1、1 衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷 高三数学（高三数学（2020.11） 本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第卷（选择题）和 第卷（非选择题）两部分，共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意：考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题 卷和答题纸规定的位置上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试 卷上的作答一律无效. 参考公式：参考公式： 若事件,A B互斥，则 柱体的体积公式 ()( )( )P AB
2、P AP B VSh 若事件,A B相互独立，则 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 ()( ) ( )P ABP A P B 锥体的体积公式 若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次 1 3 VSh 独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 ( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn 球的表面积公式 台体的体积公式 2 4SR 1122 1 3 Vh SS SS 球的体积公式 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积， 3 4 3 VR h表示台体的高 其中R表示球的半径 第第 卷卷 (选择题选择题,共共 40 分分
3、) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合|1Px x， |5Qx x，则PQ A. , B. |5x x C. | 15xx D. |1x x 2.已知Ra，若复数 2 izaaa（i是虚数单位）是纯虚数，则a A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 3.若实数, x y满足 20 0 xy xy ，则2zxy A. 有最小值1，无最大值 B. 有最小值1，无最大值 C. 有最大值2，无最小值 D. 有最大值1，无最小值 2 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 4 5 3 B.
4、 4 3 C. 4 5 D. 8 3 5.已知 f x是定义在R上的函数，则“ 00f”是 “ f x是奇函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6.m，n是空间两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. 若/m，/n，/，则/mn B. 若m，n，则mn C. 若mn，m，/n，则 D. 若m，n，/mn，则/ 7.已知函数 fx的图象如图所示，则 yf x的图象可能是 8.已知双曲线:C 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过点 1 F的直线l与 双曲线C在第一象限的交
5、点为P， 若原点到直线l的距离为a， 12 60FPF， 则双曲线C 的离心率为 A. 72 3 3 B. 2 C. 31 D. 72 3 3 9.已知数列 n a的前n项和是 n S，前n项的积是 n T. 若 n a是等差数列，则 1nn aa 是等差数列； 若 n a是等比数列，则 1nn aa 是等比数列； 若 n S n 是等差数列，则 n a是等差数列； 若 n a是等比数列，则 2 n n T 是等比数列. 其中正确命题的个数有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10.已知空间向量, ,a b c两两的夹角均为60，且| | 1ab，| 2c .若向量, x
6、 y满足 ()xxax b，()yyay c，则|xy的最大值是 A. 13 B. 3 1 2 C. 1 3 2 D. 13 22 俯视图 侧视图正视图 5 1 1 2 第 4 题图 0 1 2 x y 第 7 题图 012x y 012x y 10 2 x y 0 1 2x y A B C D 3 第第 卷卷 （非选择题部分，共（非选择题部分，共 110 分）分） 注意事项：注意事项： 用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效. 二.填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36
7、 分) 11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现： 数量为1,3,6,10,的石子， 可以排成三角形 （如图） ， 我们把这样的数称为“三角形数” ，依此规律，第n个“三角形数”是 1 2 n n ，则第 5 个“三角形数”是 ，前 6 个“三角形数”的和是 . 12.已知12 n x展开式中第三项的二项式系数是10，则n ，展开式中最大的系数 是 . 13.已知函数 2sin 3 f xx 0的最小正周期是，则 ，单调递增 区间是 . 14.已知直线:2l yxb0b 被圆 22 1: 319Cxy所截得的弦长为 4， 且与圆 心为2, 1的圆 2 C相切，则b ；圆 2 C的半径长是 . 15
