1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年湖北省十堰市高一下学期期末数学试题学年湖北省十堰市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1下列几何体中是四棱锥的是（下列几何体中是四棱锥的是（ ） ） A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由四棱锥的定义判断. 【详解】 因为一个多面体的一个面是四边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多 面体叫做四棱锥.只有 C 符合， 故选：C 【点睛】 本题主要考查四棱锥的定义和几何特征，属于基础题. 2sin115 cos55cos115 sin55 （ （ ） A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 2 2 【答案】【答
2、案】A 【解析】【解析】逆用两角差的正弦公式进行化简即可. 【详解】 3 sin115 cos55cos115 sin55sin60 2 【点睛】 本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题. 3关于关于 x的一元二次不等式的一元二次不等式 2 0axbxc的解集是空集的条件是（的解集是空集的条件是（ ） A 0 0 a B 0 0 a C 0 0 a D 0 0 a 【答案】【答案】B 第 2 页 共 15 页 【解析】【解析】根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，即可得一元二次不等式 2 0axbxc的解集是空集的条件. 【详解】 要使 2 0axbxc的解集是空集，则需满足 0 0 a
3、. 故选：B 【点睛】 本题考查一元二次不等式与二次函数之间的关系， 考查转化与化归的思想， 属于基础题. 4在在ABC中，角中，角 A，B，C所对的边分别是所对的边分别是 a， ，b，c.若若 A= = 2 3 ，B= = 4 ，a= =6，则，则 b= = （ ） A3 2 B6 C62 D26 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用正弦定理可以直接求解. 【详解】 因为 sinsin ab AB ，所以 2 6 sin 2 2 6 sin3 2 aB b A . 故选：D. 【点睛】 本题考查正弦定理解三角形，属于基础题. 5数列数列 1 11 1 , 5 79 11 ，的通项公式可能
4、是的通项公式可能是 n a （ ） A 1 ( 1) 23 n n B ( 1) 32 n n C 1 ( 1) 32 n n D ( 1) 23 n n 【答案】【答案】D 【解析】【解析】分别代入 1 1 5 a 与 2 1 7 a 判断排除即可. 【详解】 由 1 1 5 a ，排除 A，C，由 2 1 7 a ，排除 B. 故选：D. 第 3 页 共 15 页 【点睛】 本题主要考查了数列通项公式的判定与排除法的运用，属于基础题. 6若若0a b c ，且，且abc，则下列不等式一定成立的是（，则下列不等式一定成立的是（ ） ） A 22 abb c B abac Cacbc D ab
5、bc 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据0a b c ，且abc，得到0a ，0c ，然后利用不等式的基本 性质判断. 【详解】 因为0a b c ，且abc， 所以0a ，0c 因为bc，0a ， 所以abac， 所以 B不成立； 因为ab，0c ， 所以acbc一定成立，故 C 正确； 当0b时，A、D不成立 故选：C 【点睛】 本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 7 2 sin15 cos 7.50.5 （ ） A 1 8 B 3 8 C 1 4 D 3 4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用余弦二倍角公式和正弦二倍角公式求值即可 【详解】 22 1111 sin15
6、 cos 7.50.5sin15 2cos 7.51sin15 cos15sin30 2248 故选：A 【点睛】 本题考查三角函数求值，考查二倍角的应用，属于基础题 第 4 页 共 15 页 8若若m，n是两条不同的直线，是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是 （ ） A若若/m，n ，m n，则，则 B 若若m，n/，/ ，则，则mn C若若/m， n/， /m n，则，则 / D 若若m，n， 则， 则/m n 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据线面平行与垂直的判定和性质定理判断即可. 【详解】 对于 A：若/m，n，
