1、第 1 页 共 16 页 2019-2020 学年四川省成都市高一下学期期末考试数学（文）学年四川省成都市高一下学期期末考试数学（文） 试题试题 一、单选题一、单选题 1等比数列等比数列 n a满足满足 1 1a ，3q ，则，则 5 a （ ） A81 B81 C243 D243 【答案】【答案】A 【解析】【解析】按等比数列的通项公式算第五项即可. 【详解】 1 1 n n aa q ， 5 1 5 1381a . 故选：A 【点睛】 此题为简单题，考查等比数列通项公式. 2 某正方体被截去部分后剩余几何体的直观图如图所示， 则该几何体的侧视图为 （某正方体被截去部分后剩余几何体的直观图如
2、图所示， 则该几何体的侧视图为 （ ） ） A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等分析求解. 【详解】 由三视图的画法，可得侧视图如下： 故选：B 【点睛】 本题主要考查三视图，还考查了空间想象的能力，属于基础题. 第 2 页 共 16 页 3二次不等式二次不等式 2 0axbxc的解为全体实数的条件是（的解为全体实数的条件是（ ） A 0 0 a B 0 0 a C 0 0 a D 0 0 a 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据二次函数图像的特征判断即可. 【详解】 二次不等式 2 0axbxc的解为全体实数，即二次函数 2 ( )
3、0f xaxbxc恒成 立，即二次函数图像不在x轴下方，因此需要开口向上，并且与x轴无交点或有且只有 一个交点，因此 0 0 a . 故选：B. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式恒成立的问题，属于基础题. 4已知已知 10 10 sin ，则，则cos2（ ） A 4 5 B 4 5 C 3 10 10 D 3 10 10 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由二倍角的余弦公式可直接求解. 【详解】 10 sin 10 a =， 2 14 cos21 2sin1 2 105 . 故选：A. 【点睛】 本题考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题. 5已知单调递减的等比数列已知单调递减的等比数列
4、 n a中，中， 1 0a ，则该数列的公比，则该数列的公比q的取值范围是（的取值范围是（ ） A 1q B 0q C1q D01q 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据等比数列 n a单调递减，得到0q ， 11 1 10 n nn qaaaq ，再 第 3 页 共 16 页 根据 1 0a ，1n求解. 【详解】 因为等比数列 n a单调递减， 所以0q ， 11 1111 10 nnn nn aaaqaqaqq ， 因为 1 0a ， 所以 1 10 n qq ， 又因为1n， 所以 1 0,10 n qq ， 所以01q， 故选：D 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式的应用以
5、及数列的单调性的应用，属于基础题. 6 将将3sincosxx化简为化简为 sin()Ax （0A，0， 2 ） 的形式为 （） 的形式为 （ ） A 2sin 6 x B 2sin 3 x C 2sin 6 x D 2sin 3 x 【答案】【答案】A 【解析】【解析】将3sincosxx化为 31 2sincos2 sin coscos sin 2266 xxxx ，然后逆用差的正弦公式即可得 出. 【详解】 31 3sincos2sincos2 sin coscos sin2sin 22666 xxxxxxx . 故选：A. 【点睛】 本题考查差的正弦公式的逆用，属于基础题. 7在在AB
6、C中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c，若，若: :4:5:7a b c ，则，则 ABC为（为（ ） 第 4 页 共 16 页 A直角三角形直角三角形 B锐角三角形锐角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】用余弦定理求最大边所对角. 【详解】 : :4:5:7a b c Q,可设457ak,bk,ck， 最大角为 C， 222 4571 cos0 2 455 kkk C kk ， 所以 C为钝角. 故选:C 【点睛】 此题也可以直接求 222 abc判断其符号，从而确定角 C是钝角、锐角、直角. 8若若abc，
