1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1 要得到函数要得到函数 3sin 2 3 yx 的图象， 只需将函数的图象， 只需将函数3sin2yx的图象 （的图象 （ ） A向左平移向左平移 3 个单位长度个单位长度 B向右平移向右平移 3 个单位长度个单位长度 C向左平移向左平移 6 个单位长度个单位长度 D向右平移向右平移 6 个单位长度个单位长度 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 将所给函数化为3sin 2 6 yx ， 根据三角函数相位变换原则可得结果. 【详解】 3sin
2、23sin 2 36 yxx 只需将3sin2yx的图象向左平移 6 个单位长度即可得到3sin 2 3 yx 的图 象 故选：C 【点睛】 本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对x的变化量的变换，遵循 “左加右减”原则. 2O是平面上一定点，是平面上一定点， , ,A B C是平面上不共线的三个点，动点 是平面上不共线的三个点，动点P满足满足 ABAC OPOA ABAC ，0,，则，则P点的轨迹一定经过点的轨迹一定经过ABC的（的（ ） A外心外心 B内心内心 C重心重心 D垂心垂心 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先根据 | AB AB 、 | AC AC 分别表示向量
3、 AB 、AC 方向上的单位向量，确定 第 2 页 共 19 页 | A A BA AC C B 的方向与BAC的角平分线一致，再由 ABAC OPOA ABAC 可得 到 ABAC OP OAAP ABAC ，可得答案 【详解】 解： | AB AB 、 | AC AC 分别表示向量 AB 、AC 方向上的单位向量， | A A BA AC C B 的方向与BAC的角平分线一致， 又 ABAC OPOA ABAC ， ABAC OP OAAP ABAC ， 向量 AP 的方向与BAC的角平分线一致 P点的轨迹一定经过 ABC的内心. 故选：B 【点睛】 本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘
4、，以及对三角形内心的理解，考查化简运算 能力 3已知数列已知数列 n a为等差数列，为等差数列， 1 0a 且且 123199 0aaaa，设，设 * 12nnnn ba aanN ，当，当 n b的前的前n项和项和 n S最小时，最小时，n的值有（的值有（ ） A5 个个 B4 个个 C3 个个 D2 个个 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据等差数列的性质可知 100 0a=，从而判断数列 n a是单调递增数列，即可 判断当 n b的前n项和 n S最小时，n可取的值. 第 3 页 共 19 页 【详解】 数列 n a为等差数列， 11992198100 2aaaaa+=+=， 123
5、199 0aaaa，则 100 1990a=，即 100 0a=， 1 0a ，可以判断数列 n a是单调递增数列， 99101 0,0aa， 12nnnn ba aa ， 12323412nnnn Sa a aa a aa aa + =+， 当 n b的前n项和 n S最小时，n可取的值为 97，98，99，100共 4个. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，属于中档题. 4设设O为为ABC所在平面内一点，满足所在平面内一点，满足2730OAOBOC ，则，则ABC的面积的面积 与与BOC的面积的比值为（的面积的比值为（ ） A6 B 8 3 C 12 7 D4 【答案】【答
6、案】A 【解析】【解析】作 2OAOA ， 7OBOB ， 3OCOC ，由已知可得O是A B C的重 心，由重心性质可得所求面积比 【详解】 作 2OAOA ， 7OBOB ， 3OCOC ，如图，2 730OAOBOC ，O是 A B C的重心，则 OA BOB COC A SSS ，设 OA BOB COC A SSSt ， 设 , OABOACyOBC Sx SSz ， 2OAOA ， 7OBOB ， 3OCOC ， 1 sin 2 14 1 sin 2 OA B OAB OA OBA OB S S OA OBAOB ，即 1 14 xt，同理 1 6 yt， 1 21 zt， 第 4
7、 页 共 19 页 1116 1462121 ABC Sxyztttt ， 6 21 6 1 21 ABC OBC t S S t 故选：A 【点睛】 本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形 问题中的优越性 二、填空题二、填空题 5计算：计算： 5 arcsin sin 6 _； 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】用诱导公式把 5 sin 6 中的角化到, 2 2 中即可由反正弦函数定义得出结 论也可直接计算 【详解】 5 arcsin sinarcsin sin 666 或者 51 arcsin sinarcsin 626 故答案为： 6 【点睛】
