1、 培优点十一培优点十一 数列求通项公式数列求通项公式 1.累加、累乘法 例 1：数列 n a 满足： 1 1a ，且 1 21 n nn aa ，求 n a 【答案】22 n n an 【解析】 1 21 n nn aa ， 1 1 21 n nn aa ，L， 1 21 21aa， 累加可得： 1 21 1 2 21 2221123 21 n nn n aannn L ， 22 n n an 2 n S与 n a的关系的应用 例 2：在数列 n a 中， 1 1a ， 2 2 21 n n n S a S ，则 n a 的通项公式为_ 【答案】 11 ,2 2123 1,1 n n ann
2、n 【解析】当2,nn N时， 1nnn aSS ， 2 22 111 2 222 21 n nnnnnnnn n S SSSSS SSS S ， 整理可得： 11 2 nnnn SSS S ， 1 11 2 nn SS ， 1 n S 为公差为 2 的等差数列， 1 11 1221 n nn SS ， 1 21 n S n ， 11 ,2 2123 1,1 n n ann n 3构造法 例 3：数列 n a 中， 1 1a ， 1 32 nn aa ，求数列 n a 的通项公式 【答案】 1 2 31 n n a 【解析】设 1 3 nn aa 即 1 32 nn aa ，对比 1 32 n
3、n aa ，可得1， 1 131 nn aa ， 1 n a 是公比为 3 的等比数列， 1 1 113n n aa ， 1 2 31 n n a 一、单选题 1由 1 1a ， 1 31 n n n a a a 给出的数列 n a 的第 34 项是（ ） A 1 100 B100 C 34 103 D 1 4 【答案】A 【解析】由 1 1a ， 1 31 n n n a a a ， 则 2 11 314 a ， 3 1 1 4 1 7 31 4 a ， 4 1 1 7 1 10 31 7 a ， 5 1 1 10 1 13 31 10 a ， 6 1 1 13 1 16 31 13 a ，
4、L， 由此可知各项分子为 1，分母构成等差数列 n b ，首项 1 1b ，公差为3d ， 341 34 11 33 3100bbd ， 5 1 100 a ，故选 A 2数列 n a 满足 1 1 2 a ， 1 1 1 n n a a ，则 2018 a等于（ ） A 1 2 B1 C2 D3 【答案】B 【解析】1n 时， 2 121a ， 3 112a ， 4 11 1 22 a ， 5 121a ， 数列的周期是 3， 201823 372 2 1aaa 故选 B 对点增分集训对点增分集训 3在数列 n a 中，若 1 2a ，且对任意正整数m、k，总有 m kmk aaa ，则 n
5、 a 的前n项 和为 n S （ ） A 31nn B 3 2 n n C1 n n D 31 2 nn 【答案】C 【解析】递推关系 m kmk aaa 中，令1k 可得： 11 2 mmm aaaa ， 即 1 2 mm aa 恒成立， 据此可知，该数列是一个首项 1 2a ，公差2d 的等差数列， 其前n项和为： 1 11 221 22 n n nn n Snadnn n 故选 C 4数列 n a 的前n项和为 n S，若 21 n Snn N，则 2017 a的值为（ ） A2 B3 C2017 D3033 【答案】A 【解析】 201720172016 2aSS，故选 A 5 已知数
6、列 n a 是递增数列， 且对n N， 都有 2 n ann， 则实数的取值范围是 （ ） A 7 2 , B 1 , C 2, D 3, 【答案】D 【解析】 n a 是递增数列， 1nn aa ， 2 n ann恒成立，即 2 2 11nnnn， 21n 对于n N恒成立，而 21n在1n 时取得最大值3， 3 ，故选 D 6在数列 n a 中，已知 1 2a ， 1 1 2 2 n n n a a a ， 2n ，则 n a等于（ ） A 2 1n B 2 n C 3 n D 3 1n 【答案】B 【解析】将等式 1 1 2 2 n n n a a a 两边取倒数得到 1 111 2 n