7、则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（ ） ） Alnlnab B 22 ab C 11 cacb D 11 22 ab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据abc，取1c，0b，1a，则可排除错误选项. 【详解】 根据abc，取1c，0b，1a， 则 A 错误； 22 =10ab ，B 错误； 11 22 21 ab ，D 错误； 排除错误选项. 故选：C. 【点睛】 本题考查不等式的性质，可用特殊值排除法. 9把四边形把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形按斜二测画法得到平行四边形ABCD （如图所示） ，其中（如图所示） ，其中 2BOOC ，3OD ，则四边形，则四边形AB
8、CD一定是一个（一定是一个（ ） 第 5 页 共 16 页 A梯形梯形 B矩形矩形 C正方形正方形 D菱形菱形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】还原原平面图形ABCD，计算出BC、CD的长，结合四边形ABCD 为平 行四边形可判断出四边形ABCD的形状. 【详解】 根据斜二测直观图还原原平面四边形ABCD如下图所示： 由图可知，ODBC，2OCOB，22 3ODOD ， 由勾股定理可得 22 4CDOCCDBC ， 在斜二测直观图中，四边形ABCD 为平行四边形，则/AD BC 且ADBC ， 在四边形ABCD中，/AD BC且ADBC，所以，四边形ABCD为菱形. 故选：D. 【点睛】
9、本题考查利用斜二测直观图判断原平面图形的形状，一般要求还原原平面图形，属于基 础题. 10已知数列已知数列 n a满足满足 1 1 2, 21 n n n a ann a N ，且，且 1 1 2 a ，则，则 1 n a 的第的第n项项 为（为（ ） A2n B 2 n C31n D 1 2n 【答案】【答案】A 【解析】【解析】在等式 1 1 21 n n n a a a 两边取倒数，可推导出数列 1 n a 为等差数列，确定该 数列的首项和公差，进而可求得 1 n a . 【详解】 第 6 页 共 16 页 当2n且n N，在等式 1 1 21 n n n a a a 两边取倒数得 1
10、11 2111 2 n nnn a aaa ， 1 11 2 nn aa ，且 1 1 2 a ，所以，数列 1 n a 为等差数列，且首项为2，公差为2， 因此， 1 2212 n nn a . 故选：A. 【点睛】 本题考查利用倒数法求数列通项，考查计算能力，属于基础题. 11夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作.为更好地考察防汛抗洪实地 为更好地考察防汛抗洪实地 情况， 某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据情况， 某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据.如图所示，如图所示，CE是该是该 大坝的坡面，该小
11、组在坝底所在水平地面的大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶处测得坝顶E的仰角为的仰角为，对着大坝在，对着大坝在 水平地面上前进水平地面上前进30m后到达后到达B处，测得仰角为原来的处，测得仰角为原来的 2 倍，继续在水平地面上前进倍，继续在水平地面上前进 10 3m后到达坡底 后到达坡底C处，测得仰角为原来的处，测得仰角为原来的 4 倍，则该大坝的高度为（倍，则该大坝的高度为（ ） A10m B15m C20m D5 3m 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意及仰角的定义，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系，求出 15，即可得出结论. 【详解】 由已知30,10 3
12、ABBC=， 在RtAED中，cotADEDq=， 在Rt BED中，cot2BDEDq=， () cotcot2ABADBDEDqq=-=-， 同理可得 () cot2cot4BCEDqq=-, (cotcot2 ) (cot2cot4 ) ABED BCED ，即 cotcot2 3 cot2cot4 ， 第 7 页 共 16 页 coscos2sin2 coscos2 sin1 cotcot2 sinsin2sinsin2sin2 ， 同理可得 1 cot2cot4 sin4 ， sin4 2cos23 sin2 ， 3 cos2 2 ，结合题意可知230，即15， sin215 cot
13、cot2 AB EDAB . 故选：B. 【点睛】 本题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，考查了学生们解三角形的能力， 属于中档题. 12已知已知A、B、C为为ABC的三内角，且角的三内角，且角A为锐角，若 为锐角，若tan2tanBA，则，则 11 tantanBC 的最小值为（的最小值为（ ） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】将 11 tantanBC 化为关于tan A的式子，然后利用基本不等式可以求出最小 值. 【详解】 在ABC中，tantanCAB， () 111111 tantan tantantantantantantan