8、本题考查反正弦函数，掌握反正弦函数定义是解题关键，注意反正弦函数的值域是 , 2 2 第 5 页 共 19 页 6关于未知数关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为的方程组对应的增广矩阵为 216 320 ，则此方程组的解，则此方程组的解 xy_； ； 【答案】【答案】 30 7 【解析】【解析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程的解 x，y，最后求x y 的值. 【详解】 由二元线性方程组的增广矩阵为 216 320 ， 得到二元线性方程组的表达式 2 +6 320 x y xy ， 解得 12 7 18 7 x y ，所以x y 30 7 . 故答案为: 30 7 . 【点睛】 此题
9、主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，属于基础题. 7设设 3 ,sin 2 a ， 1 cos, 3 b ，且，且 /ab，则 ，则cos2_ 【答案】【答案】0 【解析】【解析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角 函数，求出2的值，最后计算出它的余弦值即可. 【详解】 因为 /ab，所以 31 sincossin2122() 232 kkZ ， 因此cos2cos(2)0() 2 kkZ . 故答案为：0 【点睛】 本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函 数值，考查了数学运算能力. 8已知函数已知函数 sincosf
10、 xaxx的的一条对称轴为一条对称轴为 3 x ，则，则a_； 【答案】【答案】3 第 6 页 共 19 页 【解析】【解析】根据三角函数的性质可知 ( )f x在 3 x 取得最大值或最小值，建立方程即可 求解. 【详解】 2 sincos1sinf xaxxax，其中是辅助角， 3 x 是( )f x的一条对称轴， 2 31 ( )1 322 faa p =+=?， 整理得 2 2 330aa ，解得3a . 故答案为：3. 【点睛】 本题考查三角函数性质得应用，利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键，属 于中档题. 9已知平面向量已知平面向量, a b满足满足3a ，2b ， 3a
11、 b ，则，则2ab . 【答案】【答案】7 【解析】【解析】试题分析：因为 222 |2 |443 16 127ababa b，所以 27ab 【考点】向量数量积，向量的模 10设设 2 1 1S ， 222 2 121S ， 22222 3 12321S ， 22222 1221 n Sn，希望证明，希望证明 2 21 3 n nn S ，在应用数学归纳法求，在应用数学归纳法求 证上式时，第二步从证上式时，第二步从k到到1k应添的项是应添的项是_. 【答案】【答案】 2 2 1kk 【解析】【解析】写出 1 , kk S S 的表达式，通过比较可以知道第二步从k到1k应添的项. 【详解】
12、当nk时， 2222222 12(1)(1)21 k Skkk, 当1nk时， 2222222 1 22 (12(1)()21)11 k kSkkkk , 通过对比可以发现，第二步从k到1k应添的项是 2 2 1kk. 第 7 页 共 19 页 故答案为： 2 2 1kk 【点睛】 本题考查了数学归纳法证明过程中添项问题，属于基础题. 11已知已知 0abc ，3a ，4b ，5c ，则，则a b b c c a _； ； 【答案】【答案】25 【解析】【解析】由已知得cab ，再两边平方 2 2 +2+25aa bb，求得 0a b ， 代入可求得答案. 【详解】 因为 0abc ，所以ca
13、b ，又因为5c ， 所以 2 25ab，即 2 2 +2+25aa bb，又3a ，4b ， 所以9+2 +1625a b ，所以 0a b ， 所以 2 0+25a bb cc aa bcbaccc ， 故答案为：25. 【点睛】 本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题. 12若数列若数列 n a为无穷等比数列，且为无穷等比数列，且 1231 lim2 nn n aaaaa ，则，则 1 a的的 取值范围是取值范围是_； 【答案】【答案】4, 22,0 【解析】【解析】根据无穷等比数列的前n项和的极限求解 【详解】 设数列 n a公比是q，在1q 且0q 时，
14、 1 1231 lim2 1 nn n a aaaaa q ， 1 2(1)aq，又11q 且0q ，210q 且11q ， 1 42a 或 1 20a 故答案为：4, 22,0 【点睛】 第 8 页 共 19 页 本题考查无穷等比数列的和，数列 n a是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为 n S， 在1q 时， 1 lim 1 n n a S q 若1q ，则limn n S 不存在 13设数列设数列 n a是公比为是公比为q的等比数列，则的等比数列，则 123 456 789 aaa aaa aaa _； 【答案】【答案】0； 【解析】【解析】根据行列式计算法则和等比数列性质计算即可.
