1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程( (第第 1 1 课时课时) ) 广东省佛山市南海区石门中学 张XX 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 内容：椭圆的定义及其标准方程的推导 内容解析： 本节是高中数学人教 A 版选修 21 第二章第 2 节 椭圆 第 1 课时内容 在 此之前学习了曲线与方程以及圆的方程， 初步具备了解析几何的思想和用坐标法研究曲线问 题的经验另外，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，是本节和本章的 重点内容故本节课的学习有着示范性的作用教学中应当引起充分重视 椭圆的定义，较为抽象，用细绳画椭圆的方法将椭圆定义具体化这对学生提出了较高 的思维能力要求， 这也是
2、新课程标准中的数学核心素养要求之一 教学中应当引起充分重视 二、目标和目标解析二、目标和目标解析 目标： （1）用细绳画椭圆的方法将椭圆的定义具体化，加强对椭圆定义与图形的理解，在这 过程中培养学生的思维能力 （2）在椭圆方程的推导过程中，会根据椭圆的图形特征，选择合理建系方法，理解椭 圆标准方程之“标准”所在；会根据式子的结构特征，选择合适的化简方法，提高运算能力 （3）理解椭圆标准方程的特征及参数a，b，c的几何意义，能根据条件利用椭圆定 义法或方程的待定系数法，求出椭圆的标准方程 目标解析： （1）对椭圆的认识，先从直观感受再到理性认识，这与历史上对椭圆的研究历程是一 致的 但椭圆的定义
3、是发生式定义， 较为抽象， 故借助细绳画椭圆的方法可以将定义具体化， 所画图像确实与印象中的椭圆是一致的 细绳画椭圆的方法既有利于对椭圆定义的理解， 还 有助于对椭圆对称性的理解与分析，在这过程中培养学生的思维能力 （2）通过类比圆方程最简洁形式时，圆与坐标系的对称关系，可以找到怎样根据椭圆 的图形特征建立坐标系，使得椭圆方程更简洁，并能找到各参数对应的几何意义，从而也就 能更好地说明椭圆标准方程之“标准”所在另外，在化简过程中，到底是直接两边平方还是 移项后再平方，可以通过分析得到初步判断，移项后两边平方只剩下一个根号和一次式，形 式更简单但直接两边平方，利用式子对称的结构特征进行运算的话，
4、其实也不难所以可 以借此机会与学生强调，化简方程时利用式子的结构特征可以简化运算，提高运算能力提 升方程化简能力是提高数学运算能力的落脚点，这也是数学核心素养要求之一 （3）椭圆标准方程时建立在特定坐标系下的对应方程，此时参数a，b，c都有对应 的几何意义那么反过来，利用参数的几何意义及椭圆的定义，就可以快速地求出椭圆的标 准方程也可以利用方程的思想，采用待定系数法求出椭圆的标准方程 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 1教学问题一：怎样将生活中对椭圆的认识与椭圆的定义联系起来，这是本节课的第 一个教学问题这不仅是本节课的重点，也是教学难点解决方案：从历史角度看，对椭圆 的认识，先是借圆
5、柱圆锥的斜截面边缘来定义，再上升到从点运动的轨迹来重新定义但椭 圆的定义是发生式定义，较为抽象，借助细绳画椭圆的方法可以将定义具体化，所画图像确 实与印象中的椭圆是一致的，从而将生活中对椭圆的认识与椭圆定义联系起来 2教学问题二：如何建立坐标系并理解椭圆标准方程之“标准”的意义，是第二个教学 问题 其实任何一种建系方法都是可以求出对应的椭圆方程， 但不同建系方法求得的方程复 杂程度不同 怎么建立坐标系才能使得方程更简洁？解决方案： 可以类比圆方程最简洁的形 式所对应的坐标系圆心在原点， 圆关于x轴、y轴、 原点对称 根据细绳画椭圆的过程， 可以得到椭圆关于两定点 12 FF所在直线对称，关于线
6、段 12 FF的中垂线对称，且两对称轴的 交点是椭圆对称中心，从而确定了坐标系的建立方法且经过换元，方程形式最简洁，还能 找到参数a，b，c的几何意义，这就是标准之所在 3教学问题三：如何化简方程 22 22 2xcyxcya，是第三个教学问 题学生目前化简方程能力是比较弱的，对于含根号的式子进行化简，常用两边平方法到 底是直接两边平方还是移项后两边平方更简便？解决方案：师生共同分析式子的结构特征， 先选用移项后两边平方法进行化简，学生尝试化简，教师板书化简过程；然后教师再利用式 子的结构特征进行直接两边平方进行化简， 让学生感悟到利用好式子对称的结构特征， 其实 直接两边平方也可以快速化简的
