1、考点考点1 1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 (2017课标,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 =+,则+的最大值为( ) A.3 B.2 C. D.2 AP ABAD 2 5 答案答案 A 本题考查向量的运算.以点C为坐标原点,分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立平 面直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,可设P ,R. =(0,-1),=(-2,0),=. 又=+, =-sin +1,=-cos +1, +=2-sin -cos =2-sin(+),
2、其中tan =,(+)max=3. 22 cos ,sin 55 ABADAP 22 cos -2,sin -1 55 APABAD 2 5 1 5 2 5 1 5 1 2 一题多解一题多解 建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),则=(0,-1),=(2,0),设P(x,y),所以=(x,y-1), 由等面积法可得圆的半径为,所以圆的方程为(x-2)2+y2=. 由=+,得所以+=-y+1.设z=-y+1,即-y+1-z=0, ABADAP 2 5 4 5 APABAD 2 , -1- , x y 2 x 2 x 2 x 因为点P(x,y)在
3、圆上,所以圆心到直线-y+1-z=0的距离小于或等于半径,所以,解得1 z3,所以z的最大值为3,即+的最大值为3,选A. 2 x |2- | 1 1 4 z 2 5 1.(2015课标,7,5分)设D为ABC所在平面内一点,=3,则( ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- BCCD AD 1 3 AB 4 3 ACAD 1 3 AB 4 3 AC AD 4 3 AB 1 3 ACAD 4 3 AB 1 3 AC 以下为教师用书专用 答案答案 A =+=+=+=+(-)=-+.故选A. ADABBDABBCCDAB 4 3 BCAB 4 3 ACAB 1 3 AB 4 3 AC 方法指
4、导方法指导 利用向量加法和减法的三角形法则将进行转化,最终将用与表示出来. ADADABAC 2.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y = . AMMCBNNCMNABAC 答案答案 ;- 1 2 1 6 解析解析 由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如图: 则有=(+),所以=-=(+)-=-, 又因为=x+y,所以x=,y=-. AMMCBNNC AN 1 2 ABACMNANAM 1 2 ABAC 2 3 AC 1 2 AB 1 6 AC MNABAC 1 2 1 6 3.(2017浙江,15,6分)已知向量
5、a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案答案 4;2 5 解析解析 本题考查向量的线性运算、向量的长度、向量的几何意义、向量绝对值不等式、利用基 本不等式求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4. =, |a+b|+|a-b|2. 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a b=0. 故当ab时,|a+b|
6、+|a-b|有最大值2. 解法二:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1. 则|a+b|+|a-b|=+ =+=+ =, 0 x21,当x=0,即ab时, |a+b|+|a-b|取最大值2, 当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|取最小值4. | | - | 2 aba b 22 | - | 2 aba b 22 ab5 5 5 22 (2)xy 22 ( -2)xy 22 44 1-xxx 22 -44 1-xxx54x5-4x 2 ( 545-4 )xx 2 102 25-16x 5 考点考点2 2 平面向量基本定理及坐标运算平面向量基本定理及坐标运算 1.(2018课标
7、,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= . 答案答案 1 2 解析解析 本题考查向量的坐标运算. 由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=. 1 2 2.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方, M为抛物线上一点,=+(-2),则= . OMOAOB 答案答案 3 解析解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由=+(-2)得(x,y)=(1,2)+(-2)(1,-2) =(2-2,4),因为M在抛
