1、考点考点1 1 二次函数二次函数 1.(2017上海春,13,5分)函数f(x)=(x-1)2的单调递增区间是( ) A.0,+) B.1,+) C.(-,0 D.(-,1 答案答案 B 函数f(x)=(x-1)2图象的对称轴是x=1,开口向上,故f(x)在1,+)上单调递增,故选B. 2.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 答案答案 B 解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M
2、-m与b无关. 又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m与a有关.故选B. 解法二:(1)当-1,即a-2时, f(x)在0,1上为减函数,M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)当-1,即-2a-1时,M=f(0),m=f,从而M-m=f(0)-f=b-=a2. (3)当0-,即-1a0时,M=f(1),m=f,从而M-m=f(1)-f=a2+a+1. (4)当-0,即a0时, f(x)在0,1上为增函数,M-m=f(1)-f(0)=a+1. 即有M-m=M-m与a有关,与b无关.故选B. 2 a 1 22 a - 2 a
3、 - 2 a 2 - 4 a b 1 4 2 a1 2 - 2 a - 2 a 1 4 2 a 2 2 1(0), 1 1(-10), 4 1 (-2-1), 4 - -1(-2). aa aaa aa aa 3.(2017北京,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 . 答案答案 1 ,1 2 解析解析 解法一:由题意知,y=1-x, y0,x0,0 x1, 则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2+. 当x=时,x2+y2取最小值, 当x=0或x=1时,x2+y2取最大值1,x2+y2. 解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+
4、y2表示点(x,y)与原点的距离的平方. x2+y2的最小值为原点到直线x+y-1=0的距离的平方,即=,又易知(x2+y2)max=1,x2+y2 . 2 1 - 2 x 1 2 1 2 1 2 1 ,1 2 2 22 |-1| 11 1 2 1 ,1 2 4.(2018天津,14,5分)已知aR,函数f(x)=若对任意x-3,+), f(x)|x|恒成立,则a 的取值范围是 . 2 2 2-2,0, -2 -2 ,0. xxax xxa x 答案答案 1 ,2 8 解析解析 当x-3,0时,因为f(x)|x|恒成立,所以x2+2x+a-2-x,参变量分离得a-x2-3x+2,令y=-x2-
5、3 x+2=-+,所以当x=0或x=-3时,y取得最小值,为2,所以a2. 当x(0,+)时,因为f(x)|x|恒成立,所以-x2+2x-2ax,参变量分离得a-x2+x,令y=-x2+x= -+,所以当x=时,y取得最大值,为, 所以a.由可得a2. 2 3 2 x 17 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 - 2 x 1 8 1 2 1 8 1 8 1 8 方法技巧方法技巧 用分离参变量法求解不等式恒成立问题的技巧. 若不等式f(x,)0(xD,为实参数)恒成立,则将f(x,)0转化为g(x)或g(x)(xD)恒成立,进 而转化为g(x)max或g(x)min(xD),求g
6、(x)(xD)的最值即可.该方法适用于参数与变量能分离, 函数最值易求的题目. 1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 以下为教师用书专用 答案答案 A 记g(x)=f(f(x)=(x2+bx)2+b(x2+bx)=-=-. 当b0时,-+1),函数y=3x2的图象交AB于点Q,函数y= 的图象交BC于点P,则当|AQ|+|CP|最小时,a的值为 . 1 -2 x 答案答案 3 解析解析 依题意得Q,P, 则|AQ|+|C
7、P|=+=+,记=t(t1), f(t)=|AQ|+|CP|,则f(t)=+,所以f(t)=+2, 当且仅当=,即t2=时取等号,此时a=. , 3 a a 1 , a a 3 a1 a3 a1 a a 3 t1 t 3 t1 t 1 3 3 t1 t 33 3.(2019浙江,16,4分)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|,则实数a的最大值是 . 2 3 答案答案 4 3 解析解析 本题考查绝对值不等式的解法及二次函数的最值等相关知识;以三次函数为背景,对不等 式化简变形,考查学生运算求解能力,将不等式有解问题转化为函数值域(最值)问题,考查学生的