7、n aa ， 1 111 2 nn aa ， 1 n a 是公差为 1 2 的等差数列， 1 11 2a ， 根据等差数列的通项公式的求法得到 111 1 222 n n n a ，故 2 n a n 故选 B 7已知数列 n a 的前n项和 n S，若 1 1a ， 1 1 3 nn Sa ，则 7 a （ ） A 7 4 B 5 34 C 6 34 D 6 41 【答案】B 【解析】由 1 1 3 nn Sa ，可得 1 1 3 nn Sa ，2n 两式相减可得： 1 11 33 nnn aaa ，2n 即 1 4 nn aa ，2n 数列 n a 是从第二项起的等比数列，公比为 4， 又
8、 1 1 3 nn Sa ， 1 1a 2 3a ， 1 3S 7 25 724 3 4aa 故选 B 8已知 1 2 2 F xfx 是R上的奇函数， 11 01 n n affff nn L ， n N则数列 n a 的通项公式为（ ） A n an B 21 n an C 1 n an D 2 23 n ann 【答案】B 【解析】由题已知 1 2 2 F xfx 是R上的奇函数， 故 FxF x ，代入得： 11 4 22 fxfx ， xR， 函数 f x关于点 1 ,2 2 对称， 令 1 2 tx，则 1 1 2 xt ，得到 14f tft， 11 01 n n affff n
9、n L ， 11 10 n n affff nn L ， 倒序相加可得 241 n an ，即 21 n an ，故选 B 9在数列 n a 中，若 1 0a ， 1 2 nn aan ，则 23 111 n aaa L 的值（ ） A 1n n B 1n n C 1 1 n n D 1 n n 【答案】A 【解析】由题意，数列 n a 中，若 1 0a ， 1 2 nn aan ， 则 112211 2 1211 nnnnn aaaaaaaann n LL ， 1111 11 n an nnn ， 23 1111111111 11 2231 n n aaannnn LL ，故选 A 10已知
10、数列 n a 的首项 1 1a ，且满足 1 1 2 n nn aan N，如果存在正整数n， 使得 1 0 nn aa 成立，则实数的取值范围是（ ） A 1 2 2 , B 2 1 3 , C 1 1 2 , D 2 5 3 6 , 【答案】C 【解析】由题意2n 时， 21 121321 11121 11 22232 nn nnn aaaaaaaa LL ， 由 1 0 nn aa ，即 1 0 nn aa ， 221kk aa 且 221kk aa ，k N， 2 2 2 2121 11 3232 k k k a ， 其中最小项为 2 231 1 342 a ， 21 21 21 21
11、21 11 3232 k k k a ， 其中最大项为 1 1a ，因此 1 1 2 故选 C 11已知数列 n a 满足 1 1a ， * 1 2n nn aan N， n S是数列 n a 的前n项和，则（ ） A 2018 2018 2a B 1009 2018 3 23S C数列 21n a 是等差数列 D数列 n a 是等比数列 【答案】B 【解析】数列数列 n a 满足 1 1a ， * 1 2n nn aan N， 当2n 时， 1 1 2n nn aa 两式作商可得： 1 1 2 n n a a ， 数列 n a 的奇数项 1 a， 3 a， 5 a，L，成等比，偶数项 2 a
12、， 4 a， 6 a，L，成等比， 对于 A 来说， 2018 1 10081009 2 20182 2222aa ，错误； 对于 B 来说， 2018132017242018 SaaaaaaLL 10091009 1009 112212 3 23 1212 ，正确； 对于 C 来说，数列 21n a 是等比数列，错误； 对于 D 来说，数列 n a 不是等比数列，错误， 故选 B 12已知数列 n a 满足： 1 1a ， 1 2 n n n a an a N 设 1 1 21 n n bnn a N， 2 1 5b， 且数列 n b 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ） A 2, B