8、物线上,所以16=4(2-2),解得=3. OMOAOB (2015课标,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= . 以下为教师用书专用 答案答案 1 2 解析解析 向量a+b与向量a+2b平行,存在实数k使得a+b=k(a+2b),即(-k)a+(1-2k)b=0,a,b不平 行, k=,=.故答案为. -0, 1-20, k k 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 由向量a+b与a+2b平行知存在实数k使得a+b=k(a+2b),整理得(-k)a+(1-2k)b=0,再利 用平面向量基本定理列方程组,由此可得出值. 考点考点1 1 平面向量的概念及线性运算
9、平面向量的概念及线性运算 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020四川江油中学4月模拟,8)如图,AB是圆O的一条直径,C,D为半圆弧的两个三等分点,则= ( ) A.- B.2-2 C.- D.2-2 AB ACADACAD ADACADAC 答案答案 D 本题主要考查平面向量的线性运算,考查学生的运算求解能力与数形结合思想方法的 应用,考查的核心素养为直观想象,数学运算. 连接CD.C,D是半圆弧的两个三等分点, CDAB,且AB=2CD. =2=2(-)=2-2, 故选D. ABCDADACADAC 2.(2020吉林梅河口五中4月模拟,5)在ABC中,延长BC至点M使得BC
10、=2CM,连接AM,点N为AM上 一点且=,若=+,则+=( ) A. B. C.- D.- AN 1 3 AMANABAC 1 3 1 2 1 2 1 3 答案答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算,考查学生对转化与化归思想的应用,考查的核心素 养为直观想象,逻辑推理. 由题意,知=(+)=+=+(-)=-+,所以=-,= ,则+=,故选A. AN 1 3 AM 1 3 ABBM 1 3 AB 1 3 3 2 BC 1 3 AB 1 2 ACAB 1 6 AB 1 2 AC 1 6 1 2 1 3 3.(2019河南平顶山一模,5)在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=4E
11、C,则= ( ) A.- B.+ C.- D.+ DE 3 4 AB 1 4 AD 3 4 AB 1 4 AD 4 5 AB 1 5 AD 4 5 AB 1 5 AD 答案答案 C 由=4得=(+), 又=-, 则=(+)-=-, 故选C. AEECAE 4 5 AC 4 5 ABAD DEAEAD DE 4 5 ABADAD 4 5 AB 1 5 AD 4.(2018黑龙江哈六中二模,8)给出下列命题: 两个具有公共终点的向量一定是共线向量; 两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; a=0(为实数),则必为零; ,为实数,若a=b,则a与b共线. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B
12、.2 C.3 D.4 答案答案 A 对于,两个具有公共终点的向量不一定是共线向量,错误; 对于,向量不能比较大小,但它们的模能比较大小, 正确; 对于,a=0(为实数),则=0或a=0,错误; 对于,若=0,则a=b=0,此时a与b不一定共线, 错误.综上,正确的命题为,共1个.故选A. 考点考点2 2 平面向量基本定理及坐标运算平面向量基本定理及坐标运算 1.(2020豫南九校第五次测评,5)如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:+2; +;+;+;-.若这些向量均以O为起点,则终点落在阴 影区域内(包括边界)的有( ) A. B. C. D. OAOB 1 2 OA 1 3
13、 OB 3 4 OA 1 3 OB 3 4 OA 1 5 OB 3 4 OA 1 5 OB 答案答案 B 在ON上取点C,使得OC=2OB,以OA,OC为邻边作平行四边形OCDA,则=+2,其 终点不在阴影区域内,排除A,C;取线段OA上一点E,使AE=OA,作EFOB,交AB于点F,则EF= OB,由于EFOB,所以+的终点不在阴影区域内,排除选项D.故选B. ODOAOB 1 4 1 4 1 3 3 4 OA 1 3 OB 2.(2020陕西咸阳一模,3)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=,若绕点O逆时针旋转6 0得到向量,则=( ) A.(0,1) B.(1,0) C. D. OA 3