14、 AB BCBA BBAB -? +=-=- + ， tan2tanBA， 2 11 tantan11 2tan12tan tantantan2tan3tan6tan3 ABAA BABAAA -? -=-=+ + , 角A为锐角,tan0A， 12tan12tan2 2 6tan36tan33 AA AA +匙=， 第 8 页 共 16 页 当且仅当 12tan 6tan3 A A =，即 1 tan 2 A时，等号成立， 11 tantanBC 的最小值为 2 3 . 故选：C. 【点睛】 本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于 中档题. 二、填空题二
15、、填空题 13求值：求值：cos75 cos15 sin75 sin15 = 【答案】【答案】0 【解析】【解析】试题分析：根据题意，利用余弦的和差公式可得 cos75 cos15 sin75 sin15 =cos90 ，利用特殊角的三角函数值可得答案 解：根据题意，原式=cos75 cos15 sin75 sin15 =cos90 =0， 故答案为 0 【考点】两角和与差的余弦函数 14在在ABC中，若角中，若角60C ，2AC ，3AB ，则角，则角B _. 【答案】【答案】45 【解析】【解析】利用正弦定理求得sinB，再由BC，得B即可. 【详解】 由正弦定理 sinsin ACAB
16、BC 得 23 sinsin60B ，得 2 sin 2 B ，45B或135， 又因为 2AC 3AB ，所以BC，故45B. 故答案为：45. 【点睛】 本题考查了正弦定理和大边对大角，属于基础题. 15 二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法， 在我国传统农耕文化中占有极其重二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法， 在我国传统农耕文化中占有极其重 要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动 人民的智慧人民的智慧.古代数学著作周髀算经中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、古
17、代数学著作周髀算经中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、 大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影 第 9 页 共 16 页 子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为 18 尺，立冬的日影子长尺，立冬的日影子长 为为 10.8 尺，则夏至的日影子长为尺，则夏至的日影子长为_尺尺. 【答案】【答案】3.6 【解析】【解析】根据题意列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】 由题意，用 123456
18、789101112 ,a a a a a a aa a aaa分别表示夏至、小暑、大暑、立秋、 处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长，且它们 依次成等差数列，设公差为d， 345 10 18 10.8 aaa a ，即 1 1 3918 910.8 ad ad 解得 1 0.8 3.6 d a 所以夏至的日影子长为 3.6 尺. 故答案为：3.6. 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式及性质. 16下列说法中，下列说法中，错误错误 的有的有_（写出你认为错误的所有说法的序号）（写出你认为错误的所有说法的序号） 若若a，b均为正数，则均为正数，则 112 ab
19、ab 若若 0, 2 x ，则，则 1 sin sin x x 的最小值为的最小值为 2 0ab，则，则 11 ab ba 若若1ab，则，则 1 1 bb aa 【答案】【答案】 【解析】【解析】由基本不等式的性质可判断；利用作差法可判断. 【详解】 由基本不等式的性质知， 111 12 2 aba bab ，即正确； 0, 2 x ，sin0,1x， 由基本不等式的性质知， 11 sin2 sin2 sinsin xx xx ， 第 10 页 共 16 页 当且仅当 1 sin sin x x ，即sin1x 时，等号成立， 而sin1x，等号不成立，取不到最小值 2，即错误； 111 (
