1、课题 3.2 立体几何中的向量方法求二面角 授课教师：大兴安岭实验中学 刁明翀 教材：教材：人民教育出版社高中数学选修 21 一、教学内容解析 本节课是人民教育出版社高中数学选修 21 第三章第二节立体几何中的向 量方法的第三课时内容属于新授课性质原理课。 本单元的学习可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解 空间向量的概念，运算基本定理和应用，体会向量方法和综合几何方法的共性和 差异，运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题 的有效工具。 二、学生学情分析 求二面角是高中数学立体几何学习的一个重点也是难点，学生在必修二学习 过程中，主要采取“形到形”的综
2、合推理方法，这种方法没有一般规律可循，对 人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 学生在必修 4 中已经学习了平面向量的基本概念与基本运算，对向量的坐标 化运算有了一定程度的了解，已经初步具备利用向量工具解题的意识和能力。 选修 2-1 中向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工 具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向 量，对于求二面角问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降 低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 三、教学目标设置 会求平面的法向量，并利用平面的法向量法求二面角，感
3、悟向量是研究立 体几何问题的有效工具。 培养学生利用图形，描述、分析数学问题的能力。体现了数形结合的思想。 进一步发展学生的数学运算能力，促进学生数学思维发展，形成规范化思考问 题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。 四、教学重点与难点 教学重点：应用法向量法求二面角 教学难点：理解法向量与二面角的关系。 五、 教学策略分析 新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作 者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程 本节课的教学采用的教学方法为：启发引导教学法和问题教学法 六、教学过程设计 1. 1. 创设情境，创设情境，复习复习引入课题引入课题 师
4、：经过前一阶段立体几何的学习，同学们已经知道，在立体几何中有三个 重要的角，他们分别是：异面直线所成角，直线与平面所成的角和二面角。这三 个角的求法是高考中立体几何版块的重点考查内容，占有非常重要的地位，在 2016-2018 连续三年的高考全国新课标卷中都考了求空间角的内容。 （教师幻灯片 展示 2016-2018 高考全国新课标卷立体几何试题） 在前两节课中我们已经共同学习了向量法求异面直线所成角和线面角的方 法，这节课我们继续探讨向量法在求二面角中的应用。 教师板书课题：立体几何中的向量方法（第三课时） 【设计意图设计意图】通过高考真题的展示，让同学们意识到求二面角这一知识点的重要 性，
5、从而让学生自主的产生学习兴趣，理解学习的必要性。 师：什么是二面角？它是怎样定义的？取值范围又是什么呢？ 生：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。范围是 0， 师：那么在几何法中我们怎样求二面角呢？ 生：在二面角的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面和内分别 作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB 则射线 OA 和 OB 构成 的AOB 叫做二面角的平 面角，二面角的大小可以用它的平面角来度量。 【阶段小结】 我们知道这种几何法没有一般规律可循，在两个半平面引棱上的垂 线，并交于一点在实际操作时难度较大，技巧性较强，致使大多数同学都感到束 手无策，为此我们引入“向量
6、”这一有效的工具，它能利用代数方法解决立体几 何问题，对于求二面角问题提供通法， ，体现了数形结合的思想。降低了学生学习 的难度，减轻了学习的负担。那么，怎样将向量和二面角产生联系呢？ 生：利用平面的法向量。 师：什么是法向量？ 生：与平面垂直的向量。 师：好，下面请同学们看大屏幕， （教师展示幻灯片）同时请同学们思考，每 幅图片中所展示的二面角和法向量成角之间有什么联系呢？ 2 2、知识讲解与典例分析、知识讲解与典例分析 (1) 师：有没有同学可以总结初图中所示的法向量成角与二面角之间的关系呢？ 生：二面角与法向量成角相等， （2) 生：二面角与法向量成角互补， 师：同学们观察的很认真，总结
7、的非常好，也就是说当两个法向量的方向一 进一出时二面角等于法向量夹角；同进同出时二面角等于法向量夹角的补角。 即有：二面角与法向量成角余弦值的绝对值相等：|cos|=|cos| 【设计意图设计意图】通过 PPT 幻灯片的展示，向学生分类展示了法向量与平面的位置关 系，让学生通过观察不同的法向量方向下，法向量成角与二面角之间的联系，并 | ,coscos 21 21 21 nn nn nn | ,coscos 21 21 21 nn nn nn 21,n n 21,n n 得到它们的关系式，突破难点。 3. 3. 例题解析例题解析 例例 1.1. 正方体 ABEF-DCEF中, M,N分别为 A
