1、 【标题 01】三角函数线大小比较错误 【习题 01】下列不等式成立的是_. Atan1cos1 sin1 Bsin1tan1cos1 Csin1cos1tan1 Dcos1 sin1tan1 【经典错解】作出1弧度角的三角函数线，观察得选C. 【详细正解】在单位圆中，作出 1 弧度角的正弦线、余弦线和正切线，观察可以得到cos1 sin1tan1， 故选D. 【习题 01 针对训练】已知sinsin，那么下列命题成立的是_. A若, 是第一象限角，则coscos； B若, 是第二象限角，则tantan； C若, 是第三象限角，则coscos； D若, 是第四象限角，则tantan. 【标题
2、02】正弦函数的图像和性质理解不清 【习题 02】有下列命题：sinyx的递增区间是2,2() 2 kkkZ ；sinyx在第一象限是增 函数； sinyx在, 2 2 上是增函数，其中正确的个数是 . A0 B1 C2 D3 【经典错解】由于是正确的，故选C. 【详细正解】 由于sinyx的递增区间是2,2() 22 kkkZ ， 所以是错误的； 由于sinyx在 第一象限不是单调函数，所以是错误的.是正确的，故选B. 【深度剖析】 （1）经典错解错在正弦函数的图像和性质理解不清. （2）不能因为正弦函数在(0,) 2 是增函 数，就说正弦函数在第一象限是增函数，实际上正弦函数在第一象限是不
3、单调的. 在提到第一象限的时候， 不能只想到(0,) 2 ，因为高中角的定义进行了推广,第一象限的角用区间表示为2,2() 2 kkkZ . 如 0 390和 0 60 都是第一象限的角，且 00 39060，但是 000 13 sin390sin30sin60 22 . 【习题 02 针对训练】下列命题中，正确的是_. A函数sinyx在0, 内是单调函数； B在第二象限内，sinyx是减函数，cosyx也是减函数； Ccosyx的增区间为0, ； Dsinyx在区间, 2 上是减函数. 【标题 03】对函数的结构分析不清对复合函数分析不到位 【习题 03】已知函数( )2 sin(2) 3
4、 f xaxb 的定义域为0, 2 ，值域为 5,1，求a和b的值 【经典错解】 2 0022 2333 xxx 3 sin(2)1 23 x 由题得 21 35 ab ab += -+ =- ， 解得 126 3 23 12 3 a b =- =-+ . 【详细正解】 23 0022sin(2)1 233323 xxxx 当a0 时，则 21 35 ab ab += -+ =- ，解得 126 3 23 12 3 a b =- =-+ ； 当a0 时，则 25 31 ab ab + =- -+ = ， 解得 126 3 19 12 3 a b =- =- ； 当a=0 时，显然不符合题意.
5、学科网 a=1263，b=23+123或a=12+63，b=19123 【习题 03 针对训练】已知 2 ( )2 sin2 2 sinf xaxaxab的定义域是0, 2 ，值域是 5,1，求a和 b的值. 【标题 04】三角函数图像的左右平移没有理解透彻 【习题 04】将函数xy2sin的图象向右平移 4 个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式 为 . 【经典错解】将函数xy2sin的图象向右平移 4 个单位得到函数sin 2 -) 4 yx p =（的图象，再向上平移 1 个 单位得函数sin(2) 1 4 yx p =-+的图象，故所得的函数对应的解析式为sin(2) 1
6、 4 yx p =-+ . 【详细正解】将函数xy2sin的图象向右平移 4 个单位得到函数 xxxy2cos) 2 2sin() 4 (2sin 的图象， 再向上平移 1 个单位得函数cos21yx 的图象， 故 所得的函数对应的解析式为cos21yx .故填cos21yx . 【习题 04 针对训练】函数cos(2)()yx的图像向右平移 2 个单位后，与函数 ) 3 2sin( xy的图像重合， 则 = . 【标题 05】三角函数图像的伸缩变换理解不透彻 【习题 05】把函数sin() 3 yx p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解 析式为 . 【经典
