2021届高三复习专练12数列求和.docx

1、高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 12 数列求和数列求和 例 1： 数列中， 若， 则（ ） A B C D 【答案】C 【答案】取，则， 又，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，得 例 2：已知数列，满足， （1）若数列为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项 公式； （2）若数列为等差数列，公差，证明： 【答案】（1），；（2）证明见解析 【答案】（1）由，得，解得， 由，得 由，得 n a 1 2a m nmn aa a 155 1210 22 kkk aaa k 2345 1m 11nn aa a 1 2a 1

2、 2 n n a a n a222n n a 110 111155 1210 2(12 ) 2222 12 k kk kkk aaa 4k n a n b n c 111 1abc 1nnn caa 1 2 n nn n b cc b * ()nN n b0q 123 6bbbq n a n b0d * 123 1 1, n ccccn d N 1 2 q 1 42 3 n n a 123 6bbb 2 16qq 1 2 q 1 4 nn cc 1 4n n c 1 1 4n nn aa 1 2 1 42 1 44 3 n n n aa 1、公式法 2、裂项相消法 高考内部特供精优资料 Wor

3、d 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 （2）由，得， 所以， 由，得，因此， 例 3：设是公比不为 的等比数列，为，的等差中项 （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和 【答案】 （1）； （2） 【答案】 （1）设等比数列的公比为， ， 又，故，解得或（舍） （2）由，可得， 设数列的前项和为， 则 -，得 ， 1 2 n nn n b cc b 1 2 1 11 111 () n nnnn bb cd c b bdbb 123 1 11 (1) n n d cccc db 1 1b 0d 1 0 n b 123 1 1 n cccc d * nN n a 1

4、1 a 2 a 3 a n a 1 1a n nan 2q 111 () ( 2) 399 n n n a(0)q q 123 2aaa 2 111 2aa qa q 1 0a 2 20qq2q 1q 1 1a 11 1 ( 2) nn n aa q n nan n S 011 1 ( 2)2 ( 2)( 2)n n Sn 12 21 ( 2)2 ( 2)( 2)n n Sn 0121 3( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) nn n Sn ( 2)111 ( 2)() ( 2) 2 133 n nn nn 111 () ( 2) 399 n n Sn 3、错位相减法 高考内部特供精优资料

5、 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 例 4：已知等差数列中，则数列的前项 和为（ ） A B C D 【答案】D 【答案】由题，解得， 设，则， ， 数列的前项和为 一、选择题 1已知数列满足，且，则数列的前 6 项和（ ） A6 B7 C8 D9 【答案】B 【答案】因为，所以， 两边同时除以，得， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， n a 354 7aaa 10 19acos n an2018 1008100920172018 11 1 2637 919 adad ad 1 1 2 a d 21 n an cos nn ban 1212

6、 coscos22bbaa 3434 cos3cos42bbaa cos n an2018 123420172018 ()()() n Sbbbbbb 2018 22018 2 n a 1 (3)(3)9 nn aa 1 n a 6 S 1 (3)(3)9 nn aa 11 33 nnnn aaaa 1 3 nn aa 1 111 3 nn aa 1 3a 1 n a 1 3 1 3 1 3 n n a 4、并项求和法 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 从而，故选 B 2在等比数列中，已知，则的值为（ ） A B C D 【答案】C

7、【答案】由，得， 取，这时，适合题意 3 数列，都是等差数列， 且， 则 的前 项的和为（ ） A B C D 【答案】D 【答案】的前项的和 4数列的通项公式为，其前项和为，则 （ ） A B C D 【答案】D 【答案】的周期， ，故选 D 5已知为数列的前项和，且，则数列的前项和为（ ） A B C D 1 11 () (1) 26 n n n aan n S 6 7S n a 1 3a 96 n a 189 n S n 4567 1 1 n n aa q 1 963 n q 15 322 n q 6n2q 6 6 3(21) 189 2 1 S n a n b 1 5a 1 7b 30

8、30 60ab nn ab30 1000102010401080 nn ab30 3011223030 ()()()Sababab 1233012330 ()()aaaabbbb 130130 130130 30()30() 15()1080 22 aabb aabb n a cos 2 n n a n * N n n S 2016 S 1008100810 cos 2 n n a 2 4 2 T 1234 0( 1) 1 00aaaa 20161234 504 ()0Saaaa n S n an21 nn Sa n na10 10 9 21 10 9 21 11 9 21 11 9 21 高