14、 1 , 22 OA OBOB 31 ,- 22 13 ,- 22 答案答案 A 本题考查向量旋转后坐标的求解,关键是能够确定向量与x轴的夹角的大小,进而根据 模长不变求得向量. =,与x轴的夹角为30,与x轴的夹角为90,又|=|=1,=(0,1),故选 A. OA 3 1 , 22 OAOBOBOAOB 3.(2019河南天一月考卷(四),4)已知是锐角,向量a=,b=,满足|a b|=|a|b|,则为 ( ) A.15 B.30 C.30或60 D.15或75 3 ,sin 4 1 cos , 3 答案答案 C 由|a b|=|a|b|可得ab,则sin cos =,得sin 2=.又因
15、为是锐角,所以2 (0,),则2=60或120,所以=30或60,故选C. 3 4 1 3 3 4 3 2 一、选择题(每小题5分,共35分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：25分钟 分值：45分) 1.(2020河南名校(四校联盟)4月线上联考,7)在ABC中,D,E分别为BC,AC边上的点,且=2,若 =+,则=( ) A.- B.- C.- D.- BDDC BEAB 3 4 AD 5 4 4 3 4 5 3 4 答案答案 A 如图,设=x,则=-=x-=x(+)-=x-=x+(-)- =-+.因为=+,所以=,解得x=,所以=-=-,故选A. AEACBEAEABACA
16、BADDCAB 1 2 ADBD ABAD 2 x ADAB AB1 2 x AB 3 2 x ADBEAB 3 4 AD 3 2 x3 4 1 2 1 2 x 5 4 2.(2020全国百强校5月联考,10)点C是半径为1的扇形圆弧上一点,=0,|=|=1,若 =x+y,则2x+y的最小值是( ) A.- B.1 C.2 D. AB OAOBOAOBOC OAOB 55 答案答案 B 本题主要考查平面向量基本定理,向量的模,三角换元以及相关知识,考查学生对知识的 应用能力,考查函数与方程思想以及数形结合思想的应用,考查的核心素养为数学运算,逻辑推理, 直观想象. C是半径为1的扇形圆弧上一点
17、,|=|=1, |=1,又=x+y,=x2+y2+2xy,又=0,x2+y2=1,令x=cos ,y =sin ,则2x+y=2cos +sin =sin(+), 其中sin =,cos =,+,sin(+)1,2x+y的最小值为=1,故选 B. AB OAOB OCOCOAOB 2 OC 2 OA 2 OBOA OBOAOB 0, 2 5 2 5 5 5 5 2 5 5 5 5 5 一题多解一题多解 C是半径为1的扇形圆弧上一点,=0,|=|=1,分别以OA,OB所在的 直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则=(1,0),=(0,1),|=1,=x+y=(x,y),其中0 x1,0y1,两边
18、平方得=x2+y2+2xy,x2+y2=1,且x,y0,1,令b=2x+y,则y=-2x+ b,则当直线y=-2x+b经过(0,1)时,b取得最小值1,即2x+y的最小值为1,故选B. AB OA OBOAOB OAOBOCOCOAOB 2 OC 2 OA 2 OBOA OB 3.(2020河南开封二模,11)在ABC中,A=,AB=3,AC=4,动点P在ABC的内切圆上,若=+ ,则+的最大值为( ) A. B. C.1 D.2 2 APAB AC 1 6 1 2 答案答案 C 以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示, AB=3,AC=4,BAC=,B
19、C=5,ABC内切圆半径r=1, 圆心坐标为(1,1), 又点P在ABC的内切圆上,设点P(1+cos ,1+sin ),又=(3,0),=(0,4),=+,(1+ 2 34-5 2 ABACAPABAC cos ,1+sin )=(3,0)+(0,4)=(3,4), 解得+=+cos +sin =+=+sin(+), 其中sin =,cos =,当sin(+)=1时,+取得最大值+=1,故选C. 1cos3 , 1 sin4 , 1cos , 3 1 sin , 4 1 3 1 3 1 4 1 4 7 12 3sin4cos 12 7 12 5 12 4 5 3 5 7 12 5 12 4.
20、(2020云南高中毕业班4月统一测试,12)已知平行四边形ABCD的面积为9,BAD=,E为线 段BC的中点,若F为线段DE上一点,且=+,则|的最小值为( ) A. B.3 C. D. 3 2 3 AFAB 5 6 ADAF 1175 答案答案 D 本题主要考查平面向量,涉及向量的线性运算、向量的数量积、向量的模、基本不等 式,考查的核心素养为逻辑推理,数学运算. 如图,点F在线段DE上,所以存在实数(00),则2+的最小值为( ) A. B.3 C. D.4 BPPC AMABANAC 8 3 10 3 答案答案 A 因为=2,所以=. 连接AP,则=+=+=+(-) =+=+, 因为M,