7、错解】把函数sin() 3 yx p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数的 解析式为 11 sin()sin() 2326 yxx pp =+=+.所以填 1 sin() 26 yx p =+. 【详细正解】把函数sin() 3 yx p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数的 解析式为 1 sin() 23 yx p =+.故填 1 sin() 23 yx p =+. 【深度剖析】 （1）经典错解错在三角函数图像的伸缩变换理解不透彻.（2）把函数 y=f(x) 的图像上的点的 横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 得到的
8、函数为 1 () 2 yfx=， 也就是说只是把函数的解析中有 “x ” 的地方换成“ 1 2 x” ，其它的都不变，所以把函数sin() 3 yx p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的 2倍， 纵坐标不变，得到的函数的解析式为 1 sin() 23 yx p =+. 【习题 05 针对训练】 要得到函数2 cosxy 的图象， 只需将函数2sin(2) 4 yx 的图象上所有的 点的( ). A.横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 8 个单位长度 B.横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 4 个单位长度 C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标
9、不变)，再向左平行移动 4 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 8 个单位长度 【标题 06】图像左右平移理解错误 【习题 06】要得到( )tan(2) 3 f xx 的图象，只须将( )tan2f xx的图象( ) A向右平移 3 个单位 B向左平移 3 个单位 C向左平移 6 个单位 D向右平移 6 个单位 【经典错解】 只须将函数( )tan2f xx的图象向右平移 3 p 个单位就可以得到函数( )tan(2) 3 f xx 的图 象，故选A. 【详细正解】由于 tan2 3 x =) 6 (2tan x,只须将函数( )tan2f xx的图象向
10、右平移 6 个单位就可以 得到函数( )tan(2) 3 f xx 的图象，故选 D.学！科网 【习题 06 针对训练】函数3sin 3 3 yx 的图象可看成3sin3yx的图象按如下平移变换而得到的 （ ）. A向左平移 9 个单位 B向右平移 9 个单位 C向左平移 3 个单位 D向右平移 3 个单位 【标题 07】求三角函数解析式时代点错误 【习题 07】函数), 2 , 0)(sin(RxxAy 的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）. A) 48 sin(4 xy B) 48 sin(4 xy C) 48 sin(4 xy D) 48 sin(4 xy 【经典错解】由图像得4,2
11、 (62)16AT, 816 2 ,则4sin() 8 yx 代入(6,0)，得 3 sin()0 4 p f+=，则 33 | 442 kkzk 4 4sin() 84 yx pp =+，故选C. 【详细正解】由图像得4,2 (62)16AT, 816 2 ,则4sin() 8 yx 代入(2, 4)，得 1) 4 sin( ， 33 22 4244 kkzk 3 4sin()4sin()4sin() 848484 yxxx .故选D. 位置的点. 【习题 07 针对训练】函数( )sin()f xAx（0,0,0A）的图象如图所示，则(0)f值为 （ ） A1 B0 C2 D3 【标题 0
12、8】解三角方程组时没有把解出的值代入每一个方程检验导致出现增解 【习题 08】是否存在(,) 2 2 ，(0, )使等式sin(3)2cos() 2 3cos()2cos() 同时成立？若存在，求出, 的值；若不存在，请说明理由 【经典错解】由条件得 sin2sin1 3cos2cos2 （） （ ） 22 1 +2（） （ ） 得 22 sin3cos2 ， 2 1 cos 2 即 2 cos 2 (,) 2 244 或- 将 4 代入（2）得 3 cos 2 又(0, ) 6 ，代入（1）可知，符合将 4 代入（2）得 6 ， 综上可知 4646 或 . 【详细正解】 （前面同上）将 4