9、考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【答案】B 【答案】由，得 当时， 数列是首项为 ，公比为的等比数列， 数列的前项和为， ，得， 故 6在递减的等差数列中，则数列的前项和的最 大值为（ ） A B C D 【答案】D 【答案】设等差数列的公差为，则， 因为， 所以，解得或(舍去)， 所以， 当时，所以当时， 因为， 所以数列的前项和 21 nn Sa 1 1a 2n 11 2() nnnnn aSSaa 1 2 nn aa n a 12 1 2n n a n na10 029 1 22 23 210 2T 2310 21 22 23

10、210 2T - 10 29101010 1 2 1 22210 210 29 21 1 2 T 10 9 21T n a 2 132 4a aa 1 13a 1 1 nn a a n 24 143 1 143 24 13 6 13 n ad0d 2 132 4a aa 1 13a 2 13(132 )(13)4dd2d 2d 1 (1)132(1)152 n aandnn 1520 n an7.5n7n0 n a 1 11 (152 )(132 ) nn a ann 111 () 2215213nn 1 1 nn a a n 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学

11、探究群 562298495 ， 当时，取得最大值，最大值为 二、填空题 7设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知 的前项 和，则的值是_ 【答案】 【答案】因为的前项和， 当时， 当时， 所以当时，且当时，成立， 故， 8等差数列的前项和为，则 【答案】 【答案】设等差数列的首项为，公差为，所以，解得， 所以，那么， 那么 111111111 ()() 21311119215213213213 n S nnn 6n n S 116 (1) 21313 n a d n b q nn abn 2* 21() n n SnnnNdq 4 nn abn 2* 21() n n SnnnN 1n

12、 11 1ab 2n 1 1 222n nnnn abSSn 2n 22 n an 1 2n n b 1n 11 0 1 1ab 21 2daa 2 1 2 b q b 4dq n an n S 3 3a 4 10S 1 1 n k k S 2 1 n n 1 a d 1 1 23 4 3 410 2 ad ad 1 1 1 a d 1 , 2 nn nn an S 1211 2 11 n Sn nnn 1 11111112 21.2 1 223111 n k k n Snnnn 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 9已知函数，正项等比

13、数列满足，则 等于 【答案】 【答案】因为，所以 因为数列是等比数列，所以， 即 ， 设， 又， ，得，所以 三、解答题 10已知公比大于 的等比数列满足， （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和 【答案】（1）； （2）480 【答案】 （1）设公比为，解得或（舍） ， （2）由（1）可得， 3 ( ) 31 x x f x ()xR n a 50 1(1)aq 1299 (ln)(ln)(ln)fafafa 99 2 3 ( ) 31 x x f x 33 ( )()1 3131 xx xx f xfx n a 2 199298495150 1a aa aa a

14、a 1992984951 lnlnlnlnlnln0aaaaaa 199298991 (ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)1fafafafafafa 9912399 (ln)(ln)(ln)(ln)Sfafafafa 999998971 (ln)(ln)(ln)(ln)Sfafafafa 99 299S 99 99 2 S 1 n a 24 20aa 3 8a n a m b n a * (0,()m mN m b 100 100 S 2n n a q 3 3 20 a a q q 3 8a 2q 1 2 q 3 3 2 nn n aa q 2n n a 1 2a 2 4a 6 6

15、4a 7 128a 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时， 11设数列满足， （1）计算猜想的通项公式并加以证明； （2）求数列的前项和 【答案】 （1），证明见解析； （2） 【答案】（1）由， 猜想的通项公式为 利用数学归纳法证明： （i）当时，显然成立； （ii）假设时猜想成立，即， 则时， 所以时猜想也成立， 综上（i）（ii），所以 （2）令， 则， ， 由，得 ， 化简得 12 已知为等差数列，为等比数列， 2m 0 m b 42m 1 m b 84m 2 m b 1

16、68m 3 m b 3216m 4 m b 6432m 5 m b 10064m 6 m b 10012100 02 1 4 28 3 16 432 537 6480Sbbb n a 1 3a 1 34 nn aan 23 ,a a 2 n n an n S 2 5a 3 7a 21 n an 1 (21) 22 n n Sn 1 3a 1 34 nn aan 21 345aa 32 34 27aa n a21 n an 1,2,3n ()nk k N 21 k ak 1nk 1 343(21)42(1) 1 kk aakkkk 1nk 21 n an 2(21) 2 nn nn ban 12

17、 12 3 25 2(21) 2n nn Sbbbn 231 23 25 2(21)2(21) 2 nn n Snn 31 211 2 (1 2) 3 22 22 2(21) 26(21) 2 1 2 n nnn n Snn 1 (21) 22 n n Sn n a n b 11 1ab 543 5aaa 543 4bbb 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设，求数列的前项和 【答案】 （1），； （2）证明见解析； （3） 【答案】 （1）设等差数列的公差为

