1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试卷数学试卷 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的 1已知集合 02|1 1 | 2 xxxN x xM， ，则NM （ ） A B02|xx C12|xx D10| xx 2若 11 0, ab 有下列四个不等式： 33 ab; 21 log3log3; ab baba； 332 2.abab则下列组合中全部正确的为（ ） A B C D 3.已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 47 329aa ， 则
2、 7 S的值等于 （ ） A21 B1 C-42 D0 4已知等比数列 n a中， 1 a， 101 a 是方程 2 10160 xx的两根，则 215181 aaa 的 值为（ ） A64 B64 C256 D256 5ABC 中,若2lgalgclgsinBlg 且 0, 2 B ,则ABC的形状是（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 6ABC中，点D在线段AB（不含端点）上，且满足CDxCAyCB xyR， 则 12 xy 的最小值为（ ） A2 2 2 B3 2 2 C6 D8 7.已知数列 n a是等差数列， 若 911 30aa ，10 11 0aa
3、， 且数列 n a的前n项和 n S 有最大值，那么 n S取得最小正值时n等于（ ） A20 B17 C19 D21 8.已知 cba, 分别为ABC的三个内角 CBA, 的对边，向量 )sin,(cos) 1, 3(AAnm ，若nm ，且CcAbBasi ncoscos，则角 BA, 的 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 大小分别为（ ） A. 36 ， B. 63 2 ， C. 63 ， D. 33 ， 9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有阳 马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为： “今有底面为矩形，一侧 棱
4、垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的 体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ） A142平方尺 B140平方尺 C138平方尺 D128平方尺 10.下面图 1 是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图 2 所 示,图 2 中圆的半径均为 1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则 ABCD （ ） A32 B28 C26 D24 11.ABC中， 6 A,ABC的面积为 2，则 C B BC C sin sin sin2sin sin2 的最小值为（ ） A. 2 3 B. 4 33 C.
5、 3 5 D. 2 3 12.将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 112，26，34 三种，其中 34 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解当 pq （pq 且 p、qN*）是正整数 n 的最佳分解时，我们定义函数 f（n）=q-p，例如 f（12）=4-3=1，则数列 n f 3的前 2020 项和为( ) A. 131010 B. 1010 3 C. 131011 D. 1011 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面 半径是 14.设向量, a b
6、满足 2a ， 1b ，且 bab ，则向量b在向量 2ab 上的投影 的数量为 15.如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对： “等积四 棱圆柱” .将 “等积四棱圆柱” 的正四棱柱， 圆柱的表面积与高分别记为 12 ,S S与 12 ,h h. 若 121 1,16hhS ，则 2 S的值为 . 16.已知首项为 1 a， 公比为q的等比数列 n a满足 4 432 10qaaa ， 则首项 1 a 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 的取值范围是_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤
7、. 17. （本小题满分 10 分） 如图，在ABC中，点P在BC边上，60PAC，2PC ，4APAC （1）求边AC的长； （2）若APB的面积是2 3，求sinBAP的 值 18. （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 若公差0d ，4 14S 且 137 aaa， ， 成等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T 19. （本小题满分 12 分） 已知向量( 3sin2 ,cos2 )axx，(cos2 , cos2 )bxx （1）若 75 , 24 12 x ， 14 25 a b ，求sin4x的
8、值； （2）若 3 cos 2 x ， ,x ，方程 1 2 a bm有且只有一个实数根，求实数m 的取值范围. 20.（本小题满分 12 分） 为了应对新冠肺炎带来的影响，某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促 销费用为x万元时，销售量t万件满足，为正常数其中),0( 3 12 5aax x t 现假定生产量与销售量相等， 已知生产该产品t万件还需投入成本 )210(t 万元 （不 含促销费用） ，产品的销售价格定为) 20 5( t 万元/万件。 （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 21.（本小题满分 12 分） 设
9、数列 n a前n项和为 n S, 满足 31 * 42 nn aSnN （1）求数列 n a的通项公式； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - （2）令 nn bna ， 求数列 n b的前n项和 n T ； （3） 若不等式 21 2 20 9 n n a T n 对任意的*nN 恒成立， 求实数a 的取值范围 22.（本小题满分 12 分） 对于 *, nN 若数列 n x满足 1 1, nn xx 则称这个数列为“K数列”. （1）已知数列 1, 2 1,mm是“K数列”,求实数m的取值范围; （2）是否存在首项为1的等差数列 n a为“K数列”,且其前n项和