7、，还能提高学生的化简方程的能力 四、教学策略分析四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的思 考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点 在教学过程中，重视椭圆定义的理解，让学生体会到对椭圆的直观认识上升到理性认 识，从直观几何到解析几何的变化经历从形到数，再从数到形的过程，理解数形结合是解 析几何的重要思想同时，方程化简是提高数学运算能力的落脚点因此，本节课的教学是 实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试 基于上述分析，本节课的教学重点教学重点定为：理
8、解椭圆的定义，推导椭圆的标准方程 教学难点教学难点：理解椭圆的定义及如何化简椭圆方程 教学准备教学准备：教师为每个小组准备一张白色卡纸，一条细绳；学生自备铅笔 教学流程教学流程： 五、教学过程与设计五、教学过程与设计 教教 学学 环环 节节 问题或任务问题或任务 师生活动师生活动 设计意图设计意图 情情 境境 引引 入入 认认 识识 椭椭 圆圆 【问题 1】运动场跑道是不是 椭圆形？鸡蛋是不是椭圆形？ 【问题2】 椭圆的定义是什么？ 教师 1：上至天文，地球的运 行轨道是椭圆，探月卫星在飞向 月球之前经历了多次椭圆轨道的 飞行下至百姓家庭，茶几的桌 面可能是椭圆形的，菜碟也可能 是椭圆形的提出
9、问题 1 学生 1：思考问题 1 教师 2：提出问题 2 学生 2：思考问题 2 教师 3：历史上，人们最初对 椭圆的认识，是从圆柱和圆锥开 始的用一个平面斜截一个圆柱 或圆锥，所得平面的边缘称为椭 圆从这个认识来看，跑道是椭 圆吗？鸡蛋是椭圆吗？ 学生 3：都不是 教师 4： 一个茶杯装了一定体 积的水，稍微倾斜所得水平面的 边缘是椭圆吗？为什么？ 学生 4：是椭圆，可以把水平 面看成是平面斜截圆柱所得的截 面，则水平面边缘是椭圆 教师 5：根据椭圆的这个认 识，能判断地球运行的轨道是椭 圆吗？ 学生 5： 学生思考， 无法判断 创设情 境将对椭圆 的感性认识 上升为理性 认识，从直 观几何
10、转化 为 解 析 几 何 创设情境，深入思考 定义椭圆，实验探究 建系化简，推导方程 类比推理，分类讨论 例题研讨， 学以致用 归纳总结，明晰重点 教师 6：人们发现，椭圆不仅 存在于圆柱、圆锥面上，更是自 然界物体运动的普遍形式，所以 可以从运动的角度重新定义椭 圆 定定 义义 椭椭 圆圆 实实 验验 探探 究究 【实验探究】取一条定长的细 绳，若把细绳两端拉开一段距离， 分别固定在图板的两点处，套上铅 笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的 轨迹是什么曲线？ 【问题 3】结合所画图像，观 察椭圆两定点的距离与椭圆的圆扁 程度有什么关系？并思考，若把绳 子的两端拉直，则所画图像会是什 么？ 【问题
11、4】应该如何完善刚才 对椭圆的定义？ 教师 7：给出椭圆定义：平面 内与两定点 1 F、 2 F的距离的和等 于常数的点的轨迹叫做椭圆下 面，我们利用实验将椭圆定义具 体化提出实验探究活动 学生 6： 完成实验探究并展示 成果所画图像为椭圆 教师 8：成果分析，提出问题 3 学生 7： 学生思考问题 3 并回 答，两定点的距离越大，椭圆越 扁；把绳子两端拉直，则所画图 像是线段 教师 9：多媒体动画展示并 分析线段上每一点到两端点的距 离之和也是定值，则提出问题 4 学生 8： 思考问题 4 并完善定 义，常数应大于 12 FF 教师 10：强调椭圆定义的关 键要素（两定点、距离和、常数 大于