13、 3 1 2 , C 11 , D 12 , 【答案】B 【解析】数 n a 满足： 1 1a ， 1 2 n n n a an a N 1 12 1 nn aa ，化为 1 12 12 nn aa ， 数列 1 1 n a 是等比数列，首项为 1 1 12 a ，公比为 2， 1 12n n a ， 1 1 2122n n n bnn a ， 2 1 5b，且数列 n b 是单调递增数列， 21 bb ， 2 1225，解得12 ， 由 21nn bb ，可得1 2 n ，对于任意的n N恒成立， 3 2 ，故答案为 3 1 2 故选 B 二、填空题 13已知数列 n a 的前n项和为 n
14、S，且 2 2 n Snn，则 n a _ 【答案】21n 【解析】数列 n a 的前n项和为 n S，且 2 2 n Snn， 2 1 121 n Snn ，两式想减得到21 n an 此时1n ，检验当1n 时， 1 3a 符合题意，故21 n an故答案为21 n an 14数列 n a 中，若 1 1a ， 1 1 nn n aa n ，则 n a _ 【答案】 1 n 【解析】 1 1a ， 1 1 nn n aa n ，则 11 11 nn nanaa ， 1 n a n 故答案为 1 n 15设数列 n a 满足 1 1 2 nn n nanan n N， 1 1 2 a ， n
15、 a _ 【答案】 2 1 n n 【解析】 1 1 2 nn n nanan n N， 1 111 12112 nn aa nnnnnn ， 1 11 11 nn aa nnnn ， 21 11 2123 aa ，累加可得 1 11 21 n a a nn ， 1 1 2 a ， 1 1 11 n an nnn ， 2 1 n n a n 故答案为 2 1 n n a n 16已知数列 n a 满足 1 2a ， 1 45 413 nn aa ，则 123 1111 1111 n aaaa _ 【答案】 1 33 2 22 n n 【解析】令 41 nn ba ，则 11 41 nn ba
16、， 由题意可得 1 133 nn bb ， 即 11 30 nnnn b bbb ，整理可得 1 31 1 nn bb ， 令 1 n n c b ，则 1 31 nn cc ，由题意可得 1 11 3 22 nn cc ， 且 1 11 111 414 c ba ， 1 13 24 c ，故 1 13 3 24 n n c ， 即 11 3 42 n n c ， 14 32 n n n b c ， 1 1 432 n n n b a ， 1 32 1 n n a ， 据此可知 1 23 123 111133 333322 111122 n n n nn aaaa LL 三、解答题 17已知各
17、项均为正数的数列 n a 的前n项和为 n S，且 2 24 nnn aaS （1）求 n S； （2）设 1 nn bnnS ，求数列 1 n b 的前n项和 n T 【答案】 （1） 2 n Snn； （2） 1 1 1 n T n 【解析】 （1）由题意得 2 2 111 24 24 nnn nnn aaS aaS ，两式作差得 11 20 nnnn aaaa ， 又数列 n a 各项均为正数， 1 20 nn aa ，即 1 2 nn aa ， 当1n 时，有 2 1111 244aaSa，得 11 20a a ，则 1 2a ， 故数列 n a 为首项为 2 公差为 2 的等差数列，
18、 2 1 1 2 n n n Snadnn （2） 111111 111 n n nn bSnn n nnn ， 11 1111 ()1 11 nn n ii i T biin 18在数列 n a 中， 1 4a ， 2 1 122 nn nanann （1）求证：数列 n a n 是等差数列； （2）求数列 1 n a 的前n项和 n S 【答案】 （1）见解析； （2） 21 n n S n 【解析】 （1） 2 1 122 nn nanann 的两边同时除以1n n，得 1 2 1 nn aa n nn N， 数列 n a n 是首项为 4，公差为 2 的等差数列 （2）由（1） ，得22 n a n n ， 2 22 n ann，故 2 1111111 222121 n nn annn nnn ， 111111 1 22231 n S nn 111111111 11 2232312121 n nnnn