7、mn，则与可能平行、相交或垂直，故 A 错误； 对于 B：由n/，/ ，可得/n或n，又m，所以mn，故 B正确； 对于 C：若/m，n/，/m n，则与可能平行、相交或垂直，故 C错误； 对于 D：若m，n，则mn，故 D错误. 故选：B. 【点睛】 本题考查了空间中线面平行于垂直的判定和性质定理的应用，属基础题. 9在数列在数列 n a中，中， 11 1,3 nn aaa ，则，则 10 a（ ） A2 B2 C1 D1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先求 2 2a ， 3 1a ，再判断数列 n a是周期为 2 的周期数列，最后求 10 a即 可. 【详解】 因为 11 1,3 n
8、n aaa ，所以 23 2,1aa，则数列 n a是周期为 2 的周期数列，故 102 2aa 故选：B. 【点睛】 本题考查数列的递推关系，属于基础题. 10 在在ABC中， 角中， 角A， B， C所对的边分别是所对的边分别是a， b， ， c 若 若 222 tan2sinacbAacB， 则则ABC的形状一定是（的形状一定是（ ） A等腰三角形等腰三角形 B直角三角形直角三角形 C等腰直角三角形等腰直角三角形 D等腰三角形或等腰三角形或 第 5 页 共 15 页 直角三角形直角三角形 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由余弦定理得 222 cos 2 acb B ac ，代入化简得
9、tantanAB，故可得答案. 【详解】 由余弦定理得 222 cos 2 acb B ac ，所以 222 tan2sinacbAacB， 所以tantanAB，得AB，故ABC是等腰三角形 故选：A 【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生的逻辑推理能力， 属于基础题. 11如图，在三棱柱如图，在三棱柱 111 ABCABC中，中， 1 AA 平面平面ABC，四边形，四边形 11 BCC B为正方形，为正方形， 24BCAB，ABBC，D为为 11 C B的中点，则异面直线的中点，则异面直线 11 AC与与AD所成角的余弦所成角的余弦 值为（值为（ ） A 3
10、 5 B 10 10 C 30 10 D 2 5 5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】过点 D 作 11 /DF AC交 11 AB于点 F，连接 1 ,AF AD，得到 ADF为异面直线 11 AC与AD所成的角，在 ADF中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】 如图所示，过点 D 作 11 /DF AC交 11 AB于点 F，连接 1 ,AF AD， 则ADF为异面直线 11 AC与AD所成的角， 由题意，在直角 11 AB D中，可得 22 1 222 2AD ， 第 6 页 共 15 页 在直角 1 AAD中，可得 2 222 11 42 22 6ADAAAD ， 在直角 1 B
11、DF中，可得 22 125DF ， 在直角 1 AAF中，可得 22 4117AF ， 所以 222 245 1730 cos 2102 2 65 ADDFAF ADF AD DF . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准 确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力. 12 已知等差数列已知等差数列 n a的前的前 n项和项和 n S满足满足 33 18,180,270 nn SSS ， 则， 则n（ ） A12 B13 C14 D15 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据等差数列的前n项和与等差数列的性质求解. 【详解】 因为
12、 32 318Sa，所以 2 6a ，又 31 390 nnn SSa ，所以 1 30 n a 故 121 270 22 nn n n aan aa S ，解得15n 故选：D. 【点睛】 本题考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计 算量,属于基础题 二、填空题二、填空题 13不等式不等式 2 60 xx 的解集为的解集为_ 第 7 页 共 15 页 【答案】【答案】( 6,0) 【解析】【解析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】 原不等式等价于(6)0 x x ，解得60 x 故答案为：( 6,0) . 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法
13、，考查对基础知识和基本技能的掌握，属于基础题. 14在等比数列在等比数列 n a中，中， 3 3a ， 11 12a ，则，则 7 a _ 【答案】【答案】6 【解析】【解析】根据 n a是等比数列，且 3 3a ， 11 12a ，利用等比中项求解. 【详解】 因为在等比数列 n a中， 3 3a ， 11 12a ， 所以 2 73 11 36aa a， 所以 7 6a 因为 4 73 0aa q， 所以 7 6a 故答案为：6 【点睛】 本题主要考查等差中项的应用，属于基础题. 15已知某圆柱的侧面展开图是边长为已知某圆柱的侧面展开图是边长为 6 的正方形，则该圆柱的体积为的正方形，则该