12、 12 FF）及介绍椭圆的焦点、 焦距 让学生 通过探究活 动，更好地 理解椭圆的 定义，体会 画椭圆的方 法及定义中 的 关 键 要 素 合合 理理 建建 系系 推推 导导 方方 程程 【问题 5】如何建立坐标系更 好？使得方程更简洁 【问题 6】圆方程最简洁形式 是什么？此时圆与坐标系的关系是 什么？ 【问题 7】从椭圆的画法中， 你能发现椭圆有哪些对称性？ 【问题8】 如何化简以下式子？ 22 22 2xcyxcya 方法一：移项两边平方法 方法二：直接两边平方法 【问题 9】观察下图，你能找 到表示a，c 22 ac的线段吗？ 教师 11：上一节课，我们学 习了求曲线方程的步骤，有哪些
13、 呢？ 学生 9：建系、设点、列式、 化简、证明，五个步骤 教师 12：提出问题 5 学生 10：思考问题 5 教师 13：我们可以类比一下 圆方程与坐标系的关系提出问 题 6 学生 11：思考并回答问题 6， 圆心在原点时，圆方程最简洁， 此时圆关于x轴、y轴、 原点对称 教师 14：提出问题 7 学生 12：思考问题 7，师生 共同进行图像分析并得出结论： 椭圆关于两定点 12 FF所在直线对 称，关于线段 12 FF的中垂线对称， 且两对称轴交点是椭圆对称中 心 教师 15：以两对称轴为坐标 轴建立坐标系，设点，列式，并 类比圆 方程最简形 式与坐标系 的关系，根 据椭圆的对 称性选择最
14、 佳建系方法 推导椭圆的 方程，进而 更好地理解 标准方程之 “标准”所 在在推导 方 程 过 程 中，利用两 种常用的平 方法，引导 学生在化简 时要注意分 析式子的结 构特征，选 择对应的化 简方法，提 提出问题 8 学生 13：尝试化简 教师 16：师生共同利用两种 方法化简至： 22 222 1 xy aac 教师 17：提出问题 9 学生 14：学生思考 教师 18：令 22 bac，则 （1）式可化为： 22 22 1 xy ab （0ab） （2） 教师 19：从上述过程可以看 到，椭圆上任一点的坐标都满足 方程（2） ；以方程（2）的解为坐 标的点到椭圆的两个焦点的距离 之和为
15、2a，即以方程（2）的解为 坐标的点都在椭圆上则（2）为 椭圆的方程 教师 20：谈对“标准”的理 解：方程 22 22 1 xy ab （0ab） 形式最简洁，字母a，b都有几何 意义 教师 21： 22 22 1 xy ab （0ab）的特征有哪些？ 学生 15：思考并回答上述问 题 高 运 算 能 力 类类 比比 推推 理理 分分 类类 讨讨 论论 【问题 10】 如果焦点在y轴上， 原点为两焦点的中点，则椭圆方程 是什么？ 【问题 11】观察两种标准方程 的式子，如何判断焦点所在轴？ 教师 21：提出问题 10 学生 16：利用类比的方法， 得到方程： 22 22 1 yx ab （0
16、ab） 教师 22：提出问题 11 学生 17：哪个分母大，焦点 就在哪个坐标轴上 总结方 程特征，明 确方程与焦 点的对应关 系 例例 题题 研研 讨讨 学学 以以 致致 用用 例 1：已知椭圆的两个焦点坐 标分别是2,0，2,0，并且经 过点 53 , 22 ，求它的标准方程 教师 23：布置课堂例题 1 学生 18：完成课堂例题 1 方法一：定义法 方法二：方程组法 教师 24：讲解例题 1 检验学 生对椭圆标 准方程的理 解与应用 归归 纳纳 小小 结结 明明 晰晰 重重 点点 1椭圆的定义，焦点、焦距的 概念； 2椭圆的两种标准方程： 22 22 1 xy ab （0ab） 22 2
17、2 1 yx ab （0ab） 师生共同完成 总结学 习要点 课课 后后 练练 习习 巩巩 固固 提提 升升 1课本 P49A 组第 1 题，第 2 题 2课后思考题：对椭圆方程推 导过程的式子进行适当变形后，所 得式子商为定值或积为定值，你能 说出所得式子的几何意义吗？对应 的曲线又是什么呢？ （1） 2 2 xcy 2 2 2xcya； （2）由 2 acx 2 2 axcy得 2 2 2 xcy c aa x c ； （3）由 22 222 1 xy aac 得 2222 2222 1 yxax acaa 得 2 2 1 yyc xa xaa 学生课后进行思考，并完成课后 练习 检验是否掌 握椭圆标准 方程；作业 2 为了提升 学生对解析 几何的认识 借用坐 标法，既可 以利用几何 特征将几何 对 象 代 数 化，又可以 利用方程式 的几何意义 将方程几何 化，使形与 数对应统一 起来同时 也为下一节 课的学习做 好铺垫