10、 n S使得 2 1 2 n Snn恒成立?若存在,求出 n a的通项公式;若不存在,请说明理由; （3）已知各项均为正整数的等比数列 n a是“K数列”,数列 1 2 n a 不是“K数 列”,若 1 , 1 n n a b n 试判断数列 n b是否为“K数列”,并说明理由. 数学试卷参考答案 1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.C 10.C 11.D 12.A 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 13.1 14. 1 2 15.8 4 16. 2 ,2, 3 17.（1）在APC中，设ACx ，则4APx由余弦定理得： PAC
11、APACAPACPCcos2 222 即： 22 1 4(4)2(4) 2 xxxx ，解之得： 12 2xx 即边AC的长为 2。4 分 （2）由（1）得APC为等边三角形，作ADBC于D，则sin603ADPA， 13 22 APB SPBAD PB32 ，故4PB ， 2 3 BPA， 在ABP中，由余弦定理得： 22 2 2cos 3 ABPBPAPB PA2 7 在ABP中由正弦定理得： sinsin PBAB BAPBPA ， 42 7 sin3 2 BAP ， 2 321 sin 72 7 BAP10 分 18.（1）由题意可得 1 2 111 4 3 414 2 26 ad a
12、da ad ，即 1 2 1 237 2 ad da d ， 又因为0d ，所以 1 2 1 a d ，所以1 n an6 分 （2）因为 1 1111 (1)(2)12 nn a annnn ， 所以 11111111 233412222(2) n n T nnnn 12 分 19.（1）由题意，向量( 3sin2 ,cos2 )axx，(cos2 ,cos2 )bxx， 可得 2 1131 cos41 3sin2 cos2cos 2sin4 22222 x a bxxxx 31 sin4cos4sin 4 226 xxx ，则 4 sin 4 65 x ， 高考资源网（） 您身边的高考专家
13、 版权所有高考资源网 - 6 - 因为 75 , 24 12 x ，所以 3 4 62 x ，所以 3 cos 4 65 x ， 所以 43314 33 sin4sin4() 66525210 xx .6 分 （2）由 3 cos, 2 xx ，可得 66 x ， 又由 1 2 a bm，可得sin 4 6 xm ， 令 5 4, 662 txt ， 可得 5 sin, 62 yt 在上单调递减，在, 2 2 上单调递增， 又由 51 sin 62 ，sin1 2 ， 结合图象，要使得 5 sin, 62 tmt 在上有且只有一个实数根， 可得 1 1 2 m或1m， 所以使得方程 1 2 a
14、 bm有且只有一个实数根，实数m的取值范围 1 (,11 2 . 12 分 20.（1）由题意知，利润xtxt t ty103)210() 20 5(，由销售量t万件满足 3 12 5 x t（其中ax0，a为正常数） ，代入化简可得：) 3 36 (25x x y （其中ax0，a为正常数） 。4 分 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - (2)由（1）知1612-28)3 3 36 (28 x x y， 当且仅当3 3 36 x x ，即3x时，上式取等号， 当3a时，促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大；当30a时，y在ax0上单 调递增，当ax时，函数有
15、最大值，即促销费用投入ax万元时，厂家的利润最大。 综上所述，当3a时，促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大；当30a时，促销费用 投入ax万元时，厂家的利润最大。12 分 21.（1） * 31 42 nn aSnN ， 11 31 2 42 nn aSn 两式相减，得 11 33 44 nnnnn aaSSa . 所以， 1 1 1 ,42 . 4 n nn n a aan a 又 11 31 42 aS，即 111 31 2 42 aaa n a是首项为2，公比是4的等比数列. 所以 12221 2 42 22 nnn n a . 4 分 （2） 21 2. n nn bn an 3
16、521 1 22 23 22 n n Tn 352121 41 22 21 22 nn n Tnn - ,得 352121 322222. nn n Tn 故 21 1 31 22 . 9 n n Tn 8 分 （3）由题意，再结合（2） ，知 31 0 9 na n 即 3190nna. 从而 2 11 39 ann 设 2 11 39 g nnn ， max 2 1. 9 g ng 2 9 a .12 分 22.（1）由题意得11 1,m 2 11,mm解得2,m 所以实数m的取值范围是2.m3 分 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - （2）假设存在等差数列
17、n a符合要求,设公差为,d则1,d 由 1 1,a 得 1 , 2 n n n Snd 由题意,得 2 11 22 n n ndnn 对 * nN均成立,即 1.ndn 当1n 时,;dR 当1n 时, 1 n d n 因为 1 11, 11 n nn 所以1,d 与1d 矛盾,所以这样的等差数列不存在.7 分 （3）设数列 n a的公比为 , q 则 1 1 , n n aa q 因为 n a的每一项均为正整数,且 01) 1( 1 qaaqaaa nnnnn ， 所以在 1nn aa 中,“ 21 aa”为最小项. 同理, 1 11 22 nn aa 中,“ 21 11 22 aa”为最
18、小项. 由 n a为“K数列”,只需 21 1,aa即 1 11,a q 又因为 1 2 n a 不是“K数列”,且 21 11 22 aa为最小项, 所以 21 11 1, 22 aa即 1 12a q, 由数列 n a的每一项均为正整数,可得 1 12,a q 所以 1 1,3aq或 1 2,2.aq 当 1 1,3aq时, 1 3, n n a 则 3 , 1 n n b n 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 令 * 1 , nnn cbbnN 则 1 3321 3, 2112 nn n n n c nnnn 又 1 2321 33 2312 nn nn nnnn 2 3486 0, 213 n nn nnn 所以 n c为递增数列,即 121,nnn cccc 所以 21 33 31, 22 bb 所以对于任意的 *, nN都有 1 1, nn bb 即数列 n b为“K数列”. 当 1 2,2aq时,2 , n n a 则 1 2 . 1 n n b n 因为 21 2 1, 3 bb所以数列 n b不是“K数列”. 综上:当 1 1,3aq时,数列 n b为“K数列”, 当 1 2,2aq时,2 , n n a 数列 n b不是“K数列”.12 分