14、圆柱的体积为_ 【答案】【答案】 54 【解析】【解析】根据圆柱体积公式，结合侧面展开图的性质进行求解即可 【详解】 因为圆柱的侧面展开图是边长为 6的正方形， 所以该圆柱的底面圆的周长为 6，因此半径为 3 ，而圆柱的高为 6， 故该圆柱的体积为 2 354 6 第 8 页 共 15 页 故答案为： 54 【点睛】 本题考查了圆柱体积公式的计算，考查了数学运算能力. 16设矩形设矩形 ()ABCD ABAD的周长为的周长为8cm，把，把ADC沿沿AC向向ABC折叠，折叠，CD 折过去后交折过去后交AB于点于点 M设设cmABx，则，则ADM面积的最大值为面积的最大值为_ 2 cm 【答案】【
15、答案】12 8 2 【解析】【解析】易得：DMBM，设cm(24)ABxx，所以(4)cmADx设 cmDMy ，则()cmAMxy，在ADM中，根据勾股定理有 222 (4)()xyxy，解得 8 4y x 进一步可得 16 122 ADM Sx x ，利 用基本不等式求出最值 【详解】 如图，易证ADMCBM，则DMBM， 因为矩形()ABCD ABAD的周长为8cm，设cm(24)ABxx，所以 (4)cmADx设cmDMy，则()cmAMxy，则有 222 (4)()xyxy，解得 8 4y x 2 11816 (4) 4122128 2cm 22 ADM SAD DMxx xx ，
16、当且仅当 2 2cmx 时，等号成立 第 9 页 共 15 页 所以ADM面积的最大值为12 8 2 . 故答案为：12 8 2 . 【点睛】 本题考查建立函数模型解决实际问题的知识点，考查了逻辑思维能力和计算能力，涉及 到基本不等式，属于基础题型. 三、解答题三、解答题 17已知已知 54 ,0,cos,sin 255 （1）求）求sin2； （2）求）求tan(2 ) 【答案】【答案】 （1） 24 25 ； （2） 2 11 【解析】【解析】 （1）由角的范围和同角三角函数的关系求得cos，再由正弦的二倍角公式求 得答案； （2）由（1）求得cos2 ,tan2sin,tan再由正切的和
17、角公式求得答案. 【详解】 解： （1）因为 4 0,sin 25 ，所以 2 3 cos1sin 5 ， 则 24 sin22sincos 25 （2）由（1）可知 2 7sin224 cos212sin,tan2 25cos27 因为 5 0,cos 25 ，所以 2 2 5sin sin1cos,tan2 5cos 故 24 2 tantan22 7 tan(2 ) 24 1tantan211 12 7 【点睛】 本题考查同角三角函数的关系，正弦、余弦的二倍角公式，正切的和角公式，属于中档 题. 18已知已知 n a是等差数列，且是等差数列，且 12 12aa， 4 11a . 第 10
18、 页 共 15 页 （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）若）若 1 1 n nn b a a ，求数列，求数列 n b的前的前 n项和项和 n S. 【答案】【答案】 （1）23 n an； （2） 5 25 n n S n . 【解析】【解析】 （1）直接利用等差数列公式解方程组得到答案. （2） 111 2 2325 n b nn ，利用裂项相消法求和得到答案. 【详解】 （1）设数列 n a的公差为 d，因为 12 4 12 11 aa a ，所以 1 1 212 311 ad ad ， 解得 1 5 2 a d ，则21253 n nna，所以数列 n a的通项
19、公式为23 n an. （2）因为 1 11 2325 n nn b a ann ，所以 111 2 2325 n b nn ， 所以 1 111111 2 57792325 n S nn ，即 1 11 2 5255 25 n n S nn . 【点睛】 本题考查了等差数列通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综 合应用. 19在三棱柱在三棱柱 111 ABCABC中，中， 1 AA 平面平面ABC，ABBC，D，E分别为分别为AC， 1 BB的中点的中点. （1）证明：）证明：BD 平面平面 11 ACC A. 第 11 页 共 15 页 （2）证明：）证明：/BD平面平
20、面 1 AEC. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1） 由于三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱， 所以 1 CCBD， 又由ABBC， D是AC的中点，可得BD AC，而 1 CCACCI，由线面垂直的判定定理可得 BD 平面 11 ACC A. （2）连接 1 AC交 1 AC于点 O，连接DO，EO，可证得四边形ODBE为平行四边形， 从而得/BD OE，由线面平行的判定定理可证得/BD平面 1 AEC. 【详解】 证明： （1）在直三棱柱 111 ABCABC中， 因为 1 CC 底面ABC，BD 底面ABC，所以 1 CCBD. 因为A
21、BBC，D 是AC的中点，所以BDAC. 因为 1 CC在平面 11 ACC A内，AC在平面 11 ACC A内， 1 CCACCI， 所以BD 平面 11 ACC A. （2）如图，连接 1 AC交 1 AC于点 O，连接DO，EO. 因为 O，D分别为 1 AC，AC的中点， 所以 1 /OD CC， 1 1 2 ODC C 因为 11 /CC B B， 11 CCB B，所以 /OD EB，ODEB， 所以四边形ODBE为平行四边形， 所以/BD OE. 因为BD平面 1 AEC外，OE在平面内 1 AEC，所以/BD平面 1 AEC. 【点睛】 第 12 页 共 15 页 此题考查线