8、化 归与转化思想、数形结合思想;突出考查了数学运算的核心素养. |f(t+2)-f(t)|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|6at2+12at+8a-2|3at2+6at+4a-1|-3at2+6 at+4a-1a(3t2+6t+4), 3t2+6t+4=3(t+1)2+11, 若存在tR,使不等式成立,则需a0, 故a(3t2+6t+4)a,+), 只需a,+)即可,0a, 故a的最大值为. 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 4 3 2 4 , 3 3 4 3 4 3 疑难突破疑难突破 能够将原绝对值不等式化繁为简,将问题简化为一元二次不等式有解问题,再进一步
9、转 化为值域交集非空是求解本题的关键. 考点考点2 2 幂函数幂函数 1.(2016课标,7,5分)已知a=,b=,c=2,则( ) A.bac B.abc C.bca D.cab 4 3 2 2 3 3 1 3 5 答案答案 A a=,c=2=,而函数y=在(0,+)上单调递增,所以,即bac,故选A. 4 3 2 2 3 4 1 3 5 2 3 5 2 3 x 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2.(2018上海,7,5分)已知-2,-1,-,1,2,3.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则= . 1 2 1 2 答案答案 -1 解析解析 本题主要考查幂函数的图象和性质
10、.幂函数f(x)=x为奇函数,可取-1,1,3,又f(x)=x在(0, +)上递减,0,则幂函数的图象过原点,并且在区间0,+)上为增函数; 如果0,则幂函数的图象在区间(0,+)上为减函数; 当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数. 1.(2014课标,15,5分)设函数f(x)=则使得f(x)2成立的x的取值范围是 . -1 1 3 e,1, ,1, x x xx 以下为教师用书专用 答案答案 (-,8 解析解析 f(x)2或或x1或1x8x8,故填(-,8. -1 1, e2 x x 1 3 1, 2 x x 1, ln2 1 x x 1, 8 x x 2.(2014上海
11、,9,4分)若f(x)=-,则满足f(x)0的x的取值范围是 . 2 3 x 1 -2 x 答案答案 (0,1) 解析解析 令y1=,y2=,则f(x)0即为y1y2.函数y1=,y2=的图象如图所示,由图象知:当0x1时,y1 y2,所以满足f(x)0且a1)与函数y=(a-1)x2-2x在同一坐标系内的 图象可能是( ) 答案答案 A 当a1时,函数y=ax为增函数;函数y=(a-1)x2-2x图象的开口向上,对称轴方程为x=0,且 与y轴的交点为(0,0),排除B. 当0a1时,函数y=ax为减函数;函数y=(a-1)x2-2x图象的开口向下,对称轴方程为x=1时, f(x)=x2-mx
12、+5,且f(x)在(-, 0)上单调递增,则m的取值范围为( ) A.4,+) B.2,+) C.(-,4 D.(-,2 答案答案 C 根据题意,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且f(x)在(-,0)上单调递增,则f(x)在(2,+)上 为增函数,当x1时, f(x)=x2-mx+5,则2,解得m4, 即m的取值范围为(-,4.故选C. 2 m 3.(2019辽宁部分重点高中联考,3)函数y=1-|x-x2|的图象大致是( ) 答案答案 C 当x=-1时,y=1-|-1-1|=-1,所以排除A,D, 当x=2时,y=1-|2-4|=-1,所以排除B,故选C. 4.(2020四川三台中学
13、实验学校开学考试,15)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),x R,则函数f(x)的最小值是 . 答案答案 -16 解析解析 令x=t-2 016,则f(t-2 016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9,当t2=5时, f(x)有最小值52-105+9=-16, 故f(x)的最小值是-16. 5.(2019重庆(区县)调研测试,15)已知函数f(x)=-2x2+mx+3(0m4,0 x1)的最大值为4,则m的值 为 . 答案答案 2 2 解析解析 f(x)=-2x2+mx+3=-2+3, 0m4,01,当x=
