(1)2 nn n Tn 22 (1)2(2)22 12 n nn nn ， 得(2) 22 n n Tn，而1n 时也符合该式，所以(2) 22 n n Tn， 故题中不等式可化为(2) 2(2) n nnt.（） ， 当1n 时，不等式（）可化为2t ，解得2t ； 当2n时，不等式（）可化为00，此时tR； 当3n时，不等式（）可化为2nt ，因为数列 2 n 是递增数列，所以8t ， 综上，实数t的取值范围是2,8. 【点睛】 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用， 此类题目是数列问题中的常见题型， 解答中确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键， 易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能 力及基本计算能力等. 第 21 页 共 21 页