22、面垂直的判定和线面平行的判定，属于基础题. 20在在ABC中，内角中，内角 A，B，C所对的边分别为所对的边分别为 a， ，b，c，已知，已知sinsinbBaC， 且且2ac （1）求）求cosB； （2）若）若ABC的面积为的面积为4 7，求，求ABC的周长的周长 【答案】【答案】 （1） 3 4 ； （2）12 4 2 【解析】【解析】 （1）由正弦定理角化边得 2 bac，又由余弦定理算出cosB即可； （2）由（1）得 7 sin 4 B ，再由三角形面积公式可得4c ，进而得到三角形的周长. 【详解】 （1）因为sinsinbBaC，所以 2 bac， 因为2ac，所以 22222
23、222 2 423 cos 2244 acbacacccc B acacc ， （2）因为0B，所以 2 97 sin1 cos1 164 BB， 因为ABC的面积为 2 17 sin4 7 24 acBc ，所以4c ， 因为2ac，所以8a ， 因为 2 32bac ，所以 4 2b ， 故ABC的周长为 844 2124 2abc 【点睛】 本题考查正余弦定理的应用，考查学生的逻辑推理与运算求解能力. 21在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD，底面 ，底面ABCD为菱形，且为菱形，且 120BAD. 第 13 页 共 15 页 （1）证明：）证明：BD 平面平面PAC
24、. （2）若）若90BPD，且，且BPD的面积为的面积为 27 4 .求四棱锥求四棱锥PABCD的体积的体积. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 9 6 4 . 【解析】【解析】 （1）由四边形ABCD为菱形可得ACBD，由PA 平面ABCD可得 PABD，而PAACA，从而可证得BD 平面PAC. （2）由已知条件可得BPD为等腰直角三角形，由BPD的面积为 27 4 ，得 3 6 2 PB ，进而求出23 3DBPB，从而可求出3ABAD，求出底面菱 形的面积，再在直角三角形PAB中利用勾股定理求出PA的长，然后可求出结果. 【详解】 （1）证明：因为底面ABCD为菱形，所以A
25、CBD. 又，BD平面ABCD内，所以PABD. 因为PAACA，所以BD 平面PAC. （2）解：由题知PAAD，PAAB.因为ADAB，PAPA，所以 RtPADRtPAB ，则PBPD. 因为90BPD，所以BPD为等腰直角三角形， 所以DPB的面积 2 127 24 DPB SPB ，解得 3 6 2 PB ， 所以23 3DBPB. 在ABD中，由余弦定理得 222 2cosBDADABAD ABBAD，解得 3ABAD， 2 222 3 63 2 3 22 PAPBAB . 第 14 页 共 15 页 所以菱形ABCD的面积 2 139 3 2sin3 222 SAD ABBAD
26、. 四棱锥PABCD的体积 119 33 29 6 33224 P ABCD VS PA . 【点睛】 此题考查线面垂直的判定，求棱锥的体积，属于中档题. 22在数列在数列 n a中，中， 11 14,340 nn aaa （1）证明：数列）证明：数列2 n a 是等比数列是等比数列 （2）设）设 1 ( 1) 31 31 n n n nn a b ，记，记数列数列 n b的前的前n项和为项和为 n T，若对任意的，若对任意的 *, n nNmT恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 , 14 . 【解析】【解析】 （1）由 1 340 n
27、n aa 得 1 232 nn aa ，再结合等比数列的定义即可 证明； （2）先根据（1）求出432 n n a ，进而得 1 1 ( 1)11 ( 1) 313131 31 n n n n nn nn a b ，再分 n为偶数和奇数两类情况并结 合裂项求和法讨论即可. 【详解】 解： （1）证明：因为 1 340 nn aa ， 所以 1 34 nn aa ， 所以 1 232 nn aa ，即 * 1 2 3 2 n n a nN a 因为 1 14a ，所以 1 212a ， 故数列2 n a 是以 12 为首项，3为公比的等比数列 （2）解：由（1）可得 1 212343 nn n
28、a ，即432 n n a ， 第 15 页 共 15 页 则 111 ( 1)432 ( 1)11 ( 1) 313131 3131 31 nn n n n n nnnnnn a b 当 n为偶数时， 22311 11111111 3 131313131313131 n nnnn T L 11 1111 3 131431 nn ， 因为 1 11 431 n n T 是递减的，所以 13 414 n T 当 n为奇数时， 22311 11111111 3 131313131313131 n nnnn T 11 1111 3 131431 nn ， 因为 1 1 0 31 n ，所以 1 4 n T 要使对任意的 *, n nNmT恒成立，只需max n mT，即 3 14 m ， 故m 的取值范围是 3 , 14 【点睛】 本题考查利用递推关系证明等比数列，裂项求和法求和，分类讨论思想，数列不等式恒 成立问题，考查分析解决问题的能力与运算能力，是中档题.