14、时, f(x)取得最大值, +3=4,解得m=2. 2 - 4 m x 2 8 m 4 m 4 m 2 8 m 2 考点考点2 2 幂函数幂函数 1.(2020海南天一大联考一模,5)不等式(x2+1(3x+t的解集为( ) A.(4,+) B.(-1,4) C.(4,+) D.(-,-1)(4,+) 1 2 ) 1 2 ) 5 - ,-1 3 答案答案 A 不等式(x2+1(3x+5等价于x2+13x+50, 解得-x4,所以原不等式的解集为(4,+).故选A. 1 2 ) 1 2 ) 5 3 5 - ,-1 3 2.(2019四川成都七中阶段性测试)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则lo
15、g4 f(2)的值为( ) A. B.- C.2 D.-2 12 , 22 1 4 1 4 答案答案 A 设幂函数为f(x)=xa,由于点在幂函数的图象上,所以=,解得a=,则f(x)= ,所以log4 f(2)=log4=,故选A. 12 , 22 2 2 1 2 a 1 2 1 2 x 1 2 2 1 4 3.(2018吉林四平质检)设a,则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 1 -1,1,3 2 答案答案 A 当a=-1时,y=x-1的定义域是x|x0,且为奇函数;当a=1时,y=x的定义域是R且为奇函数;
16、当a=时,函数y=的定义域是x|x0,且为非奇非偶函数;当a=3时,y=x3的定义域是R,且为奇函 数,则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为1,3,故选A. 1 2 1 2 x 4.(2019甘肃兰州一中月考,4)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x(0,+)上递减,则实数 m=( ) A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 2-2 -3mm x 答案答案 A 根据幂函数的定义和性质,得m2-m-1=1, 解得m=2或m=-1, 当m=2时, f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,符合题意; 当m=-1时, f(x)=x0=1在(0,+)上不是减函数, 所以m=
17、2,故选A. 5.(2020河南郑州第二次质量预测,13)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m= . 答案答案 2 解析解析 函数f(x)=(m2-3m+3)xm是幂函数,m2-3m+3=1,解得m=1或m=2. 当m=1时,函数y=x的图象不关于y轴对称,舍去; 当m=2时,函数y=x2的图象关于y轴对称,m=2. 方法总结方法总结 幂函数y=x,若为偶数,则图象关于y轴对称. 一、选择题(每小题5分,共35分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：30分钟 分值：45分) 1.(2020四川宜宾第四中学第二次月考,6)已知函数f(x)=x-3,若a=
18、f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c 的大小关系是( ) A.acb B.bac C.bca D.cab 答案答案 B f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,0.40.60.60.60.60.4,所以bac,故选B. 2.(2020吉林长春期末五校联考,9)已知二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x),若f(x)在区间3,+)上单调递 减,且f(m)f(0)恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-,0 B.0,6 C.6,+) D.(-,06,+) 答案答案 B 设f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,且a0), f(3+x)=f(3