15、【详解】 数列 n a是公比为q的等比数列 123 456159483726753429186 789 aaa aaaa a aa a aa a aa a aa a aa a a aaa 33 54837265483726 0aa a aa a aaa a aa a a=+-=. 故答案为：0. 【点睛】 本题考查等比数列的性质，以及行列式的相关计算，属于中档题. 14已知向量已知向量5,5a ，,1b，若，若ab 与与ab的夹角是锐角，则实数的夹角是锐角，则实数的取值的取值 范围为范围为_； 【答案】【答案】7,11,7 【解析】【解析】利用() ()0abab去掉同向的情形即得 【详解】
16、由题意() ()0abab ，即 22 0ab ， 2222 551 ，77 ， 若()abk ab，则 5(5) 5 1(5 1) k k ，解得 3 2 1 k ， 综上的范围是7,11,7 故答案为：7,11,7 【点睛】 本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，, a b是两个非零向量，则, a b夹角是 第 9 页 共 19 页 锐角时， 0a b ，, a b夹角是钝角时， 0a b ，反之要注意, a b可能同向也可 能反向 15如图，已知如图，已知 O O 为矩形为矩形 ABCDABCD 内的一点，且内的一点，且OA2 ，OC4，AC5，则，则 OB OD_ 【答案】【答案】
17、5 2 【解析】【解析】建立坐标系，设O m,n，C a,b，根据条件得出 O，C 的坐标之间的关系， 再计算OB OD 的值 【详解】 以 A 为原点，以 AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系， 设O m,n，B a,0，D 0,b，则C a,b， OA2，OC4，AC5， 22 22 22 ab25 mn4 ()()16manb ，整理可得： 13 ambn 2 又OBam, n，ODm,bn ， 22 135 OB ODm man nbmnambn4 22 故答案为 5 2 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档 第 10 页 共 19
18、页 题 16已知平面直角坐标系内定点已知平面直角坐标系内定点 1,1A，动点，动点B满足满足2AB ，动点，动点C满足满足3CB ， 则点则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为_； 【答案】【答案】24 【解析】【解析】本题先将 B 固定，得到 C 的轨迹，C 的轨迹随着 B 的动点而运动从而形成一 个圆环，即 C 在平面直角坐标系内覆盖的图形. 【详解】 因为动点 B满足2AB ， 所以 B点的轨迹是以 A为圆心，2为半径的一个圆， 又因为动点 C 满足3CB ， 所以 C点轨迹是以 B 为圆心，3 为半径的一个圆， 当 B 点在圆上运动时，点 C的轨
19、迹是以点 A为圆心、以 5 为半径的圆， C点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示， 即 C 在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为 5，小圆的半径是 1， 所以点 C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为 22 =5124S . 故答案为：24 【点睛】 本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是 第 11 页 共 19 页 把覆盖的面积看成整个圆，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17解关于解关于x. .y的一元二次方程组的一元二次方程组 33 22 axya xay ，并对解的情况进行讨论，并对解的情况进行讨论. . 【答案】【答案
20、】3a ，无数个解；1a，无解；3a且1a， 4 1 1 1 a x a y a . 【解析】【解析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】 （1）当 33 122 aa a - = - 时，方程组有无数个解， 解得3a ； （2）当 33 122 aa a - =? - 时，方程组无解， 解得1a； （3）当 3 12 a a - 时，方程组只有一组解为 4 1 1 1 a x a y a ， 解得3a且1a， 综上，3a ，无数个解；1a，无解；3a且1a， 4 1 1 1 a x a y a . 【点睛】 本题考查二元一次方程组的解的情况， 可以利用直线系数的比例关系讨论， 属于基础题.