8、.已知三棱柱 111 ABCABC的所有棱长均为2，侧棱 1 AA 底面ABC， 若,E F分别是线段 1 BB， 11 AC的中点，则异面直线AE与CF所成角 的余弦值是 . 16.一个口袋中有 3 个红球，3 个白球，2 个黑球，现从中任取 3 个球， 记取出的球的颜色有种，则 E . 17.若实数, x y满足 22 (241)(1)4xxyy，则xy的最小值是 . 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题小题，共，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分） 在锐角ABC中，角, ,A B
9、C所对的边分别是, ,a b c， 222 2sin 6 bcabcA . （）求角A的大小； （）求sincosBC的取值范围. F C1 B1 A1 E C B A 第 15 题图 4 19.（本小题满分 15 分） 如 图 ，在 四棱 锥PABCD中 ，底 面ABCD为 平 行四 边形 ，60BAD， 2PAADPD，侧面PAD 底面ABCD，E，F分别为PC，AB的中点. （）求证：/EF平面PAD； （） 当APBD时， 求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 20.（本小题满分 15 分） 已知正项数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 2 11 * nnn SSan
10、N. （）求 2 a， 3 a的值，并写出数列 n a的通项公式； （） 设 1 n n b a ， 数列 n b的前n项和为 n T， 求证： 3 221 2 n nTn*nN. 21.（本小题满分 15 分） 已知椭圆 2 2 :1 4 x Ty，抛物线 2 :2M ypx的焦点是F，且动点1,Gt在其准线 上. （）当点G在椭圆T上时，求GF的值； （）如图，过点G的直线 1 l与椭圆T交于,P Q两点，与抛物线M交于,A B两点，且G 是线段PQ的中点，过点F的直线 2 l交抛物线M于,C D两点.若/ACBD，求 2 l的斜率 k的取值范围. 22.（本小题满分 15 分） 已知函数
11、( )1 x f xex， 2 ( )g xax（aR）. （）求( )f x的值域； （）当,at时，函数 2F xf xg x有三个不同的零点，求实数t的 最小值； （）当0,x时， ln1f xxxg x恒成立，求a的取值范围. G P Q A B C D F x y O B F E D C A P 5 衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷 高三数学高三数学卷参考卷参考答案（答案（2020.112020.11） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分. 题号 1 2 3 4
12、 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D B D B D C C 二、二、填空题：填空题：本大题共本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. . 11. 15 56 12. 5 80 13. 2 5 , 1212 kkkZ 14. 10 5 15. 1 5 16. 16 7 17. 14 4 三、解答题三、解答题 18.在锐角ABC中，角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，已知 222 2sin 6 bcabcA . （）求角A的值； （）求sincosBC的取值范围. 解： （1）由已知得cossin
13、6 AA ，-2 分 所以 31 cossincos 22 AAA,-4 分 所以 3 tan 3 A ，所以 6 A ；-6 分 （2）sincossincos 6 BCCC 31 sincoscos 22 CCC -8 分 11 sin 2 264 C ，-10 分 6 A B C D E F P 因为ABC是锐角三角形，所以, 3 2 C ，-12 分 57 2, 666 C ，所以 1 1 sin 2, 62 2 C -13 分 所以 111 sin 20, 2642 C -14 分 19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60BAD， 2PAADPD，侧面PAD 底
14、面ABCD，E，F分别为PC，AB的中点 （）证明：/EF平面PAD； （）当APBD，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值 解： （1）取PD的中点M，连结AM，ME,-2 分 由已知/AFMEDC，且 1 2 AFMEDC, 所以四边形AFEM是平行四边形，-3 分 所以/EFAM，又EF 平面PAD，AF 平面PAD-6 分 所以/EF平面PAD；-7 分 （）解法一：取AD的中点O，连结PO， 2PAADPD，POAD， 又侧面PAD 底面ABCD，PO平面ABCD， POBD 又APBD， BD 平面PAD，-9 分 BDAD 又60BAD，24ABAD-11 分 过点C作CGAD于
15、点G，连结PG，由平面PAD 平面ABCD知， CG平面 PAD，所以CPG是直线PC与平面PDC所成角-13 分 又2 3CG ，2 3PG ，所以45CPG， 即直线PC与平面PDC所成角为45-15 分 C O P G M F E D B A 7 解法二：取AD的中点O，连结PO， 2PAADPD，POAD， 又侧面PAD 底面ABCD，PO平面ABCD， POBD 又APBD， BD 平面PAD，-9 分 BDAD 又60BAD，24ABAD-11 分 以D为原点， 射线DA DB，分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系， 则0 0 0D， 2 0 0A，0 2 3 0B，2 2 3