19、-x),a(3+x)2+b(3+x)+c=a(3-x)2+b(3-x)+c,x(6a+b)=0,6a+b=0, f(x)=ax2-6ax+c=a(x-3)2-9a+c. 又f(x)在区间3,+)上单调递减,a0,f(x)的图象是以直线x=3为对称轴,开口向下的抛物线, 由f(m)f(0)恒成立,得0m6,实数m的取值范围是0,6.故选B. 思路分析思路分析 设f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,且a0),根据f(3+x)=f(3-x)可得6a+b=0,再根据f(x)在区间3,+ )上单调递减,可知a0,进一步求出f(m)f(0)恒成立时,m的取值范围. 3.(2020内蒙古包钢一中月考,
20、12)已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)= 在区间(1,+)上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 ( )f x x 答案答案 D 本题考查二次函数的最值,同时也考查了y=x+型函数单调性的分析,考查分类讨论思 想及数学运算能力和逻辑推理能力. 由于二次函数y=f(x)在区间(-,1)上有最小值,可知其对称轴为直线x=a且a(-,1), g(x)=x+-2a. 当a0时,由于函数y1=x-2a和函数y2=在(1,+)上都为增函数, 所以函数g(x)=x+-2a在(1,+)上为增函数; 当a=0时,g(x)=x在(1,+)上
21、为增函数; 当0a1时,由对勾函数的单调性知,函数g(x)=x+-2a在(,+)上单调递增, 因为(1,+)(,+),所以函数g(x)=x+-2a在(1,+)上为增函数. 综上所述,函数g(x)=在区间(1,+)上为增函数,故选D. a x ( )f x x 2-2 xaxa x a x a x a x a x a a a x ( )f x x 4.(2020四川眉山二模,11)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称 号,用其名字命名的“高斯函数”如下:设xR,用x表示不超过x的最大整数,则y=x称为高斯函 数,例如:-0.5=-1,1.5=1,已知函数f(x)=-3
22、 2x+4(0x2),则函数y=f(x)的值域为( ) A. B.-1,0,1 C.-1,0,1,2 D.0,1,2 1 -2 4 x 1 3 -, 2 2 答案答案 B 因为f(x)=-3 2x+4(0x2),所以y=-3 2x+4=(2x)2-3 2x+4,令2x=t(1t4),则f(t)=t2-3t+ 4(1t0)的最小值为m,则m=( ) A. B. C. D.1 4 -2 xx m 3 4 2 3 1 2 答案答案 C f(x)=,当0m0), 若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x),nN*,则f2 019 (x)在1,2上的最大值是( ) A.42 018-1 B
23、.42 019-1 C.92 019-1 D.-1 2 019 2 3 答案答案 D f(x)=x2+2x=(x+1)2-1在(0,+)上是增函数,且f(x)0,f1(x)=f(x)=x2+2x,其图象在1,2上 单调递增,故f1(x)max=32-1, f2(x)max=f(f1(x)max)=f(32-1)=(32-1+1)2-1=34-1, f3(x)max=f(f2(x)max)=f(34-1)=(34-1+1)2-1=38-1, 依次类推, f2 019(x)max=f(f2 018(x)max)=-1. 2 019 2 3 7.(2019江西南昌第十中学月考,10)函数f(x)=x
24、|x-a|,若x1、x23,+),x1x2,不等式 0 恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-,-3 B.-3,0) C.(-,3 D.(0,3 12 12 ( )- () - f xf x x x 答案答案 C 因为x1、x23,+),x1x2,不等式0恒成立,所以f(x)=x|x-a|在3,+)上是 增函数. f(x)=当a3时, f(x)=x2-ax(x3)在上递增,则在3,+)上递增,所以a3 符合题意; 当a3时, f(x)的增区间为(a,+)、,减区间为,所以f(x)在3,+)上先减后增,不满足题 意.故实数a的取值范围是(-,3,故选C. 12 12 ( )- () - f