20、)() 1 ab ababab baabab ， 0ab，0ab ，0ab， 11 0ab ba ，即 11 ab ba ，正确； 1(1)(1) 1(1)(1) bba bb aba aaa aa a ， 1ab，0ba，10a ， 1 0 1 bb aa ，即 1 1 bb aa ，错误. 错误的有. 故答案为：. 【点睛】 本题考查不等式的基本性质及代数式的比较方法，在用基本不等式求最值时需要注意： 一正，二定，三相等. 三、解答题三、解答题 17已知等差数列已知等差数列 n a中，中， 135 18aaa， 57 0aa . （1）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （2）求）求
21、n a的前的前n项和项和 n S . 【答案】【答案】 （1）122 n an=-； （2） 2 11 n Snn . 【解析】【解析】 （1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差 数列的通项公式求数列 n a的通项公式； （2）利用等差数列求和公式求和即可. 【详解】 （1）由题意得，设数列 n a公差为d， 则 1351 3618aaaad， 571 2100aaad， 第 11 页 共 16 页 解得： 1 10a ，2d ， 1 1 n aand1021122nn； （2）由（1）可得， 1 2 n n n aa S 2 10 122 11 2 nn nn
22、. 【点睛】 本题考查利用基本量求解等差数列的通项公式，以及前 n 项和，属基础题. 18图形图形ABCDE由矩形由矩形ABCD和扇形和扇形ADE组合而成（如图所示） ， 组合而成（如图所示） ，ADDE， 22ABAD.求将该图形沿求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】【答案】表面积7S，体积 8 3 V . 【解析】【解析】根据题意确定几何体的组成，结合题中数据可求得几何体的表面积和体积. 【详解】 由题意知，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半 径均为1，圆柱的高为2. 圆柱的底面积 2 1
23、1S，圆柱的侧面积 2 21 24S ， 半球面的表面积 2 3 1 412 2 S， 则该几何体的表面积 123 427SSSS， 圆柱的体积 1 22V，半球的体积 3 2 142 1 233 V， 则该几何体的体积 12 28 2 33 VVV . 【点睛】 本题考查组合旋转体的表面和体积，解题的关键就是确定组合体的构成，考查空间想象 能力与计算能力，属于基础题. 第 12 页 共 16 页 19已知已知 4 3 sin 7 ， 11 cos 14 ，0 2 . （1）求）求tan2的值；的值； （2）求角）求角的大小的大小. 【答案】【答案】 （1） 8 3 47 ； （2） 3 .
24、【解析】【解析】 （1）利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，然后利用二倍角的正切公 式可求tan2的值； （2） 利用两角差的正弦公式求得sin的值， 结合角的取值范围， 进而可求得角的 值. 【详解】 （1） 4 3 sin 7 ，0 2 ， 2 1 cos1 sin 7 ， 4 3 sin 7 tan4 3 1 cos 7 ，因此， 22 2tan8 38 3 tan2 1 tan47 14 3 ； （2）0 2 ，0 ， 11 cos 14 ， 2 5 3 sin1 cos 14 ， sinsinsincoscossin 5 31114 349 33 147147982 ， 0 2
25、 Q， 3 . 【点睛】 本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求值， 同时也考查了利用 三角函数值求角，考查计算能力，属于中等题. 20已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且满足，且满足233 nn Sa . （1）证明数列）证明数列 n a是等比数列；是等比数列； 第 13 页 共 16 页 （2）若数列）若数列 n b满足满足 3 log nn ba，记数列，记数列 1 1 nn b b 前前n项和为项和为 n T，证明，证明 1 1 2 n T . 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）根据233 nn S
26、a，利用数列通项与前n项和关系，得到 1 3 nn aa ，再 利用等比数列的定义求解. （2）由（1）得到3n n a ，则 1 1111 11 nn b bn nnn ，然后利用裂项相消法求 得 n T 1 1 11 n nn ，再根据 n T为递增数列求解. 【详解】 （1）由题意得，当 * 2nnN时， 1 222 nnn aSS ， 11 333333 nnnn aaaa 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a ， 当1n 时， 111 2233aSa， 1 30a 故 n a是以 3为首项，3 为公比的等比数列 （2）由（1）可知3n n a ， 33 l3logog n
