1、 1 人教人教 A A 版版 2 2- -3 3- -1.2.11.2.1排列与排列数公式教学设计排列与排列数公式教学设计 内蒙古赤峰市赤峰第四中学内蒙古赤峰市赤峰第四中学 刘志浩刘志浩 13947693725 1 1、设计、设计理念：理念： 普通高中数学新课标提出的“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实 世界， 会用数学的语言表达现实世界”目标， 对教师的专业素养提出了新要求， 让教师重视“结 果+过程”的教育， 探索以生为本的数学教育 新的课程标准指出： 数学课程应面向全体学生， 促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识 这与建构主义教学观 相吻合本节课
2、正是基于这样的理念，通过创设丰富的问题情境，引导学生主动探究，强调 学生的主体性，使学生实现知识的建构，培养学生“用数学”的意识在教学中尽量多地让 学生亲身体验在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新 2 2、教学内容解析教学内容解析 本节课是人教版 A 版数学选修 2-3第一章第 2 节的第一节课，排列是一类特殊而重 要的计数问题， 教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务， 通过具体实例概括而得出 排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根 据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法， 就像乘法作为加法的简便运算一样； 二是注 意应用两个计
3、数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位， 理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前 提， 对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。 排列数公式的推导过程是分布计 数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律， 本节课只是对排列和排列数公式的初步认识， 在后面知识的学习 过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是理解排列的概念，能用列举法、树形图列出排列，从简单排列问题 的计数过程中体会排列数公式。教学难点是对排列要完成的“一件事”的理解；对“一定顺 序”的理解。排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采
4、取了由特殊到一般 的归纳思想来建构概念的理解过程， 通过引导学生分析三个典型事例， 从中归纳出共同特征， 再进一步概括出本质特征， 得出排列的定义， 再跟进 6 个具体事例多角度加深对概念的理解， 并多次强调一个排列的特点，n 个不同的元素，取出 m 个元素，元素的顺序，奠定学生对排 列定义的理解基础， 为后面组合概念的提出埋下伏笔。 同时通过有规律的展示分步计数原理 得到的一长串排列数， 为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫， 排列数公式的简单应用体 2 现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 3 3、教学目标设置教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念， 并能
5、运用排列的判断具体的的计数问题是 否为排列问题； 能利用分步计数原理推导排列数公式， 能简化分步计数原理解决问题的步骤。 在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。 学生学习后能够对排列或非排列问题 作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑 思维能力， 以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力， 体会排列知识在实 际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着 色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学
6、文化. 4.基于核心素养的数学教学， 一是要注意提高学生的思维力， 二是要激发学生主动思考， 三是要让学生自己厘清思路， 发现问题的本质， 找到恰当的解决途径基于数学核心素养理念， 理解数学本质；感悟数学基本思想，发展数学核心素养 4 4、学生学情分析学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思 考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如 设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛.与计数问题有关的经验，对数学中归纳化 归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立 将颜色、数字、
7、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协 作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 5 5、教学策略分析教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、 实际生活有机的融合， 让抽象的数学概 念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。 针对学生的认知水平， 本节课通过三个例子高度抽象概括出排列的定义， 为让学生充分 体验概念形成的过程，培养学生抽象概括的能力。 本节课排列定义的得出比较抽象， 需要引导学生逐一抽象概括寻找共同点， 教学过程采 取学生独立思考、相互讨论、老师以问题串引导的方式突破难点，紧接着通过大量例子加深 对概念的理解，对于概念理解不够深刻的同学也通
