1、1 2 12 12 0 40 0 bac b xx a c xx a 基本概念 直开法 配方法 解法 公式法 因式分解法 两个不等实根 根的判别式两个相等实根 一元二次方程 无实根 根与系数的关系 面积问题 商品利润问题 一元二次方程的实际问题 传播问题 增长率问题 考点一 一元二次方程的概念考点一 一元二次方程的概念 1、一元二次方程：、一元二次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 关于一元二次方程的定义考查点有三个： 二次项系数不为0；最高次数为2；整式方程. 2、一元二次方程的一般形式：、一元二次方程的一般形式： 2 0 (0)axbxca，a为二
2、次项系数，b为一次项系数，c为常数项 3、一元二次方程的识别：、一元二次方程的识别： 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2 任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式 2 0axbxc0a 一元二次方程 知识网络图知识网络图 知识回顾 2 特别提醒特别提醒:对于关于x的方程 2 0axbxc， 当0a 时， 方程是一元二次方程； 当0a 且0b 时，方程是一元一次方程 题型一一元二次方程的定义： 【例】
3、判别下列方程哪些是一元二次方程 （1） 2 370 x ；（2） 2 0axbxc；（3） 2 (2)(3)1xxx； （4） 2 540 xx；（5） 2 (12)0 x ；（6） 2 4 360 x x 【巩固】把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项. （1） 2 (21)(32)2xxx（2） 2 (2 2)(2 2)(3)xxx 【巩固】下列方程是一元二次方程的是（） A.bxax 2 B.013 2 yx C.0 1 23 2 x xxD.5112xxx 【巩固】1.若一元二次方程 222 (2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为 _ 2.若
4、关于x的方程 2 (2)(3)4 m mxmxm是一元二次方程，则m为 【例】已知方程 2 240 ab xxx是关于x的一元二次方程，求a、b的值 【巩固】若 2 310 a ba b xx 是关于x的一元二次方程，求a、b的值 题型题型二二一元二次方程根的考察一元二次方程根的考察 【例】 关于x的一元二次方程 22 (1)10axxa 的一个根是0， 则a的值为 （） 同步练习 总结一下： 关于一元二次方程的定义考查点有三个： 二次项系数不为0；最高次数为2；整式方程 3 A.1B.1C.1或1D. 1 2 【巩固】若m是方程 2 3220 xx的一个根，那么代数式 2 3 1 2 mm的
5、值为. 【巩固】的值为的根，则的一元二次方程为关于若bccbxxxcc00 2 （）A.1B.-1C.2D.-2 【巩固】若于 x 的方一元二次方程03 22 mmxmx有一个根为零，那 m 的值等 于. 【巩固】已知关于 x 的方程0 2 nxx有两个实数根-2，m,则 m=n=. 12、（2010 陕西中考）方程 x-4x 的解是 x=0 或 x=4 12（2013 陕西中考）一元二次方程 2 30 xx的根是_. 8（2014 陕西中考）若2x是关于x的一元二次方程 22 5 0 2 xaxa的一个根，则a 的值是（） A.1 或 4B.1 或4C.1 或 4D.1 或4 8（2014
6、中考副题）用配方法解一元二次方程 2 231xx ，下列配方正确的是 （） A. 317 () 416 x B. 117 () 216 x C. 315 () 216 x D. 2 313 () 168 x 【题 1】 若使分式 2 2 23 1 xx x 的值为0，则x的取值为_ 【题 2】 若关于x的一元二次方程 22 15320mxxmm的常数项为0， 则m的值为 _ 【题 3】 设方程 22 20022003 200110 xx 的较大根为r， 方程 2 2001200210 xx 的较 小根为s，则rs的值为_ 4 题型题型三三 “ 降次降次”思想思想 【例】已知a是方程 2 310
7、 xx 的一个根，则代数式 3 102aa的值为_. 【巩固】已知m是方程012015 2 xx的一个根，试求 1 2015 2014 2 2 m mm的值. 题型题型四四一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1、直接开方法：、直接开方法： 对于形如 2 xm或 2 ()axnm（0a ，0m ）型的一元二次方程，即一元二次方程的一 边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解. 如 2 xm（0m ）的解为xm ，即 1 xm， 2 xm 如 2 ()axnm（0m ）转化为axnm ，即转化为axnm或axnm 进行 求解. 当0m 时，方程 2 xm和 2 ()
8、axnm均无解. 【例】解下列方程： （1） 2 4(21)90 x （2） 22 9(32)(12 )xx 【巩固】解方程： 22 69(52 )xxx 总结一下： 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换. 5 2、配方法：、配方法： 通过配方的方法把一元二次方程转化为形如 2 ()axbm的形式，再运用直接开平方的方法 求解，即用配方法解方程. 用配方法解一元二次方程的步骤如下： （1）把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边. （2）根据等式的性质把二次项的系数化为“1”. （3）把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一
9、个完全平方式. 用配方法解一元二次方程比较麻烦，建议优先考虑其他的方法. 【例】用配方法解下列方程 （1） 2 2490 xx（2） 2 368xx 【巩固】用配方法解方程092 2 xx时，配方后得到的方程是（） A.91 2 xB.91 2 xC.101 2 xD.101 2 x 【巩固】用配方法解下列方程 （1） 2 640 xx（2） 2 420 xx（3） 2 241yy （4） 2 23546xxx（5）(1)(3)50yy(6) 2 2520 xx 3、公式法：、公式法： 2 4 2 bbac x a （ 2 b -4ac0） 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来， 公式法是
10、用求根公式求出一元二次方程的解 的方法，它是解一元二次方程的一般解法，也是求一元二次方程解的万能公式. 6 【例】用公式法解下列方程： （1） 2 10 xx （2） 2 5720 xx 【巩固】用公式法解下列方程 （1）(5)(7)1xx（2） 2 3220 xx 温馨提示：温馨提示： (1)求根公式解释:由求根公式可知,一元二次方程的根是由其系数 a，b，c 决定的，只要确 定了 a，b，c 的值，就可以代入公式求出一元二次方程的根. (2)注意被开方数 2 b -4ac必须是非负数,否则 2 b -4ac无意义. (3)若 2 b -4ac0,则把 a,b,c 及 2 b -4ac的值代入一元二次方程的求根公式 a2 ac4bb =x 2 ,求出 1 x, 2 x.若 2 b -4ac 0,则方程没有实数根.
