1、考点考点 简单的线性规划简单的线性规划 1.(2020浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是( ) A.(-,4 B.4,+) C.5,+) D.(-,+) -310, -30, xy xy 答案答案 B 由约束条件画出可行域如图. 易知z=x+2y在点A(2,1)处取得最小值4,无最大值,所以z=x+2y的取值范围是4,+).故选B. 2.(2019天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 -20, -20, -1, -1, xy x y x y 答案答案 C 本题主要考查简单的线性规划.通过
2、求线性目标函数的最大值考查学生的运算求解能力,体现了数 形结合的素养要素. 作出可行域(如图中阴影部分), 平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值. 由得P(-1,1). zmax=-4(-1)+1=5.故选C. -20, -1 x y x 解后反思解后反思 对于目标函数z=Ax+By,若B0,则目标直线向上平移时z变大;若B0,则目标直线向下平 移时z变大. 3.(2019浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( ) A.-1 B.1 C.10 D.12 -340, 3 - -40, 0, xy x y xy 答案答案 C 本题考查简单
3、的线性规划问题,考查学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养. 根据题意画出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示),画出直线l0:3x+2y=0,平移l0可知, 当经过点C(2,2)时,z取最大值,即zmax=32+22=10,故选C. 一题多解一题多解 根据线性约束条件得出可行域为ABC及其内部(如上图所示),其中A(-1,1),B(1,-1),C (2,2),经检验,知目标直线经过点C(2,2)时,z取最大值10.故选C. 4.(2019北京,5,5分)若x,y满足|x|1-y,且y-1,则3x+y的最大值为( ) A.-7 B.1 C.5 D.7 答案答案 C 本题考查线性规
4、划与绝对值不等式;考查学生的运算能力、数形结合思想的应用;考查 的核心素养为直观想象与数学运算. |x|1-y,且y-1等价于表示的可行域如图中阴影部分所示. 令3x+y=z,则y=-3x+z,y-1x1-y.由图可知当直线过点A(2,-1)时,z=3x+y取最大值,为32-1=5,故选 C. -11- , -1, yxy y 5.(2017课标,5,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 23 -30, 2 -330, 30, xy xy y 答案答案 A 本题考查简单的线性规划问题. 根据约束条件画出可行域,如图. 作出直线l0:y=
5、-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值. 由得点A的坐标为(-6,-3). zmin=2(-6)+(-3)=-15.故选A. 2 -330, 30, xy y 6.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( ) A.2 B.4 C.3 D.6 -20, 0, -340 x xy xy 22 答案答案 C 由不等式组画出可行域,如图中阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内 的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB
6、|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|= =3.故选C. 22 (21)(-2-1)2 7.(2020课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 . 2-20, - -10, 10, xy x y y 答案答案 1 解析解析 作出可行域如图,由z=x+7y得y=-+,易知当直线y=-+经过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax =1+70=1. 7 x 7 z 7 x 7 z 8.(2020课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 0, 2 -0, 1, xy x y x 答案答案 7 解析解析 如图所示,x
7、,y满足的可行域为AOB及其内部. 由目标函数z=3x+2y得y=-x+. 当直线y=-x+过点A(1,2)时,z取最大值,最大值为7. 3 22 z 3 22 z 9.(2018课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . -2 -20, -10, 0, xy x y y 答案答案 6 解析解析 本题主要考查线性规划. 由x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(2,0)时,z取得最大值,zmax=23+0=6. 10.(2017课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x-4y的最小值为 . -0, -20,
8、 0, x y xy y 答案答案 -1 解析解析 本题考查简单的线性规划. 画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示(包括边界). 可得目标函数z=3x-4y在点A(1,1)处取得最小值,zmin=31-41=-1. 11.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是 . -240, 2-20, 3 - -30, xy xy x y 答案答案 4 ,13 5 解析解析 画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分. 由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max =22+
9、32=13,(x2+y2)min=d2=,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为 . -240, 2-20, 3 - -30 xy xy x y 2 2 5 4 5 4 ,13 5 解后反思解后反思 对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距 离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键. 1.(2018天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( ) A.6 B.19 C.21 D.45 5, 2 -4, -1, 0, xy x y xy y 以下为教师用书专用 答案答案 C 本题主要考查线
10、性目标函数最值的求解. 由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当直线经过点A(2,3)时,z取最大值,即zmax=32+53=21,故选C. 方法总结方法总结 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是 实线还是虚线);(2)找到目标函数最优解对应的点(在可行域内平移目标函数线,最先通过或最后通 过的顶点就是最优解对应的点);(3)将最优解所对应的点的坐标代入目标函数求出最值. 2.(2017天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为( ) A. B.1 C.