8、C,BF 的中点(如图),求二面角 A-MN-B 的余弦值. 师：请同学们思考：我们用向量法解决问题的步骤是什么？ 生：首先建立空间坐标系，写出点的坐标，再写出平面上两条相交直线所对应 的方向向量的坐标。 生：再找到或者利用待定系数法求出两个半平面上的法向量，求出法向量所成 的角。 师；很好，我们一起完成这道例题。 （师生合作，探究解题） 【例题解析例题解析 1 1】设正方体棱长为 1.以 B 为坐标原点，BA，BE，BC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 B-xyz， 则 A(1，0，0)，B(0，0，0) 建系设点 写出直线的方向向量 设平面 AMN 的法向量 n
9、n1 1(x，y，z)则： 令 x1，解得 y1，z1， 所以 n n1 1(1，1，1) 求出平面的法向量 同理可求得平面 BMN 的一个法向量 n n2 2(1，1，1) 所以 cosn1，n2= 求法向量夹角的余弦值 故所求两平面所成角的余弦值为 确定二面角的余弦值 【例题解析例题解析 2 2】通过观察图形可以找到平面 ANM 的一个法向量 n n1 1= =BFBF=（1,1，1） ， 再求得平面 BMN 的一个法向量 n n2 2(1，1，1)然后同解析 1，求出两平面所 111 1 AM (0) AN (0) 222 2 ， ， ， ， 1 1 AM0 AN0 ， ， n n 11
10、 xz0 22 11 xy0. 22 ， 12 12 11. 333 n n n n 1 . 3 成角的余弦值为 【阶段小结】 师：通过这道例题的共同学习，同学们能否总结出使用法向量法求二面角的 基本步骤呢？ 生：利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1）建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2）求出平面的法向量，进行向量运算求法向量的夹角的余弦值； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果。 【设计意图设计意图】通过例题展示与讲解，使学生理解用代数方法解决立体几何问题的 思想，并掌握用法向量法求二面角的基本方法与步骤，突出本节课的重点。 4 4. .变式变式拓展拓展训练训
11、练 变式变式 1.1. 正方体 ABEF-DCEF中, M 为 AC 的中点(如图), N 是对角线 BF 上一点， 当直线 MN 与平面 ABEF 所成的角为 45 。时，求二面角 A-MN-B 的余弦值. 学生自主完成此题，一名同学板演，教师巡视，指导，点拨，点评 变式变式 2.2. 正方体 ABEF-DCEF中, M 为 AC 的中点(如图),在对角线 BF 上是否存在 一点 N，使平二面角 A-MN-B 的余弦值为-1/3.? 若存在，确定点 D 的位置，若不存 在，说明理由。 学生自主完成此题，一名同学板演，教师巡视，指导，点拨，点评。 【设计意图设计意图】通过例题的两道变式练习，使
12、学生进一步熟悉掌握法向量法求二面 角的基本方法，同时能够灵活的解决一些与二面角有关的立体几何中的问题，提 高学生的运算能力，综合解决问题的能力。 5.5.课时小结课时小结，布置作业布置作业 1：通过本节课的学习，同学们有什么收获？(学生自主小结) 2：作业布置： （1）优化设计练习册第 87 页，第三章第二节练习 3。 （2）2018 年高考全国新课标 2 卷 理科第 20 题。 1 . 3 七板书设计 一、定义法： 二、方向向量法： 三、法向量法： 总结： 3.2 立体几何中的向量方法（3） 【例 1】 【变式 1】 【变式 2】 复习： 八、教学设计说明 求二面角是高中数学立体几何学习的一
13、个重点也是难点，同时也是高考中 的常考重点内容，学生在使用“定义法”求二面角时，主要采取“形到形”的综 合推理方法，这种方法没有一般规律可循，对学生的思维能力和运算能力都有很 高的要求，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 选修 2-1 中向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工 具。教师在教学中要让学生经历自主探究，发现规律的过程，体会向量法利用代 数方法解决立体几何问题的优点，降低了学习的难度，增强学生的学习兴趣，促 进能力发展，符合学生的认知规律；教师应及时补充启发，体现学生在学习中的 主体地位。 两道例题变式题的设置，既是对本节知识的强化，又是对学生能力的提升，
14、让学生可以灵活的用向量法解决一些与二面角有关的问题，层层递进。 针对不同程度的学生设置分层作业，不仅能帮助学生进一步掌握本节课知识， 同时让学有余力的同学进一步提高。 “向量法求二面角”一课的点评 张乃君 （黑龙江省大兴安岭地区教师进修学院） 本节课的内容是“向量法求二面角” ，选自人教 A 版普通高 中课程标准实验教科书选修 2-1第三章第二节。空间向量的引 入，为解决三维空间图形的位置关系与度量问题提供了一个十分 有效的工具，本节课的教学正是体现了这一点。执教教师通过 创设情境复习引入课题知识讲解与典例分析例题解 析变式拓展训练，这四个教学环节很好地完成了本节课的教 学目标。本节课执教教师
15、体现了以下几方面的教学特点： 1、帮助学生建构了利用空间向量解决立体几何的具体方法。通过 本节课这种程序化的方法的学习，可以帮助学生建构如何解决立 体几何中的问题，即综合方法、向量方法、坐标方法三种方法的 统一运用。 2、加强学生的自主与合作学习。执教教师舍得花时间让学生自主 讨论问题，这样有利于培养学生的思维能力，又有利于学生积累 研究问题的经验，形成研究问题的一般策略方法。 3、教师语言精炼，逻辑性强。从整个教学教程来看，教师的语言 精练精准，简明扼要，学生基本上掌握了教师用语用意。 4、教学课件与教学板书完美结合。数学的教育要让学生学会用数 学的语言表达现实世界。在具体的实例中，如何正确书写论证过 程也是教学的重点，教师在这方面很好的体现了板演的示范作用。