18、，等比数列的公比为 由，可得， 从而的通项公式为 由， 又，可得，解得， 从而的通项公式为 （2）证明：由（1）可得， 故， 从而， 所以 （3）当奇数时， 当为偶数时， n a n b n an n S 2* 21nnn S SSn N n 2 1 1 32 , , nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 n c 2n n an 1 2n n b 4654 219 49 n n n n n ad n b q 1 1a 543 5aaa1d n a n an 1 1b 543 4bbb 0q 2 440qq2q n b 1 2n n b (1) 2 n n n

19、 S 2 1 (1)(2)(3) 4 nn S Sn nnn 22 2 1 1 12 4 n Snn 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn 2 21nnn S SS n 111 2 32(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn n 1 1 1 2 n n n n an c b 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 对任意的正整数，有， 和 由得 由得， 由于， 从而得 因此， 所以，数列的前项和为 13已知数列的首项，前项和为设与是常数若对一切正 整数，均有成立，则称此数列为“”数列

20、 （1）若等差数列是“”数列，求的值； （2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； （3） 对于给定的， 是否存在三个不同的数列为 “” 数列， 且？若存在， 求出的取值范围；若不存在，说明理由 【答案】 （1）； （2）； （3）存在， n 2222 21 11 222 1 212121 kknnn k kk c kkn 2 231 11 211352321 444444 nn k knn kk knn c 2 2314 1 11352321 444444 n k nn k nn c 2 211 1 21 1 31222112144 1 4444444 1 4 nn k nnn k nn

21、 c 11 21 1 121221121156544 1 44334444123 4 1 4 n nnnn nnn 2 1 565 99 4 n k n k n c 2 212 111 4654 219 49 n nnn kkk n kkk n ccc n n c2n 4654 219 49 n n n n * () n anN 1 1a n n Sk n 111 11 kkk nnn SSa k 1 n a 3 2 3 0 n a n a n a 3 0 n a 1 2 1,1 3 4,2 n n n a n 01 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 5

22、62298495 【答案】 （1）时，所以 （2）， 因此 ，从而 又， 综上， （3）若存在三个不同的数列为“”数列，则， 则， 由，则， 令，则， 时，由，可得，则，即， 此时唯一，不存在三个不同的数列； 时，令，则，则， 时，则同理不存在三个不同的数列； 时，无解，则，同理不存在三 个不同的数列； 时，则，同理不存在三个不同的数列； ，即时，有两解， 设，则， 1k 111nnnn aSSa 1 11 3 3 nnn SSa 1111 3 () 3 nnnnnn aSSaSS 11 3 nnn SSa 11 2 3 3 nn Sa 111 44 () 33 nnnn SaSS 1 4 n

23、n SS 11 1Sa 1 4n n S 2 1 3 4n nnn aSS 2n 2 1,1 3 4,2 n n n a n n a 3 111 333 11nnn SSa 2112 33 3333 11111 33() nnnnnnnnn SSSSSSaSS 1 1a 0 n a 0 n S 1 13 ()0 n n n S p S 3323 (1)33(1)0 nnn ppp 1 2 nn pp0 n p 1 n p 1nn SS 1 0 n a n a n a 1 3 3 1 t 32 10 nnn ptptp 2 (1)(1)10 nnn ppt p 1t 2 (1)10 nn pt

24、p 1 n p n a 13t 2 (1)40t 2 (1)10 nn pt p 1 n p n a 3t 3 (1)0 n p 1 n p n a 3t 01 2 (1)40t 2 (1)10 nn pt p 12t 10 01 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 则对任意，或或； 此时，均符合条件， 对应， 则存在三个不同的数列为“”数列，且， 综上， 资料更新 一、 原创 2021 届高三复习专练 全套资料： 1 函数的图像与性质 2 函数零点 3 含导数的抽象函数的构造. 4 恒成立问题. 5 导数的应用 6 三角函数 7 解三

25、角形 8 平面向量 9 线性规划 10 等差数列与等比数列. 11 数列求通项公式 12 数列求和 13 三视图与体积 14 与球有关的组合体 15 平行垂直关系的证明 16 利用空间向量求角 17 圆锥曲线的几何性质 18 离心率. 19 圆锥曲线综合 20 几何概型 二、江苏 21 届上学期期中考试 13 市数学试题及解析文件包 见：高考内部特供精优资料群 Word 版 1163173836 * nN 1 1 n n S S 3 1n n S S 3 1n n S S 1 n S 3 1,1 ,2 n n S n 3 1,1,2 ,3 n n S n 1,1 0,2 n n a n 3 1,1 1,2 0,3 n n an n 3 1,1 0,2 1,3 0,4 n n n a n n n a 3 0 n a 01