13、代入（2）得 6 ，把 46 代入（1）可知，不符合， 所以舍去. 综上可知 46 学#科网 【习题 08 针对训练】是否存在锐角与 ，使得（1） 2 2 3 ， （2）tantan 2 23 同时成立若存在，求出和的值；若不存在，说明理由 【标题 09】把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在 R 上的单调区间了 【习题 09】已知函数( )sin()(0,0) 3 f xAxA 的部分图象如图所示 A和的值； 函数 yf x在0, 的单调增区间；来源:学.科.网 函数( )( ) 1g xf x在区间( , )a b上恰有10个零点，求ba的最大值 【经典错解】 （1）2,A 2
14、43124 T ，2，所以 2sin 2 3 f xx （2）令222 232 kxk ，kZ 得 5 1212 kxk ， 所以函数的单调增区间是 5 , 1212 kkkz . 2sin 21 3 f xx ，得 5 12 xk 或 3 () 4 xkkZ 函数( )f x在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以ba最大值为 217 5 33 T 【详细正解】1）2,A 2 43124 T ，2，所以 2sin 2 3 f xx （2）令222 232 kxk ，kZ 得 5 1212 kxk ， 当0k 时， 5 1212 x 当1k 时， 713 1212 x . 又因为x0,
15、，所以函数 yf x在0, 的单调增区间为0, 12 和 7 , 12 . （3）同上. 【深度剖析】 （1）经典错解错在把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在 R 上的单调区间了. （2）已知要求的是函数在区间0, 上的单调增区间，不是 R 上的单调增区间，所以求出函数在 R 上的单 调增区间后，还要把增区间和0, 求交集.（3）解题时，一定要养成好的习惯，不要定势思维. 【习题 09 针对训练】已知函数 2 ( )2cos2 3sin cos ().f xxxx xR （1）当0, x时，求函数f(x)的单调递增区间； （2）若方程( )1f xt 在0, 2 x 内恒有两个不相
16、等的实数解，求实数t的取值范围 【标题 10】三角函数的周期公式的使用情景没有理解清楚 【习题 10】已知 2 ( )sinf xx的最小正周期是 4 ，则_. 【经典错解】由题得 2 8 4| T ，故填8 .来源:学,科,网 【详细正解】 2 1 cos2112 ( )sincos24 2224|2| x f xxx 【习题 10 针对训练】已知 2 ( )12cos () 4 f xx 的最小正周期是 2 ，则_.来源:Zxxk.Com 【标题 11】不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式 【习题 11】已知是ABC的一个内角，则不等式3tan1的解集为 . 【经典错解】由正切函数的图
17、像得不等式的解集为 2 | 43 【详细正解】当0 2 时，0 4 ；当 2 时， 2 3 . 所以不等式的解集为 2 |0 43 或.故填 2 |0 43 或 【深度剖析】 （1）经典错解错在不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式. （2）实际上本题可以直接 画出正切函数在(0, ) 的图像，再画31yy 和 两条直线，观察两条直线之间的部分图像的的取 值范围.(3)数学是严谨的自然科学，要讲究逻辑，不能感性. 【习题 11 针对训练】不等式tan(2)1 4 x 的解集为_. 【标题 12】凭想象而不是利用三角函数的图像和性质解答 【习题 12】函数f （x)=tanx在区间 2 , 3
18、3 上的值域为 . 【经典错解】由于 2 ()3()3 33 ff 所以函数的值域为3, 3. 【详细正解】作出函数f （x)=tanx的图像，在截断到 2 , 33 ，观察得函数的值域为 3,)(,3 ，故填 3,)(,3 . 【标题 13】三角函数的周期分析错误 【习题 13】已知 3 sin 5 ，且(, ) 2 ，函数( )sin()(0)f xx 的图象的相邻两条对称轴之间 的距离等于 2 ，则() 4 f 的值为（ ） A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 【经典错解】相邻两条对称轴之间的距离等于 2 ,即周期 2 4 2 T ,又 3 sin 5 ，所以 () 4 f