11、 D.3 20, 2 -20, 0, 3, xy xy x y 2 3 3 2 答案答案 D 本题主要考查简单的线性规划. 由变量x,y满足的约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示.由z=x+y得y=z-x,当直线y=z-x经过点 (0,3)时,z取最大值3,故选D. 3.(2017北京,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为( ) A.1 B.3 C.5 D.9 3, 2, , x xy yx 答案答案 D 本题考查简单的线性规划. 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分. 令z=x+2y, 当z=x+2y过A点时,z取最大值. 由得A(3,3), z的最大值为3+23=9.故选D.
12、 3,x yx 4.(2017浙江,4,4分)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是( ) A.0,6 B.0,4 C.6,+) D.4,+) 0, -30, -20, x xy xy 答案答案 D 本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法.不等式组形成的可行域如图所示. 平移直线y=-x,当直线过点A(2,1)时,z有最小值4.显然z没有最大值.故选D. 1 2 易错警示易错警示 1.易把可行域看成是图中的三角形OAB区域,而错选A;亦或错认为过点A时,取到最大 值,而错选B. 2.可行域判断对了,但错认为过点B时,z有最小值,从而错选C. 5.(2016北京,2,5分)若x,y
13、满足则2x+y的最大值为 ( ) A.0 B.3 C.4 D.5 2 -0, 3, 0, x y xy x 答案答案 C 画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z过点A(1,2)时,z最 大,zmax=4.故选C. 6.(2016天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为( ) A.-4 B.6 C.10 D.17 -20, 23 -60, 32 -90, x y xy xy 答案答案 B 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分). 当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,z取最小值,zmin=23+50=6,
14、故选B. 7.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( ) A.4 B.9 C.10 D.12 2, 2 -39, 0, xy xy x 答案答案 C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示, x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最 大,所以x2+y2的最大值是10,故选C. 评析评析 本题考查了数形结合的思想方法.利用x2+y2的几何意义是求解的关键. 8.(2018北京,12,5分)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是 . 答案答案 3 解析解析 本题主要考查简单的线性规划问题. 由
15、x+1y2x作出可行域,如图中阴影部分所示. 设z=2y-x,则y=x+z,当直线y=x+z过A(1,2)时,z取得最小值3. 1 2 1 2 1 2 1 2 方法总结方法总结 解决简单的线性规划问题的方法 先利用线性约束条件作出可行域,然后利用变形后的目标函数所对应的直线找到最优解,从而求得 最值. 9.(2018课标,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 . 2 -50, -230, -50, xy xy x 答案答案 9 解析解析 本题考查简单的线性规划. 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,
16、最大值为9. 10.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是 ,最大值是 . -0, 26, 2, x y xy xy 答案答案 -2;8 解析解析 本题考查简单的线性规划. 由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图. 当直线y=-x+过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8. 1 33 z 思路分析思路分析 (1)作出可行域,并求出顶点坐标. (2)平移直线y=-x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+3y