27、 nn ban， 1 1111 11 nn b bn nnn 11111 1 22 33 411 n T nnn n 111111111 1 2233411nnnn 1 1 11 n nn 因为 * 2nnN 时， 1 1 11 0 1 nn nn TT b bn n ， 第 14 页 共 16 页 所以 n T为递增数列，故 1 1 2 n TT 因为 * nN，则 1 0 1n ，故 1 11 1 n T n 所以 1 1 2 n T 【点睛】 本题主要考查数列通项与前 n项和的关系，等比数列的定义，裂项相消法求和，还考查 了运算求解的能力，属于中档题. 21已知函数已知函数 2 55f
28、xxxa a . （1）当）当1a 时，求当时，求当0,x时，函数时，函数 f x g x x 的值域；的值域； （2）解关于）解关于x的不等式的不等式 0f x . 【答案】【答案】 （1）1, ； （2）答案见解析. 【解析】【解析】(1)利用1a 代入化简 f x g x x ，再用基本不等式求值域即可； (2) 对 f x因式分解得到两根，对两根分类讨论写不等式解集即可. 【详解】 解： （1）当1a 时， 2 544 5 f xxx g xx xxx 0,x， 44 24xx xx 当且仅当 4 x x 时，即2x时，上式取“”， 所以 g x 4 5451x x ，当且仅当2x时取
29、等号， 所以 g x的值域为1, ； （2） 2 555f xxxa axaxa 令 0f x ，得xa或5xa ， 当5aa ，即 5 2 a 时，由 0f x ，解得 5 2 x ； 当5aa ，即 5 2 a 时，由 0f x ，解得5axa ； 当5aa ，即 5 2 a 时，由 0f x ，解得5 axa； 第 15 页 共 16 页 综上所述， 当 5 2 a 时，原不等式的解集为 5 2 ； 当 5 2 a 时，原不等式的解集为5x axa； 当 5 2 a 时，原不等式的解集为5xaxa. 【点睛】 本题考查了函数值域、基本不等式和含参数的一元二次不等式，属于综合题. 2220
30、20 年年 5 月月 6 日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计后，一个日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计后，一个 承接成渝地区双城经济圈建设、 落实成都东进战略的新区正式成立承接成渝地区双城经济圈建设、 落实成都东进战略的新区正式成立.为落实东部新区为落实东部新区“双双 城一园、 一轴一带城一园、 一轴一带”的空间布局的需要， 某规划部门拟规划如图所示的三角形 （的空间布局的需要， 某规划部门拟规划如图所示的三角形 （ABC） 产业园区，其中产业园区，其中3sincosACABCB . （1）求角）求角B的大小；的大小； （2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区
31、）若在该产业园区内再规划一个核心功能区ADE（D、E是边是边BC上的点） ，且上的点） ，且 3 C ， 6 DAE，200AC 米，求核心功能区米，求核心功能区ADE面积的最小值面积的最小值. 【答案】【答案】 （1） 6 ； （2）30000 23平方米. 【解析】【解析】 （1）由正弦定理将3sincosACABCB边化角可求出tanB，即可求出 角B； （2） 记BAD， 则 0, 3 ， 则 5 6 B D A， 利用正弦定理可以表示出AD 和AE，利用面积公式表示出面积，再根据的取值范围即可求出ADE面积的最小 值. 【详解】 （1）3sincosACABCB， 由正弦定理有：3s
32、insinsincosBAAB， 0,A，sin0A， 第 16 页 共 16 页 sin3 tan cos3 B B B ， 0,B， 6 B ； （2）由已知及（1）可知，ABC为直角三角形且 2 BAC， 200AC 米，所以 200 3AB 米 记BAD，则 0, 3 ，则 5 6 BDA， 在ABD中， 5 sinsin 66 ADAB ，得 100 3 5 sin 6 AD ， 由 3 CAE， 3 C ，则 3 CEA， 在ACE中， sinsin 33 AEAC ，得 100 3 sin 3 AE ， ADE的面积 1 sin 2 SAD AEDAE 1100 3100 3 sin 526 sinsin 63 130000 4 1331 cossincossin 2222 3000030000 4sincos32sin23 当 0, 3 时， 2 20, 3 ，当 4 时，sin2取得最大值 1， 此时ADE的面积的最小值为30000 23平方米. 【点睛】 本题考查正弦定理解三角形以及面积公式的应用，属于中档题.