19、3 sin()sin 5 ，故选 A. 【详细正解】相邻两条对称轴之间的距离等于 2 ,即周期2 2 2 T,又 3 sin 5 ，且 (,) 2 ，可求得 5 4 cos，所以() 4 f 5 4 cos) 2 (sin ，故选B. 【深度剖析】 （1）经典错解错在三角函数的周期分析错误. （2）错解把相邻两条对称轴的距离看作了一个 周期，实际上是周期的一半，所以错误. 所以对于三角函数的图像要会识图,不要看错. 【习题 13 针对训练】 若函数sin()yAx(0A ，0，| 2 )在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON，则A（ ） A 6 B
20、 7 12 C 7 6 D 7 3 【标题 14】三角函数的周期和最值分析错误 【习题 14】已知函数( )2sin() 6 f xx 中x在任意的 1 5 个长度单位的距离内能同时取得最大值和最小 值，那么正实数的取值范围是_. 【经典错解】由题得 21 100010 5 T 故填(0,10 【详细正解】由题得 21 10010 5 T 故填10 ,). 【习题 14 针对训练】已知函数tanyx 在(,) 2 2 内是减函数，则（ ） A01 B1 C1 D10 【标题 15】复合函数的单调性理解没有到位 【习题 15】函数( )sin( 2 )f xx的单调增区间是 . 【经典错解】由题
21、得222 2244 kxkkzkxk 故填, 44 kkkz . 学！科网 【详细正解】由题得 33 2+22 2244 kxkkzkxk 故填 3 , 44 kkkz . 方法二：( )sin( 2 )sin2xf xx 所以 3 2+22 22 kxkkz 3 44 kxk 故填 3 , 44 kkkz . 【习题 15 针对训练】设函数( )sin( 2)f xx（0）的图象的一条对称轴 是直线 8 x .求； 求函数( )yf x的单调增区 间. 【标题 16】三角函数的周期扩大了导致错误 【习题 16】 为了使函数sin(0)yx在区间0,1上至少出现50次最大值， 则的最小值是_.
22、 A98 B197 2 C199 2 D100 【经典错解】由题得 2 150100 的最小值是100 . 故选D. 【详细正解】由题得 11 2197197 149149 4422 T 的最小值是.故选B. 【深度剖析】 （1）经典错解错在三角函数的周期扩大了导致错误. （2）错解认为区间0,1至少要包含 50 个周期，但是从三角函数的图像来看，只需要 1 49 4 个周期就可以了. 学科网 【习题 16 针对训练】已知函数( )cos(sin3cos) (0)f xxxx，如果存在实数 0 x，使得对任 意的实数x，都有 00 ()( )(2016 )f xf xf x成立，则的最小值为（
23、 ） A 1 4032 B 1 2016 C 1 4032 D 1 2016 来源:Z#xx#k.Com 【标题 17】绝对值函数的图像理解不准确 【习题 17】函数|tan|yx的最小正周期为 . 【经典错解】函数tanyx的最小正周期是，所以函数| tan|yx的最小正周期为 1 22 .所以填 2 . 【详细正解】函数tanyx的最小正周期是，所以函数| tan|yx的最小正周期为.所以填. 【习题 17 针对训练】下列函数中，最小正周期为2的是（ ） A|sin2 |yx B. cos|yx C. 1 |sin| 2 yx D. |sin| 4 yx （） 【标题 18】求函数的取值范
24、围时忽略了三角函数的隐含范围 【习题 18】已知 22 2sincos1xy，则 22 sincosxy的取值范围为_. 【经典错解】由已知得 22 cos1 2sinyx ，所以 2222 sincossin1 2sinxyxx 2 1 sin x 222 0sin11sin001 sin1xxx 所以 22 sincosxy的取值范围为0,1 【详细正解】由已知得 22222 11 cos1 2sin0sinsin00sin 22 yxxxx 所以 2222 sincossin1 2sinxyxx 2 1 sin x 222 111 0sinsin01 sin1 222 xxx 所以 22