17、取 得最大值. 1 3 11.(2016课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 . -10, -20, 2 -20, x y xy xy 答案答案 3 2 解析解析 由题意画出可行域(如图中阴影部分所示),其中A(-2,-1),B,C(0,1),由z=x+y知y=-x+z,当 直线y=-x+z过点B时,z取最大值. 1 1, 2 1 1, 2 3 2 考点考点 简单的线性规划简单的线性规划 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020安徽池州一模,7)已知实数x,y满足不等式组则z=的最大值为( ) A. B. C. D. -20, 2-50, 1, x y xy
18、 y 3 y x 3 5 4 5 3 4 3 2 答案答案 C 本题主要考查线性规划知识与数形结合思想,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算. 如图,阴影部分为可行域,z=的几何意义是可行域中点(x,y)与(-3,0)连线的斜率,由图可知点P(1, 3)与(-3,0)连线的斜率最大,故z的最大值为,故选C. 3 y x 3 4 2.(2020全国大联考4月高三联考,8)设不等式组表示的平面区域为M,则( ) A.M的面积为 B.M内的点到x轴的距离有最大值 C.点A(x,y)在M内时,或k-5 B.-5k.故选A. -240, 2, -60 xy x xy 1 -3 y x 4-(-1
19、) 2-3 1 2 6.(2019宁夏银川一中二模,7)如果点P(x,y)满足点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,则|PQ|的取值 范围是( ) A.-1,-1 B.-1,+1 C.-1,5 D.-1,5 2 -20, -210, -20, x y xy xy 510510 105 答案答案 D 曲线x2+(y+2)2=1的圆心为M(0,-2),半径为r=1,作出不等式组对应的平面区域如图, 解题关键解题关键 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及点到直线的距离公式以及直线和圆 的位置关系是解决本题的关键. 结合图可知,当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|=-1=
20、-1.当P位于点(0,2)时,|PQ|取 得最大值,最大值为2+3=5. 综上,|PQ|的取值范围是 -1,5,故选D. 145 5 二、填空题(每小题5分,共25分) 7.(2020全国卷地区百校联盟百日冲刺金卷(二),14)已知x,y满足线性约束条件目标函 数z=-2x+y的最大值为2,则实数k的取值范围是 . -20, 2, -20, xy x kx y 答案答案 (-1,2 解析解析 本题主要考查线性规划含参问题的求解方法,考查数形结合思想和分类讨论思想,考查的核 心素养为逻辑推理和数学运算. 作出x,y所满足的平面区域,如图所示,直线kx-y+2=0过定点(0,2),由z=-2x+y
21、作出基本直线l0:y=2x,平 移l0可知,直线在y轴上截距最大时,目标函数z取最大值,当z=2时,可知最优解在直线2x-y+2=0上,而 (0,2)在可行域内,且满足2x-y+2=0,所以最大值点为(0,2),结合图形可知实数k的取值范围为(-1,2. 8.(2020山西长治二模,15)实数x,y满足|x-3|+|y-2|1,若z=,则z的最小值为 . y x 答案答案 1 3 解析解析 不等式|x-3|+|y-2|1表示的区域如图,z=表示的是(x,y)与(0,0)连线的斜率,结合图形 知z=的最小值为. y x -0 -0 y x y x 1 3 9.(2020四川蓉城名校联盟5月联考,
22、14)已知实数x,y满足约束条件若z=ax+y取得最大值 的最优解不唯一,则实数a的值为 . -2 -20, -20, 2 -20, xy xy x y 答案答案 -2或1 解析解析 本题主要考查不等式组所表示的平面区域,以及线性目标函数的最优解问题,考查数形结合 思想和分类讨论思想的应用,考查的核心素养为逻辑推理,直观想象. 作出满足条件的可行域,如图所示,把z=ax+y化为y=-ax+z,由直线y=-ax+z的几何意义可知,当其斜率 与直线2x-y+2=0或x+y-2=0的斜率相等时,z取得最大值的最优解不唯一,即-a=2或-a=-1,所以实数a= -2或1. 方法点拨方法点拨 在确定最优
23、解时要注意目标函数对应直线的斜率与可行域边界所在直线的斜率之间 的大小关系,以防出错.在解决最优解不唯一的问题时,应将问题等价转化为目标函数对应直线的 斜率等于可行域边界所在直线的斜率. 10.(2019第一次全国大联考(课标卷),13)已知不等式组所表示的平面区域为,则区域 的外接圆的面积为 . 2 -0, -20, 2 x y xy x 答案答案 25 4 解析解析 由题意作出区域,如图中阴影部分所示. 设直线x=2与直线2x-y=0,x-2y=0的交点分别为M,N,则区域的三个顶点分别为O,M,N,且M(2,4),N (2,1). 易知MN=1,tanMON=,故sinMON=,设OMN