8、过同学的辨析对概念有了深刻的认识。 3 排列数符号的得出通过引导学生类比小学乘号的得来， 自然而然需要引入排列数符号简 化有规律的运算。 学生的认知水平决定了排列数公式的推导完全可由学生独立总结， 老师只需适当补充说 明， 公式的简单应用让学生在独立思考的过程中， 体会排列如何简化分步计数原理繁琐的步 骤，体现其优越性。 在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、归纳、思考、探 索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识、学会学习，发展能力。 6 6、课前准备、课前准备 由于本节课是概念课，文字信息量较普通的数学课要大得多，因此用软件自制课件，以 简化教师板书工作，增加课堂
9、教学的信息容量，保证学生的活动空间和思维空间，努力提高 单位教学效益 7 7、教学过程、教学过程 （一一）引入概念引入概念 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法， 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字 母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组 出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 唐代诗人刘禹锡的名句“沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春” ，表达了新事物必将代替 旧事物的意境。 那么对于这个前面已经利用分步计数原理解决的计数问题， 解题
10、步骤机械重 复，能否改进和简化？ 设计意图：开门见山给出学习本节课的目的，引起学生的思考，对于数学逻辑学习的兴 趣引起寻找新的方法，简化计数过程的需要。 为了解决这一类问题，进入今天研究的课题。 从生活中三个简单常见的计数问题出发，激发学生探究的兴趣。 问题一：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的赤峰市和通辽市上色，有多少种 不同的着色方案？ 问题二：从 1、2、3、4 这四个数字中，每次取出 3 个不同的数字排成一个三位数，一 共可以得到多少个不同的三位数？ 问题三：5 名同学站成一排照相，有多少种不同的排法？ 设计意图：启发学生联系计数原理，为理解排列概念奠定基础。第一个问题在地图上要
11、 4 用不同的颜色将赤峰市通辽市两地加以区分作为背景， 让学生了解颜色区分地图的背后， 蕴 涵了丰富的数学知识和文化，既为抽象概括排列定义，也为最后回到着色问题埋下伏笔。第 二个问题排数问题来自教材， 既为抽象概括排列定义， 也为后面探究中顺利加大排数问题的 难度作好的铺垫。第三个排队问题，排队照片为本班五名同学，激发学生对问题本身感兴趣 的同时， 能深入挖掘问题的本质属性， 也为后面全排列概念的顺理成章的得出及课后探究中 有条件的排队作好铺垫！ 【教师提问 1】 ：问题中要完成的“一件事”是什么？你能利用前面所学计数原理的知 识解决问题吗？ 【学生探究 1】 ：巩固复习分步计数原理（可借助框
12、图直观表示） ，同时会用列举法或树 形图把结果一一列出。学生讨论、回答。 【教师提问 2】 ：这三个问题有哪些共同特征？这三个问题有无不同点？ 【学生探究 2】 ：引导学生得出都是分步计数问题，运算有规律，都是从若干个不同元 素选出元素，选出的对象都要排序，顺序不同方案不同。 【教师补充】 ：一般地，可以把被取对象称为元素（引导学生用“元素” “排列”等词叙 述问题） 设计意图：对难点的突破，引导学生从三个问题的事情本身出发，将颜色、数字、同学 抽象为元素，元素顺序不同结果就不一样。让学生列出所有选法，引导学生使用树形图列举 结果，并进一步以说明用分步计数原理得出的结论的正确性，可靠性。 （二
13、二）探究归纳，形成概念）探究归纳，形成概念 排列排列：从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 （Arrangement） ， 这样的所有排列的个数叫排列数。排列数。 【学生探究 3】 ：学生探究得出全排列、选排列的定义。 【教师提问【教师提问 3 3】 ：你能归纳一下排列的特征吗？】 ：你能归纳一下排列的特征吗？ 【学生探究 4】思考后，讨论，发言。 设计意图： 引导学生对排列定义的再理解，让学生归纳出值得注意的关键词： （1）n 个不同的元素； （2）取出 m（mn）个元素 ；(3)一定的顺序。 （三）概念辨析，
14、引出排列数符号（三）概念辨析，引出排列数符号 苏轼在题西林壁中写道： “横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目， 只缘身在此山中” 。说的是：要看清事物的本质，就必须多角度观察和思考。那就让我们一 起对排列概念做进一步的理解。 5 判定下面问题哪些是排列问题，如果是排列数是多少？ （1） 2、3、5、7、11 这 5 个质数任选两个相乘； （2） 2、3、5、7、11 这 5 个质数任选两个相除； （3） 从 0-9 这 9 个数字中，任选 4 个不同的数字（可重复）作为手机的密码； （4） 从 8 名同学中选 4 人参加 4100 米接力赛； （5） 圆上 10 个不同点，过每 2
15、个点，画一条弦； (6) 27 位同学随机选 8 位派往 8 个不同的地方参加活动，每个地方派一人. 学生争论辨析判定后再追问， 其中的排列问题各有多少个不同的排列？类比问题一、 二、 三用分步计数原理解决问题，分别得到： 2021222324252627567845， 【学生探究 4】思考后，讨论，发言。 【教师提问【教师提问 4 4】 ：满足什么条件的两个排列才相同？你能举例说明吗？】 ：满足什么条件的两个排列才相同？你能举例说明吗？ 设计意图：辨析排列概念，引导学生举例说明，只有元素及顺序都相同的两个排列才相 同，元素相同但顺序不同的两个排列是不同的两个排列。 【学生探究 5】思考后，讨