25、 sincosxy的取值范围为 1 ,1 2 . 【习题 18 针对训练】已知 1 sinsin 3 xy，求 2 sincosxy的最大值和最小值. 【标题 19】求函数的值域时忽略了分母不等于零 【习题 19】设函数( )sin()f xAwx (0,w0,)A 在 6 x 处取得最大值2 ，其图像 与x 轴的相邻两交点的距离为 2 ， （1）求( )f x 的解析式； （2）求函数 42 6cossin1 ( ) () 6 xx g x f x 的值 域. 【经典错解】 （1）由题设条件知( )f x的周期T，即 2 ，解得2 因( )f x在 6 x 处取得最大值 2，所以2A ，从而
26、 sin(2)1 6 ， 所以22, 62 kkZ ，又由 得 6 故( )f x的解析式为( )2sin(2) 6 f xx （2） 4242 6cossin16coscos2 ( ) 2cos2 2sin(2) 2 xxxx g x x x 22 2 (2cos1)(3cos2) 2(2cos1) xx x 2 3 cos1 2 x因为 2 cos0,1x，所以 5 ( )1, 2 g x . 故( )g x 的值域为 5 1, 2 【详细正解】 （1）同上； （2） 4242 6cossin16coscos2 ( ) 2cos2 2sin(2) 2 xxxx g x x x 22 2 (
27、2cos1)(3cos2) 2(2cos1) xx x 22 31 cos1(cos) 22 xx因 2 cos0,1x，且 2 1 cos 2 x 故( )g x 的值域为 77 5 1, )( , 44 2 【深度剖析】 （1） 经典错解错在求函数的值域时忽略了分母不等于零. （2） 错解忽略了分母 2 2cos10 x ， 所以导致函数的值域错误.（3）研究函数的问题，必须注意函数的定义域，即使题目没有要求求函数的定 义域. 【习题 19 针对训练】设函数( )sin(2)f xAwx（其中(0,w0,)A）在 6 x 处取得最 大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为 2 （1）求(
28、 )f x的解析式； （2）求( )30f x 的解集； （3）求函数 42 4cos2sin ( ) () 6 xx g x f x 的值域 【标题 20】研究函数的问题时没有考虑函数的自变量的范围 【习题 20】 已知锐角ABC中， 向量(22sin,cossin)pAAA 与向量(sincos ,1 sin)qAAA 共 线. （1）求A； （2）函数 2 3 2sincos 2 CB yB 的值域. 【详细正解】 （1）同上； （2） 20 2sincos(260 )BB 0 1 cos2cos(260 )BB 0 1 sin(230 )B 因为ABC是锐角三角形 所以 00 22 2
29、62 00 322 BB B BC 所以 51 22sin(2)1 366626 BBB 所以 3 1 sin(2)2 26 B 所以函数的值域为 3 ( ,2 2 . 【习题 20 针对训练】在ABC中，(2sinsin,cos)mBCC ，(sin ,cos )nAA ，且/ /mn . （1）求角A的值； （2）求 2 ( )2sincos(2 ) 3 f xBB 的最大值. 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 18 讲：三角函数的图像性质参考答案 【习题 01 针对训练答案】D 【习题 01 针对训练解析】在单位圆中，根据sinsin画出， ,再逐一利用三角函数线验证每一个 选项，
30、故选D.学！科网 【习题 02 针对训练答案】D 22 2 ( )22 22 () 2 g tatataba tb 当a0 时，则 5 1 b ab =- += ；解之得a=6，b=5； 当a=0，不满足题意； 当a0 时，则 1 5 b a b = + =- ；解之得a=6，b=1 综上所述：a=6，b=5 或a=6，b=1 【习题 04 针对训练答案】 6 5 【习题 04 针对训练解析】函数向右平移得到cos2()cos(2x) 2 yx 5 sin(2)sin(2) 22236 yxx ，故填 6 5 . 【习题 05 针对训练答案】C 【习题 05 针对训练解析】根据题意可知： 2