16、 0C ， 1 03P， 则 32 33CP ，又平面PAD的法向量为0,0,1n ，-13 分 设直线PC与平面PDC所成角为，则 2 sin 2 n CP nCP ， 所以直线PC与平面PDC所成角为45-15 分 20.已知正项数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 2 11nnn SSa . （）求 2 a， 3 a的值，并写出数列 n a的通项公式； （） 设 1 n n b a ， 数列 n b的前n项和为 n T， 求证： 当2n时， 3 221 2 n nTn. 解（1）当1n 时， 2 212 SSa，即 2 22 20aa 0 n a ， 2 2a ， 2 32
17、3 SSa，解得 3 3a ，-4 分 由 2 11 2 1 (2) nnn nnn SSa SSan ，可得 22 11 (2) nnnn aaaan 即 111 ()()(2) nnnnnn aaaaaan 0 n a ， 1 1(2) nn aan 又 21 211aa z y x C O P M F E D B A 8 n a是首项为1，公差为1的等差数列， 1(1) n ann .-7 分 （2）由（1）得， 111 12 n T n 当2n时， 12 2(1) 1 kk kkk ,-9 分 将上式对k从 1 到n求和，得1 2(1)21 n Tnn ，-12 分 注意到： 1112
18、 ()2(1) 211 kk kkkk -14 分 将上式对k从 1 到1n求和， 得 11133 2(1)22 22222 nn TnTnn nn -15 分 所以 3 221 2 n nTn. 经验证，当1n 时，上式也成立. 21.已知椭圆 2 2 :1 4 x Ty， 抛物线 2 :2M ypx的焦点是F， 点1,Gt在M的准线上. （）当G在椭圆T上时，求GF的值； （）如图，过点G的直线 1 l与椭圆T交于,P Q两点，与抛物线M交于,A B两点，且G 是PQ的中点，过点F的直线 2 l交抛物线M于,C D两点.若/ACBD，求 2 l的斜率k的 取值范围. G P Q A B C
19、 D F x y O 9 解： （1）由已知1 2 p ，2p ；-2 分 因为G在椭圆T上，所以 2 1 1 4 t，所以 2 3 4 t -4 分 所以 2 19 4 2 GFt；-6 分 （2）设 1: 1lxm yt ， 2: 1lxny， 11223344 ,A x yB x yC x yD x y， 因为G是PQ的中点，所以 11 4 t m ，且 2 1 1 4 t， 所以4mt，-（1）且 2 3 4 t -（2）-8 分 由 2 4 1 yx xm yt 消去x得 2 4440ymymt， 则 2 1610mmt ，-（3）且 2 12 161yymmt，-10 分 由 2
20、4 1 yx xny 消去x得 2 440yny， 所以 2 34 161yyn，-12 分 因为/ACBD，所以 1324 44 yyyy ，即 1234 yyyy， 所以 222 2122nmmtt，-（4）-14 分 由（1） （2） （3）解得 2 13 124 t， 由（4）得 2 07n，即 2 1 7 k ，所以 7 7 k 或 7 7 k .-15 分 22.已知函数( )1 x f xex， 2 ( )g xax（aR） （）求( )f x的最小值； （）设 2F xf xg x，若当,at时， F x有三个不同的零点，求t 的最小值； 10 （）当0,x时， ln1f xx
21、xg x 恒成立，求a的取值范围 解： （1）( )1e exfx，由 0fx得，0 x -2 分 f x在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增，-4 分 函数 f x的值域是0,；-5 分 （2） 2 e1 x F xaxx ，( )21 x F xeax，( )2 x Fxea 当0a时， 0Fx，( )F x单调递增 又 00 F ， Fx在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增， 00FxF ，( )F x在R上单调递增，不合题意.-7 分 当0a时，由( )20 x Fxea，得ln(2 )xa， Fx在区间,ln(2 )a上 单调递减，在区间ln(2 ),a上单调递增， (0
22、)0 F ， 1 2 1 0 2 a Fe a 若 1 0 2 a，则在区间,ln(2 )a上存在 1 x，当 1 ,xx 时， 0Fx， 当 1,0 xx时， 0Fx，当0,x时， 0Fx F x在区间 1 ,x上单调递增，在区间 1,0 x上单调递减，在区间0,上 单调递增，此时函数 F x有且只有一个零点-9 分 当 1 2 a 时，存在 2 ln(2 )xa，使得 2 22 210 x Fxeax ， F x在区间,0上单调递增，在区间 2 0,x上单调递减，在区间 2, x上 单调递增，从而要使( )F x有三个零点，必有 2 2 222 10 x F xeaxx ， 2 22 21
23、20axax，即 22 210 xax， 2 2x ， 11 又 2 2 1 2 x e a x ，令 1 2 x e h x x ，则 2 11 2 x xe h x x 当2x时， 0h x， h x在区间2, 单调递增， 2 1 2 4 e ah ，即 2 min 1 4 e e t -11 分 （3） 2 ln1f xxxax 2 1 ln1e -e - x xax， 2ln1 11 1 ln1 1 ln1 ln1 e -e -e -e - e -e - e e xx x x x xx a x x x x ，-13 分 令 1e -e - x m x x ，则 2 1 e exx m x x ，令 11e exxx，则 e exxx， 0 x， 0 x， x在0, 上单调递增， 1 010 e e x ，于是 m x在0, 上单调递增， 又由（1）知当0,x时，e1 x x恒成立，ln1xx， 1 ln(1) m x a mx ， a的取值范围是,1-15 分