25、 xf x x x 2 2 -, -,. x ax xa ax x xa , 2 a - , 2 a , 2 a a 二、填空题(每小题5分,共5分) 8.(2018甘肃天水一中段考,14)已知函数f(x)=,给出下列命题: 若x1,则f(x)1;若0x1x2-x1;若0x1x2,则x2f(x1)x1f(x2);若0x1x2,则 1,则f(x)1,正确; 令x1=1,x2=4,满足0x1x2-x1,错误; 令x1=1,x2=4,满足0x1x2,而x2f(x1)=4=4,x1f(x2)=1=2,不满足x2f(x1)x1f(x2),错误; 如图所示, f(x)=图象上的点A,B的横坐标分别为x1,
26、x2,则AB中点N的横坐标为, 则的值为N点的纵坐标yN, f的值为P点的纵坐标yP, 很明显yNyP,即f,正确. 综上可得,正确命题的序号是. 1 2 x 1 2 4 1 2 1 1 2 1 1 2 4 1 2 x 12 2 xx 12 ( )() 2 f xf x 12 2 xx 12 ( )() 2 f xf x 12 2 xx 1.(多选题)(2020 5 3原创题)若函数y=x2-4x-4在区间0,a)上既有最大值又有最小值,则正整数a的值 可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 BC 令y=f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,作出函数y=f(x)的部分图象
27、, f(0)=f(4)=-4, f(x)min=f(2)=-8. 因为函数在区间0,a)上既有最大值又有最小值, 所以区间0,a)必须包含2,且f(a)-4,所以2a4. 结合选项可知选BC. 命题说明命题说明 函数在开区间内有最值,必然是有极值点,并且开区间端点处的函数值不是值域的边 界.开口向上的抛物线在开区间上有最小值,表示定义域包含了顶点的横坐标;有最大值,则定义域 的开区间端点处的函数值必不超过闭区间端点处的函数值.此题背景熟悉,难度不大,但对答题者 的逻辑思维能力有较高要求. 2.(2020 5 3原创题)若幂函数f(x)=x(R)满足(+1) f(x)=f(ex),则下列关于函数
28、f(x)的性质判断正确 的是( ) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x)是周期函数 C.f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.f(x)是单调函数 答案答案 C (+1)f(x)=f(ex),(+1)x=ex,即e=+1. 令g()=e-1,则g()=e-1,令g()=0,得=0. 当(-,0)时,g()0,g()单调递增. g()min=g(0)=0,方程e=+1有唯一解=0,f(x)=x0=1(x0),f(x)的图象不关于直线x=-1对称, f(x)不是周期函数, f(x)无单调性, f(x)的图象关于点(0,1)对称.故选C. 命题说明命题说明 本题以幂函数为载体考查了函
29、数的奇偶性、对称性、周期性、单调性以及指数运 算、导数应用.引导学生发现和提出问题,建立模型,检验模型,分析和解决问题,培养数学核心素养, 认识数学知识间的联系. 疑难突破疑难突破 本题难点在于求出字母的值,如能掌握好教材习题结论xR,exx+1,当且仅当x=0 时取等号,则问题就可简化. 3.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=g(x)=16|f(x)| (2|f(x)|-m)+m2+4m-5. (1)求函数f(x)的值域; (2)若函数g(x)有3个零点,求m的取值范围. 2 -( -1) ,1, -1 ,1, 1 xx x x x 解析解析 (1)当x(-,1时, f(x)=-(
30、x-1)2在(-,1内是增函数,且f(1)=0, f(x)(-,0. 当x(1,+)时, f(x)=1-是增函数,且f(1)=0, f(x)1,f(x)(0,1). 综上, f(x)的值域是(-,1). (2)令t=|f(x)|,则h(t)=32t2-16mt+m2+4m-5,y=|f(x)|的图象如图所示, -1 1 x x 2 1x 要使函数g(x)有3个零点, 只要32t2-16mt+m2+4m-5=0的两根t1,t2满足0t11t2或t1=0t21. 结合函数图象可知 或或 即或或 解得3m9或m=1. (0)0, (1)0 h h 12 (1)0, 12 h tt 12 (0)0, 01. h tt 2 2 4 -50, -12270 mm mm 2-12 270, 12 2 mm m 2 4 -50, 01, 2 mm m 方法技巧方法技巧 遇到复合函数的零点个数问题,一般先采用换元法(整体思想与化简),转化为基本函数 模型的问题,然后借助函数图象,找到复合函数、中间元及自变量间的对应关系求解.