21、 18已知已知xR，设，设 3cos ,sincosmxxx，2sin ,sincosnxxx，记函数，记函数 f xm n. . （1）求函数）求函数 f x的最小值，并求出函数的最小值，并求出函数 f x取最小值时取最小值时x的值；的值； （2）设）设ABC的角的角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，若，若 2f C ，2 3c ， 求求ABC的面积的面积S的最大值的最大值. . 第 12 页 共 19 页 【答案】【答案】 （1） min 2y ，, 6 x xkkZ ； （2）3 3. 【解析】【解析】(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得
22、 到 f（x）=2sin 2 6 x ，再根据正弦函数的性质即可求出答案； （2）先求出 C 的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出3ab，根据三角形 的面积公式即可求出答案. 【详解】 （1） 22 2 3sin cossincosf xm nxxxx 3sin2cos22sin 2 6 xxx ， 令22 62 xk ，kZ，即() 6 xkkZ 时，sin 21 6 x ， f x取最 小值2， 所以， f x的最小值为2，所求x的取值集合是, 6 x xkkZ ； （2）由 2f C ，得sin 21 6 C ， 因为0C，所以 11 2 666 C ， 所以2 62 C ， 3
23、 C ， 在ABC中，由余弦定理 222 2coscababC， 得 22 3ababab，即3ab，当且仅当ab时取等号， 所以ABC的面积 1133 3 sin3 2224 SabC ， 因此ABC的面积S的最大值为 3 3 4 . 【点睛】 本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不 等式，三角形的面积公式，属于中档题. 19已知已知ABC内接于内接于O，ABc，BCa ，CAb，O的半径为的半径为r. . 第 13 页 共 19 页 （1）若）若230OAOBOC，试求，试求BOC的大小；的大小； （2）若）若A为动点，为动点，60BAC，AOOCOB
24、，试求，试求的最大值的最大值. . 【答案】【答案】 （1） 5 6 ； （2）2. 【解析】【解析】 （1）由230OAOBOC可得( )() 22 23OBOCOA+= -，解得 3 cos 2 BOC?-，即可求出 5 6 BOC p ?； （2）由60BAC可得120BOC，再由AOOCOB平方后得 22 1，利用基本不等式可求出 的最大值. 【详解】 （1）230OAOBOC， 23OBOCOA+=- ，则( )() 22 23OBOCOA+= -， 即 222 44 33OBOB OCOCOA+?= , 2222 44 3cos3rrBOCrr+?= ，解得 3 cos 2 BOC
25、?- , 5 6 BOC p ?; （2）60BAC，120BOC， AOOCOB， 22 AOOCOB， 即 222 22 2AOOCOC OBOB ， 222222 2cos120rrrrll mm=+，整理得 22 1，即( ) 2 31lml m+-=， 2 2 lm l m 骣+ 琪 琪 桫 ， () 2 2 13 2 lm lm 骣+ 琪+- 琪 桫 ，解得( ) 2 4lm+?，即2，当且仅当1 第 14 页 共 19 页 时等号成立， 的最大值为 2. 【点睛】 本题考查向量数量积的应用，以及利用基本不等式求最大值，属于综合题. 20已知平方和公式：已知平方和公式： 222 1
26、 21 12 6 n nn n ，其中，其中 * nN. . （1）记）记 2222 22 31521432f nnn ，其中，其中 * nN，求，求 20f的值；的值； （2）已知）已知 2 22 2 22 132149 48 242 n n ，求自然数，求自然数n的值；的值； （3）抛物线）抛物线 2 ykx. .x轴及直线轴及直线:AB xa围成了如图（围成了如图（1）的阴影部分，）的阴影部分，AB与与x轴轴 交于点交于点A，把线段，把线段OA分成分成n等份，作以等份，作以 a n 为底的内接矩形如图（为底的内接矩形如图（2） ，阴影部分的面积） ，阴影部分的面积 为为S，n等于这些内接
27、矩形面积之等于这些内接矩形面积之 和和. . 2222 231aaaaaaan kkkka nnnnnnnn ，当，当 n时的极限值时的极限值. . 图 （图 （3） 中的曲线为开口向右的抛物线） 中的曲线为开口向右的抛物线 2 yx， 抛物线， 抛物线yx. .x轴及直线轴及直线:4AB x 围围 成了图中的阴影部分，请利用极限平方和公式成了图中的阴影部分，请利用极限平方和公式. .反函数或割补法等知反函数或割补法等知识求出阴影部分的识求出阴影部分的 面积面积. . 【答案】【答案】 （1）47980； （2）72； （3）16 3 . 【解析】【解析】 （1）将 (20)f 化为 2222
28、22222222 1234565758593657+-，即可结合公式求 解； （2）分别转化 2 22222 2424 12nn和 第 15 页 共 19 页 2222 2222222 1321123221242nnnn ，然后根据公式求解，建立方程即可求出n； （3）线段AB分成n等份，作以 2 n 为底的内接矩形，则阴影部分的面积可看作是这些 内接矩形的面积之和，利用极限即可求出. 【详解】 （1） 2222 22 31521432f nnn ， ()()()() 2222 2222 (20)595652145558f= -+ -+ -+ -+ 22222222 1245785859=+
29、222222222222 1234565758593657=+- () 2222 59 60 119 9 12319 6 创 =-+ 19 20 39 70210947980 6 创 =-?； （2） 2 22222 21 21 2424 12 3 n nn nn ， 2222 2222222 1321123221242nnnn ()()()()()()()() 21211212212243 6 3 33 nn nnnnnnn+ =- + =， 2 22 2 22 13212349 248 242 nn n n ， 解得72n； （3）由题可知，2AB ,如图，把线段AB分成n等份，作以 2
30、n 为底的内接矩形， 第 16 页 共 19 页 设阴影部分的面积为S，则S可看作是这些内接矩形的面积之和， 则 2222 22242622(1) 4444 n S nnnnnnnn 轾轾轾轾 骣骣骣骣 - 犏犏犏犏 琪琪琪琪=?+ ?+ ?+ ? 琪琪琪琪 犏犏犏犏 桫桫桫桫 臌臌臌臌 ()() 2 2 222 222 411231nn nnn 骣 轾 琪=?-创+- 琪 犏 臌 桫 ()() () 32 8112181644 633 nnnn nnnn - =-?-， 当n时， 16 3 S ， 所以阴影部分的面积为16 3 . 【点睛】 本题考查根据所给公式化简求值，以及用极限求面积，属
31、于较难题. 21设数列设数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，23 nn Sa， * nN，数列，数列 n b满足：对于任意满足：对于任意 的的 * nN，都有，都有 1 121321 1 33 3 n nnnn aba ba ba bn 成立成立. . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 n b的通项公式；的通项公式； （3）设数列）设数列 nn n ca b，问：数列，问：数列 n c中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存 在，求出这三项；若不存在，请在，求出这三项；若不存在，请说明理由说明理由.