31、2sin(2)2sin() 44 yxyx 横坐标伸长为原来的 倍 4 2sin() 44 yx 向左平移个单位 = 2sin()= 2cos 2 xx .故选C. 【习题 06 针对训练答案】A 【习题 06 针对训练解析】因为3sin(3)3sin3() 39 yxx ，所以3sin3yx的图象向向左平移 9 个单位即可得到函数3sin 3 3 yx 的图象. 【习题 07 针对训练答案】A 【习题 08 针对训练解析】由 2 2 3 得到 1 23 ， 所以 tantan 2 tan()tan3 23 1 tantan 2 来源:Zxxk.Com 把tantan23 2 代入式子中得到：
32、tantan33 2 ， 把联立求得：tan1tan23 2 或tan23tan1 2 由题知锐角 ，当tan1 2 时， 2 矛盾，所以舍去； 当tan1 时，因为 为锐角，所以 4 ， 根据 2 2 3 得到 6 综上所述 64 . 【习题 09 针对训练答案】 （1）0, 6 ， 2 , 3 ； （2）12t . 【习题 09 针对训练解析】(1) 2 ( )2cos3sin2f xxx=cos23sin21xx =2sin 21 6 x 令-222, 262 kxkkZ ， 解得 2 222 33 kxk 即 36 kxk ， kZ 【习题 10 针对训练解析】 2 1 cos(2)
33、2 ( )1 2cos ()1 2 42 x f xx sin22x 2 2 |2|2 T 故填2.学！科网 【习题 11 针对训练答案】 |+ 2428 kk xxkz 【习题 11 针对训练解析】由题得2+ 442 kxkkz 所以+ 2428 kk xkz 故填 |+ 2428 kk xxkz . 【习题 12 针对训练答案】 3 3,)(, 3 【习题 12 针对训练解析】 25 tan()3 633666 xxx 或 3 tan() 63 x 3 3,)(, 3 函数的值域为 . 【习题 13 针对训练答案】C 【习题 13 针对训练解析】由图得，4 312 T ，则2，设M（ 12
34、 ，A） ，则N（ 7 12 ，-A ） ， 0OM ON，0A， 7 0 1212 AA ，解得 7 12 A 7 6 A 【习题 14 针对训练答案】D 【习题 14 针对训练解析】函数tanyx在(,) 2 2 内是减函数，且正切函数在(,) 2 2 内是增函数， 由复合函数的单调性可知，x 在(,) 2 2 内是减函数，即0 且 | ，解得：10 故选 D. 【习题 15 针对训练答案】 5 , 88 kkkz 【习题 15 针对训练解析】 3 1 824 kkzk （）由题得-2 1= 4 k 时， ，( )sin( 2)sin(2) 44 f xxx 3 222 242 kxkkz
35、 解之得 5 88 kxk 所以函数的增区间是 5 , 88 kkkz . 【习题 16 针对训练答案】C 【习题 18 针对训练答案】 411 ;. 912 【习题 18 针对训练解析】 11 sinsinsinsin 33 xyxy 2 1sin1sin1 3 xy 2222 112 sincossincossin(1 sin)sinsin 333 xyyyyyyy 2 111 (sin) 212 y 当 1 sin 2 y 时， 2 sincosxy的最小值为 11 12 .当 2 sin 3 y 时， 2 sincosxy的最大值为 4 9 . 【习题 19 针对训练答案】 （1）(
36、)2sin(2) 6 f xx ； （2） | 124 xkxkkz ； （3） 33 1, )( ,2 22 . 4242 22 2 2 4cos2sin4cos2cos2 3( ) 2cos2 () 6 (2cos1)(2cos2) cos1 2(2cos1) xxxx g x x f x xx x x （ ） 2 1 cos 2 x 因 2 cos0,1x且 2 1 cos 2 x ，故( )g x的值域为 33 1, )( ,2 22 . 【习题 20 针对训练答案】 （1） 0 60A ； （2）2 .学科网 【习题 20 针对训练解析】 （1）|(2sinsin)coscossin0m nBCACA 0 2sincossincoscossin0 2sincossin()sin()sin 1 sin0cos60 2 BACACA BACABB BAAABCA 是的内角