16、论，发言。 【教师提问 5】 ：结合前面的几个问题，这些排列数有哪些共同特征？ 【学生探究 6】 ：学生找出规律的同时，指出书写繁琐的共同点，给出排列数的定义。 排列数的定义：排列数的定义： 从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取 出m元素的排列数，用符号 m n A表示 奎屯 王新敞 新疆 类比数学中的求和符号， 自然引入数学符号 m n A， 对比运算符号 m n A更简洁， 犹如 “忽 如一夜春风来，千树万树梨花开”的感觉。从而体现了数学符合的简洁美，随之简单介绍排 列数符号的发明者法国数学家范德蒙德，体现数学丰厚的文化背景。 教师补充：注意区别排列和排
17、列数的不同： “一个排列”是指：从n个不同元素中，任 取m个元素按照一定的顺序 排成一列，是排列问题中的一种具体情况，它不是一个数； “排 列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数 奎屯 王新敞 新疆所 以符号 m n A只表示排列数，而不表示具体的排列 奎屯 王新敞 新疆 （四四）揭示规律，导出公式）揭示规律，导出公式 【教师提问 6】 ： 3 4 2 3 AA 、 4 8 A、 32 nn AA 、表示什么？等于多少， 继续追问更为一般的 m n A 表示什么？等于多少？ 6 【学生探究 7】 ：学生独立思考分析解决并展示。 ,() 1()2)(1( *
18、NnmmnnnnAm n ，且)nm . 引导学生对公式的理解： （1）从 n 开始依次递减连续 m 个正整数的积； （2）m、n 都是正整数且nm ； （3）符号 m n A既表示一个结果，又表示一种运算。 这样，一个问题若是排列问题，就可用上式求出具体的排列个数。 （简化了运算过程） 说明特殊情况123)2)(1( nnnAn n 。 （即全排列） 简单记为！n，读作 n 的阶乘，强调这个符号更为简洁的同时，顺提阶乘符号的发明者 法国数学家基斯顿.卡曼。 （五五）公式应用，突出优越性）公式应用，突出优越性 “欲穷千里目，更上一层楼” ，接下来我们进行学以致用环节。 探究二： 从 0-9 这
19、 10 个数字中，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 学生结合所学知识多角度对问题进行思考， 对比分步计数原理的解题方法， 突现排列优 化步骤的特点，并进一步跟进对引例步骤的优化： 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法， 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字 母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组 出现，字母在前，数字在后，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 学生独立思考并完成优化 6 个步骤简化为 2 个步骤，再次让学生体会排列的优越性。 （六六）强
20、化公式，跟进新公式）强化公式，跟进新公式 学生计算排列数（1）. 4 7 432 3 7 5 5 8 8 3 8 ！ ！ ）；（）（；）；（A A A A 【教师提问 7】 ：学生给出答案后问，有何数学发现？ 【学生探究 8】 ：猜测出一般的结论 ！ ！ )(mn n Am n , 根据课堂时间让学生尝试证明，让学生展示并点评，否则作为课后作业，顺便说明公式 中如果nm时， ！ ！ 0 n An n ，! nAn n ,故规定10 ！. 7 （七七）小结）小结 1.本节课我们学到了哪些基本概念和公式？ 2.研究过程中体会了哪些数学思想和方法？ 3.通过本节课的学习有哪些收获和困惑？ （八）板书
21、设计（八）板书设计 排列与排列数公式教学点评排列与排列数公式教学点评 本节课为概念课，要求学生能从一些特殊实例中发现规律、抽象出数学概念，同时能对 所学新知加以应用。具有一定的执教难度。 执教教师以三个生活实例的解决与提炼，让学生全程参与并体会了新概念“排列”的发 生发展过程。 为使问题解决中的表达与运算简洁， 探究 “排列数” 的计算规律及性质， 以 “能 力提升” 、 “小结” 、等环节检测回馈了学生对新知的掌握情况，教学效果好。整体来看，突 出体现了以下几个亮点： 1课堂目标明确，环节清晰流畅。 将排列概念的发现及抽象凝练作为教学的重难点，放手让学生去发现规律，形成概念， 渗透从特殊到一
22、般的数学思想， 看得出执教者在概念课教学中的勇气与胆魄。 重要的是通过 本节课的教与学， 使学生从探索发现体会的过程中， 达到培养学生必须的数学能力， 并从中感受数学，提高学生应用数学知识的意识。 2突出“以人为本”理念，体现学生课堂主体作用。 以学生认知特点及水平为出发点，关注学生活动。学生整节课思维活跃，活动充分，在 不断的思维碰撞中习得新知。 3文化育人、生活教育特色鲜明。 将数学知识、数学文化和现实生活有机融合，避免了数学概念抽象过程的枯燥，同时拓 宽了学生视野。 排列数符号和阶乘符号以介绍数学家的形式自然引入， 避免了学生对数学符 号抽象晦涩的认识，吸引学生了解数学历史，关注数学的产
23、生与发展。从生活中的问题引入 到生活中问题的解决，体现了数学来源于生活而又服务于生活，凸现数学应用价值。 4在培养学生数学核心素养中做出了一些尝试。 排列概念中三个问题的类比及对比、 抽象， 在激发学生思维的同时， 培养学生数学抽象、 数学建模核心素养；排列数公式的推证，培养学生直观想象、数学运算核心素养。在教学过 程的设计中，把握教学目标，正确处理基础和发展的关系，让每个学生都会用自身的情感体 验和主动参与学习数学；从学生实际出发，教学设计符合认知规律，注重学生自行获取数学 知识的方法，促使学生主动参与数学实践， 注重学生的个性的发展，培养学生的创造能力。 课堂气氛民主和谐， 学生意见表达充分， 小结中学生表达的困惑更体现学生对所学内容 的深入思考。 排列与排列数 (1)定义：排列排列：从 n 个不同元素中取出 m（mn） 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列，这样的所有排 列的个数叫排列数排列数，用符号 m n A表示 奎屯 王新敞 新疆 例题 小结 8 教学就是不完美的艺术，课堂中还存在以下不足： 1学生略显拘谨，教师对学生的鼓励表扬不够。 2老师语言不够简练， ，如学生在回答两个排列是不是同一个排列的举例问题上，设问 意图指向及追问待进一步提高。