32、. 【答案】【答案】 （1） 1 1 3 n n a ； （2）21 n bn； （3）存在， 1 c， 2 c， 5 c或 2 a， 3 c， 5 c. 第 17 页 共 19 页 【解析】【解析】（1）当2n时，类比写出 11 23 nn Sa ，两式相减整理得 1 1 3 n n a a ，当 1n 时，求得 1 0a ，从而求得数列 n a的通项公式.； （2）将 1 1 3 n n a 代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列 n b的通项 公式； （3） 由 n c的通项公式分析， 得 12345 ccccc，假设存在三项 s c， p c， r c 成等差数列，且s pr
33、 ，则2 psr ccc ，即 111 2 212121 333 psr psr ，根据数 列 n c的单调性，化简得 7 2 2 p，将2p 或3p 代入已知条件，即可得到结论. 【详解】 （1）由2 3 nn Sa， 得 11 232 nn San ， 由-得 1 20 nnn aaa ，即 1 1 2 3 nn aan ， 对取1n 得， 1 10a ，所以0 n a ，所以 1 1 3 n n a a 为常数， 所以 n a为等比数列，首项为 1，公比为 1 3 ， 即 1 1 3 n n a ， * nN； （2）由 1 1 3 n n a ，可得对于任意 * nN有 211 121
34、 1111 33 3333 nn nnn bbbbn ， 则 222 1231 1111 3132 3333 nn nnn bbbbnn ， 则 2311 1231 11111 22 33333 nn nnn bbbbnn ， 由-得212 n bnn， 对取1n 得， 1 1b 也适合上式， 第 18 页 共 19 页 因此21 n bn， * nN， （3）由（1）（2）可知 1 21 3 nnn n n ca b ， 则 1 1 4 12121 333 nn nnn nnn cc ， 所以当1n 时， 1nn cc ，即 12 cc， 当2n时， 1nn cc ，即 n c在2n且 *
35、nN上单调递减， 故 12345 ccccc， 假设存在三项 s c， p c， r c成等差数列，其中s，p， * rN ， 由于 12345 ccccc，可不妨设s pr ，则2 psr ccc （）， 即 111 2 212121 333 psr psr ， 因为s，p， * rN且s pr ，则1sp且2p ， 由数列 n c的单调性可知， 1sp cc ，即 12 2123 33 sp sp ， 因为 1 21 0 3 r r r c ，所以 1112 2 21212123 3333 psrp psrp ， 即 12 2 2123 33 pp pp ，化简得 7 2 p ， 又2p
36、且 * pN，所以 2p 或3p ， 当2p 时，1s ，即 12 1cc，由3r 时， 2 1 r cc，此时 1 c， 2 c， r c不构成 等差数列，不合题意， 当3p 时，由题意1s 或2s ，即1 s c ，又 3 5 9 p cc，代入（）式得 1 9 r c ， 因为数列 n c在2n且 * nN上单调递减，且 5 1 9 c ，4r ，所以=5r， 综上所述，数列 n c中存在三项 1 c， 3 c， 5 c或 2 c， 3 c， 5 c构成等差数列. 【点睛】 本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比 数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属 于难题. 第 19 页 共 19 页
