1、专题突破练专题突破练 21 随机变量及其分布随机变量及其分布 1.(2019 全国,理 18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分.当某局打成 1010 平后,每球交换发球权, 先多得 2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立.在某局双方 1010平后,甲先发球,两人又打 了 X 个球该局比赛结束. (1)求 P(X=2); (2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率. 2.(2019 河北武邑中学调研二,理 18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人 的影响,具体方法如下
2、:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种 心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有 6名男志 愿者 A1,A2,A3,A4,A5,A6和 4名女志愿者 B1,B2,B3,B4,从中随机抽取 5人接受甲种心理暗示,另 5人接受 乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率. (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X的分布列与数学期望 E(X). 3.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区投篮 2次或选择在 B区投篮 3 次,在 A区每进一球得 2分,
3、不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3分,不进球得 0 分,得分高的选手胜出. 已知某参赛选手在 A区和 B区每次投篮进球的概率分别是 和 . (1)如果该选手以在 A,B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问该选手应该选择哪个区投篮? 请说明理由; (2)求该选手在 A 区投篮得分高于在 B区投篮得分的概率. 4.(2020 河北唐山一模,19)甲、乙二人进行一场比赛,该比赛采用三局两胜制,即先获得两局胜利者获 得该场比赛胜利.在每一局比赛中,都不会出现平局,甲获胜的概率都为 p(0p0),用这 2 000 名学 生的平均物理成绩 作为 的估计值,用这 2 000 名学生的物理成绩的
4、方差 s2作为 2的估计值. (1)若张明同学在这次考试中的物理原始分为 86分,等级为 B+,其所在原始分分布区间为 8293,求张 明转换后的物理等级分(精确到 1);按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取 100 人,记 Y 表示这 100 人中等级成绩在区间81,100内的人数,求 Y 最有可能的取值(概率最大); (2)求 ,s2(同一组中的数据用该组区间的中点作代表); 由中的数据,记该校高一学生的物理原始分高于 84 分的人数为 Z,求 E(Z). 附:若 XN(,2)(0),则 P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,P(-3p.即 2p2-3p+10,
5、解 得 p14.37,所以应选生产线. 6.解 (1)由题意:当 0n83时,y=120元; 当 n83 时,y=120+(n-83)5=5n-295. 乙公司的快递员一日工资 y(单位:元)与送件数 n的函数关系为 y= - (2)X的所有可能取值为 152,154,156,158,160. 由题可知 P(X=152)=0.1,P(X=154)=0.2, P(X=156)=0.1,P(X=158)=0.4,P(X=160)=0.2, X的分布列为: X 152 154 156 158 160 P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 X的数学期望 E(X)=1520.1+1540.2+15
6、60.1+1580.4+1600.2=156.8(元). 设乙公司的日工资为 Y,则 E(Y)=120+00.1+50.1+150.2+250.3+350.3=141.5(元). 由于到甲公司的日工资的数学期望(均值)比乙公司的日工资的数学期望(均值)高,所 以小王应当到甲公司应聘“快递员”的工作. 7.解 (1)设张明转换后的物理等级分为 x,由 - - - - ,解得 x84.27. 所以张明转换后的物理等级分为 84 分.由题意,YB(100,0.1). 由 - 得 解得 9.1k10.1,又 kN*,所以 k=10. 所以 Y 最有可能的取值是 10. (2) =300.02+400.
7、08+500.22+600.36+700.22+800.08+900.02=60. s2=(30-60)20.02+(40-60)20.08+(50-60)20.22+(60-60)20.36+(70-60)20.22+(80- 60)20.08+(90-60)20.02=144. 由中的数据知 =60,=12,所以 ZN(60,122). 所以 +2=60+212=84. 所以 P(Z84)= - - - =0.022 8, 由题意,ZB(2 000,0.022 8).所以 E(Z)=2 0000.022 8=45.6. 8.解 (1)由图可知,苹果的重量在(300,400内的频率为:(0.
8、003 6+0.002 0)50=0.28. 一顾客从该果园购买的 30个苹果中重量在(300,400内的个数为 X,则 XB(30,0.28), 所以 E(X)=300.28=8.4(个). (2)()买家要行进至第 1 格的情况只有一种:买家第一次抛掷骰子,结果为 1,行进至 第一格,其概率为 ,则 p1= ; 买家要行进至第 2 格的情况有以下两种: 当前格在第 0格,第一次抛掷骰子,结果为 2,行进至第 2格,其概率为 ; 当前格在第 1格,第二次抛掷骰子,结果为 1,行进至第 2格,其概率为 ;所 以 p2= 买家要行进至第 i 格(i=2,31)的情况有以下两种: 当前格在第 i-
9、2 格,抛掷一次骰子,结果为 2,行进至第 i 格,其概率为 pi-2; 当前格在第 i-1 格,抛掷一次骰子,结果为 1,行进至第 i 格,其概率为 pi-1; 所以 pi= pi-1+ pi-2(i=2,31). ()由()得,(pi-pi-1)=- (pi-1-pi-2),即 - - - - - =- (i=2,31), 又 p1-p0= -1=- 0, 所以数列pi-pi-1(i=2,31)是首项为 p1-p0=- ,公比为- 的等比数列. 所以 pi-pi-1=(- ) (i=2,31), 所以 pi=(pi-pi-1)+(pi-1-pi-2)+(p1-p0)+p0 =(- ) (- ) - +(- )+1= -(- ) -(- ) -(- ) , 即 pi= -(- ) (i=2,31),当 i=0或 i=1 时,此式仍然成立,所以 pi= -(- ) (i=0,1,2,31) 所以买家行进至第 31格(获得福袋)的概率为 p31= -(- ) -( ) ; 又买家行进至第 32 格(谢谢惠顾)的概率为 p32= p30= 1- - = ( ) , 由于 p31-p32= -( ) ( ) -( ) 0,所以买家行进至第 31格 的概率大于行进至第 32 格的概率,即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家.
