1、 【标题 01】利用微积分基本原理时找“sinx”的原函数出现错误 【习题 01】 3 2 2 (sin )xx dx =（ ） A0 B2 C D 4 8 【经典错解】 3 2 2 (sin )xx dx 4 2 2 1 cos| 4 xx 44 11 coscos 422422 =0. 故选A. 【详细正解】 3 2 2 (sin )xx dx = 4 2 2 1 cos| 4 xx 44 11 coscos 422422 =0. 故选A. 【习题 01 针对训练】已知(sincos )axx dx ，则二项式 6 1 a x x 展开式中含 2 x项的系数是 _. 【标题 02】求定积分
2、时找复合函数的原函数出现错误 【习题 02】计算: 2 0 cos xdx . 【经典错解】由定积分的定义得 2 00 0 1 cos2sin2 cos() 222 xxx xdxdx sin2 () 22 0sin(2 0) 222 【详细正解】由定积分的定义得 2 00 0 1 cos2sin2 cos() 224 xxx xdxdx sin2 () 24 0sin(2 0) 242 【深度剖析】 （1）经典错解错在求定积分时找复合函数的原函数出现错误.经典错解答案虽然对了，但是过 程是错误的.（2）经典错解误认为 11 ( sin2 )cos2 22 xx ，利用复合函数的求导法则求导发
3、现是错误的，实 际上， 11 ( sin2 )cos2 42 xx .所以类似这种复合函数找原函数时，要认真细心，不能简单类比.学科网 【习题 02 针对训练】计算定积分 1 22 3 0 6 cos x e dxxdx = . 【标题 03】定积分的计算出错 【习题 03】 1 0 (2 ) x ex dx 等于( ) A. 1 B. e-1 C. e D. e+1 【经典错解】 2) 2 xx exex（， 1 21 0 0 (2 )()|(1)1 xx ex dxexee ，所以选择D. 【详细正解】 2) 2 xx exex（, 1 21 0 0 (2 )()| xx ex dxex
4、0 (1)(e0)ee ， 故选C. 来 源:Z.xx.k.Com 【习题 03 针对训练】 2 0 (sin ) x ex dx = . 【标题 04】审题粗心或对定积分的几何意义没有理解不透彻 【习题 04】抛物线 2 yx在(1,1)A处的切线与x轴及该抛物线所围成的图形面积为 . 【经典错解】函数的导数为( )2fxx，则在(1,1)处的切线斜率k (1)1 f ，则对应的切线方程为 12(1)yx ，即21yx， 则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S 1 2321 0 0 11 (21)()| 33 xxdxxxx 【详细正解】函数的导数为( )2fxx，则在(1,1)处的切线斜率
5、k (1)1 f ，则对应的切线方程为 12(1)yx ，即21yx，令0y ，得 1 2 x ，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积 1 2321 0 0 1 111111 (21)1()| 2 2343412 Sxxdxxxx ,故答案为 1 12 【习题 04 针对训练】曲线 1 ,2, 3 yx yx yx 所围成图形的面积（ ） A 1 6 B 5 6 C13 6 D11 6 【标题 05】对定积分在物理中的应用没有理解透彻 【习题 05】一物体沿直线26vt（t的单位：s,v的单位：/m s）的速度运动，求该物体在07s间 行进的路程. 【经典错解】 7 27 0 0 (26)(6
6、 )|49427Stdttt ,所以该物体在07s间行进的路程为7m. 【详细正解】画出函数的图像得 73 2723 30 30 (26)(26)(6 )|(6 )|Stdttdttttt 4942( 9)( 9)25 .来源:Z_xx_k.Com 【习题 05 针对训练】 物体A以 2 31vt (/m s)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A 的正前方5m处,同时以10vt(/m s)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间( )t s为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6来源:Zxxk.Com 【标题 06】化简时忽略了变量y的范围 【习题 06】
7、 1 2 0 (2 )xx dx （ ） A 4 B 3 4 C 2 D 【经典错解】 222 22yxxyxx 设 2222 1(1)(1)1yxxy 1 2 0 (2 )xx dx 表示圆 22 (1)1xy的面积的一半，即 2 所以选择C. 学科网 【详细正解】 22 21 (1)yxxx设 2 22 0 1 (1)0 1 (1) y x yx 2222 1 (1)(1)1yxxy 来源:学。科。网 1 2 0 (2 )xx dx 表示圆 22 (1)1xy的面积的四分之一，即 4 所以选择A. 【深度剖析】 （1）经典错解错在化简时忽略了变量y的范围.（2）错解在利用几何的方法求定积分
8、时，把函 数化简，忽略了0y ，所以函数的曲线只是圆的 1 4 ，而不是圆的 1 2 .（3）利用几何的方法求定积分时，既 要注意x的范围，也要注意y的范围，都不能忽略. 【习题 06 针对训练】 dxxx)2) 1(1( 1 0 2 . 【标题 07】定积分的几何意义理解不透彻 【习题 07】由曲线1 2 xy，直线0 x，2x和x轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（ ） A 2 0 2 ) 1(dxx B 21 22 10 (1)-(1)xdxxdx C|) 1(| 2 0 2 dxx D 12 22 01 (1)(1)xdxxdx 【经典错解】由题得 12 22 01 +=(1)(1
9、)sssxdxxdx 下上 ，所以选择D. 【详细正解】 由题得 1221 2222 0110 +=-(1)(1)(1)-(1)sssxdxxdxxdxxdx 下上 ,所以选择B.来源:学_科_网 Z_X_X_K 【习题 07 针对训练】曲线 3 cos0 2 yxx 与x轴以及直线 3 2 x 所围图形的面积为（ ） 4 2 5 2 3 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 26 讲：定积分及微积分基本原理参考答案 【习题 01 针对训练答案】192 【习题 02 针对训练解析】 1 2212 33 0 0 66 111133 cos2()|( sin2 )| 222244 xx e dx
10、xdxexe 2 11 22 e 【习题 03 针对训练答案】 1 2cos1 e 【习题 03 针对训练解析】 2 110 0 0 (sin )(cos )|cos1 (cos0) xx ex dxexee 1 cos1 1 1 e 1 2cos1 e 学%科网 【习题 04 针对训练答案】C 【习题 04 针对训练解析】 如图,作出各曲线,图中阴影部份为所求之面积 由 2 yx yx ,得交点(1,1)A；由 1 3 2 yx yx 得交点(3, 1)B 故所求面积 13 01 11 ()(2) 33 Sxx dxxx dx 3 2123 2 01 211 ()|(2)| 363 xxxx 21413 3636 【习题 07 针对训练答案】B 【习题 07 针对训练解析】根据余弦函数的图像及题意可知所求的面积实际为 3 , 22 x （并非是 3 0, 2 x ）时cosyx及x轴所围图形的面积， 3 2 2 3 3 2 cossin(sinsin)( 1 1)2 22 2 Sxdxx ，故选B.