24、的外接圆的半径为R,则由正弦定理得 =2R,即R=,故所求外接圆的面积为=. 1 2- 2 1 12 2 3 4 3 5 sin MN MON 5 2 2 5 2 25 4 11.(2019四川蓉城名校联盟第二次联考,15)已知x,y满足不等式组则z=-的取值范 围是 . - -20, 2 -50, -20, x y xy y 2y x2 x y 答案答案 5 15 -, 6 4 解析解析 不等式组表示的可行域如图中ABC,可求得A(1,2),B(3,1).令t=,则z=2t-,而t=表示可 行域中的点与原点连线的斜率,t2. z=2+0,z=2t-在上单调递增, -z4-, 即-z. y x
25、 1 2t y x 1 3 2 1 2t 1 2t 1 ,2 3 2 3 3 2 1 4 5 6 15 4 1.(2020 5 3原创题)若x,y满足约束条件则z=2x-y( ) A.有最大值8,最小值- B.有最小值-,无最大值 C.有最大值8,无最小值 D.无最大值,也无最小值 -220, - -20, 2-20, xy x y xy 2 5 2 5 答案答案 C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示, 目标函数可转化为y=2x-z,可知截距最大时z最小,截距最小时z最大,由约束区域可知z在点C(6,4)处 取最大值,而点A不在可行域内,所以z有最大值26-4=8,无最小值.故选C. 命
26、题说明命题说明 本题是线性约束条件下线性目标函数最值问题,是线性规划最基本的模型,考查数形结 合、转化的数学思想,培养学生直观想象、数学运算等数学核心素养. 2.(2020 5 3原创题)已知x,y满足约束条件若z=ax+y仅在(-1,0)处取得最小值,则a的取值 范围是( ) A.-1a1 C.-a1 D.a1 | |- -10, -210, x y xy 1 2 1 2 答案答案 C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 目标函数可转化为y=-ax+z,由z=ax+y仅在(-1,0)处取得最小值,得-1-a,即-a1.故选C. 1 2 1 2 命题说明命题说明 本题以线性规划(已知约束
27、条件、最优解)为载体,研究含参目标函数应该具备的条件, 考查数形结合、分类讨论思想,正确解答此题,需要学生具备基本的逻辑推理、直观想象、数学运 算等核心素养. 3.(2020 5 3原创题)已知M(x,y),其中x,y满足|x-1|2-y,且y1,定点N(3,4),则向量在向量上的 投影的最大值为( ) A. B. C. D. OMON 3 5 4 5 10 5 11 5 答案答案 D |x-1|2-y且y1等价于即它表示的平面区域如图中阴影部分 所示. 设向量在上的投影为z, 则z=,当直线z=经过点A(1,2)时,z取最大值,zmax=,故选D. -2-12- , 1, yxy y -10
28、, -30, 1, x y xy y OMON | OM ON ON 34 5 xy34 5 xy3 14 2 5 11 5 素养解读素养解读 通过向量投影公式把目标函数转化为线性目标函数,体现了逻辑推理、数学运算的核 心素养,线性目标函数最值的求法主要考查了直观想象和数学运算的核心素养. 4.(2020 5 3原创题)已知A(-2,1),B(2,2),C(1,4).若点P(x,y)在ABC区域(包含边界)内运动,则x2+y2+2x 的取值范围为 . 答案答案 8 ,19 17 解析解析 点P所在平面区域如图中阴影部分所示. x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1, 其中(x+1)2+y2=
29、x-(-1)2+(y-0)2,表示点P(x,y)到Q(-1,0)的距离的平方. 令t=x2+y2+2x,则t=|PQ|2-1. 由图可知|PQ|max=|QC|=2. 由A(-2,1),B(2,2)知直线AB的方程为x-4y+6=0, 所以|PQ|min=d=,其中d表示点Q到直线AB的距离, 所以tmax=(2)2-1=19,tmin=-1=, 所以x2+y2+2x的取值范围为. 22 (1 1)45 5 17 5 2 5 17 8 17 8 ,19 17 命题说明命题说明 非线性目标函数最值的求法主要是根据几何意义结合图形求解,本题目标函数设计巧 妙.考查了斜率公式、直线方程、点到直线的距离公式等相关知识,要求学生基本功扎实,否则就 容易掉进陷阱,如直接代顶点求最值,求出距离之后忘记平方或平方了忘记减去1.这能很好地体现 学生数学运算的核心素养. 素养解读素养解读 本题通过目标函数最值的求法,主要考查了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素 养.