21、P,N三点共线,所以+=1, 因为,0,所以2+=(2+)=+=(当且仅当=2时等号成立).故 选A. BPPCBP 2 3 BC APABBPAB 2 3 BCAB 2 3 ACAB 1 3 AB 2 3 AC 1 3 AM 2 3 AN 1 3 2 3 12 33 2 3 2 3 4 3 3 4 3 4 3 8 3 7.(2019四川南充第二次适应性考试,10)如图,原点O是ABC内一点,顶点A在x轴上,AOB=150, BOC=90,|=2,|=1,|=3,若=+,则=( ) A.- B. C.- D. OAOBOCOCOAOB 3 3 3 3 33 答案答案 D 由三角函数定义得,B(
22、cos 150,sin 150),C(3cos 240,3sin 240),即B,C , 因为=+,A(2,0), 所以=(2,0)+, 所以解得 所以=,故选D. 3 1 -, 22 33 3 -,- 22 OCOAOB 33 3 -,- 22 3 1 -, 22 33 2 -, 22 13 3 -, 22 -3, -3 3. 3 二、填空题(每小题5分,共10分) 8.(2020安徽江南十校一模,15)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在AOB的平 分线上,且|=3,则向量的坐标为 . OC10OC 答案答案 (-3,9) 解析解析 点C在AOB的平分线上,
23、存在(0,+)使=(0,1)+= ,又|=3, =3,=5(负值舍去), =(-3,9). OC | OAOB OAOB 3 4 - , 5 5 39 -, 55 OC10 22 39 - 55 10 OC 一题多解一题多解 A(0,1),B(-3,4),|OA|=1,|OB|=5,设AOB的平分线与AB的交点为M,则由内角平分线 定理知,=,=,而=(-3,3),=,点M的坐标为,又点C在 AOB的平分线上,设=(0),C, 又|=3,2+2=90,解得=6(负值舍去), 点C的坐标为(-3,9),即的坐标为(-3,9). | | OA OB | | AM MB 1 5 AM 1 6 ABA
24、BAM 1 1 -, 2 2 1 3 -, 2 2 OCOM 13 -, 22 OC10 1 4 9 4 OC 9.(2020赣中南五校联考,15)在ABO中,=4,D为OB的中点,AD与BC相交于点M,若=m +n(m,nR),则3m-n= . OAOCOMOA OB 答案答案 0 解析解析 本题主要考查平面向量的线性运算,平面向量基本定理的应用,考查逻辑思维能力和方程思 想的应用,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 令=a,=b. =m+n(m,nR),=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=b -a,又A,M,D三点共线,与共线,存在实数t,使得=t,即(m-1)a+nb=
25、t, 消去t,得m+2n=1, =-=ma+nb-a=a+nb,=-=b-a,又C,M,B三点共线,与共 线,存在实数t1,使得=t1, a+nb=t1, 消去t1,得4m+n=1, 由解得m=,n=,3m-n=-=0. OAOB OMOAOBAMOMOAADODOA 1 2 OB OA 1 2 AMADAMAD 1 - 2 ab -1- , 1 , 2 mt nt CMOMOC 1 4 1 - 4 m CBOBOC 1 4 CMCB CMCB 1 - 4 m 1 - 4 ab 1 1 11 -, 44 , mt nt 1 7 3 7 3 7 3 7 1.(2020 5 3原创题)在正六边形A
26、BCDEF中,对角线BD,CF相交于点P.若=x+y,则x+y= ( ) A.2 B. C.3 D. APABAF 5 2 7 2 答案答案 B 如图,记正六边形ABCDEF的中心为点O,连接OB,OD, 易证四边形OBCD为菱形,且P恰为其中心, 于是=, 因此=+=+,因为=x+y, 所以x=,y=1,故x+y=. FP 3 2 FO 3 2 AB APAFFPAF 3 2 ABAPABAF 3 2 5 2 名师点睛名师点睛 平面向量的运算是平面向量的“核心”,是高频考点.平面向量运算有两大类,即代数 运算和几何运算,因此我们在解决此类问题的时候应该综合考虑题目条件,选择适当的方向,本题
27、这两个方向都可行,不妨试一试.e 2.(2020 5 3原创题)在ABC中,M,N分别是边AB,AC的中点,点O是线段MN上异于端点的一点,且满 足+3+4=0(0),则= . OAOBOC 答案答案 7 解析解析 解法一:由已知得=-, 由M,O,N三点共线,知tR,使=t, 故2=2t, 故+=t(+), 整理得=+, 对比两式的系数,得解得 解法二:因为M是AB的中点,所以=(+), 于是=2-,同理=2-, 将两式代入+3+4=0, 整理得(-7)+6+8=0, 因M,O,N三点共线, 故pR,使得=p,于是(-7)+(6p+8)=0, OA 3 OB 4 OC OMON OMON OAOBOAOC OA 1 -1t OB 1- t t OC 31 -, -1 4 -, 1- t t t 4 -, 3 7. t OM 1 2 OAOB OBOMOAOCONOA OAOBOC OAOMON OMON OAON 显然,不共线,故-7=6p+8=0,故=7. OAON 命题说明命题说明 本题重点考查了平面向量的运算以及平面向量基本定理.
