1、1 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 第一单元第一单元 导数的概念及其意义导数的概念及其意义 单元分讲单元分讲 2 2：导数的概念及其几何意义：导数的概念及其几何意义 （人民教育出版社（人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 A 版版 选修选修 2 2- -2 2） 教教 学学 设设 计计 授课教师授课教师：天津市耀华中学：天津市耀华中学 马马 XX 20182018 年年 1 10 0 月月 第九届第九届全国高中青年数学教师全国高中青年数学教师 优秀课展示与培训活动优秀课展示与培训活动 2 一一. .教学内容解析教学内容解析 （一）内容结构图（一）内容结构
2、图 1.1.章章内容结构图内容结构图 2.2.单元内容结构图单元内容结构图 （二）教学内容解析（二）教学内容解析 1.1.本章本章内容解析内容解析 本章内容导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问 题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微 积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接 相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的 加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最
3、大值与最小值；四是求长度、 面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了 函数的局部变化， 是研究函数增减、 变化快慢、 最大 （小） 值等性质的基本方法.因而也是解决诸如增长率、 膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 第一章 导数及其应用 第一单元 导数的概念 及其意义 第二单元 导数的 计算 第三单元 导数在研 究函数中 的应用 第六单元 微积分 基本定理 第五单元 定积分的 概念 第四单元 生活中的 优化问题 举例 第七单元 定积分的 简单应用 第一单元 导数的概念及其意义 （共 4 课时） 分讲 1（2 课时
4、） 章引言与 两个变化率问题 分讲 2（1 课时） 导数的概念及 其几何意义 分讲 3（1 课时） 导数的应用及 导函数 3 2.2.本单元内容解析本单元内容解析 在本单元导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实 例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受 “以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法. 通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 本单元设计了三个分讲，共计 4 课时，分别是章引言与两个变化率问题（2 课时） ，导数的
5、概念及其几 何意义（1 课时） ，导数的应用及导函数（1 课时）. 3 3. . 课时内容解析课时内容解析 本课时内容选自人教社 A 版选修 2-2第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单 元分讲 2导数的概念及其几何意义，用时 1 课时. 本课时内容是在学生已经学习了分讲 1章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均 速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从 “数” 的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从 “形” 的角度， 类比分讲 1 中曲线 2 ( )f xx在点(0,0) 处的切线的斜率就是函数 2 ( )
6、f xx在0 x处的导数的几何意义，抽象生成一般曲线( )yf x在 0 xx处 的导数的几何意义. 通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成. 由质疑“切线的原始定义”为出发点，类比分讲 1 中曲线 2 ( )f xx在点(0,0)处的切线定义，抽象生成一 般曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线定义. 体会微积分的重要思想用运动变化的观点解决问题. 课时中的两个生活实例，意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题，用导数的几何意义 解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼 光
7、观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升数 学抽象和直观想象的数学核心素养. 基于以上分析，确定本课时的教学重点：抽象生成导数的概念，直观感受导数的几何意义，体会“以 直代曲”的极限思想. 二二. .教学目标设置教学目标设置 （一）（一）本章本章教学教学目标目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关 于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想， 体会极限思想.通过函数图像直观理解导数的几何意义， 体会“以直代曲”的极限思想. 4 2.能根据导数定义求函数 23 1 ,yc yx yxyxy
8、yx x 的导数.能利用给出的基本初等函 数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如()f axb）的 导数. 3.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多 项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最 大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 4.知道微积分创立过程，以及微积分对数学发展的作用.提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建 模和逻辑推理的
9、核心素养. （二）（二）本单元教学目标本单元教学目标 1.了解微积分的创立背景，感受引入导数的必要性.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数 的本质就是瞬时变化率，体会极限思想.经历由形到数的关系，理解导数的几何意义，体会“以直代曲”的 思想，理解函数的单调性与导数的关系. 2.经历抽象概括不同领域变化率问题的数学共性，体会微积分的重要思想用运动变化的观点解决 问题.经历探究具体实例和知识的形成过程，感受导数在研究函数和解决问题中的作用，体会导数的意义. 3.经历提出问题分析问题解决问题的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法的 一般性和有效性.发展学生观察、类比、概括的数学能力
10、,提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学 核心素养. 4.经历从实际情境抽象出数学概念，培养学生敢于质疑、勇于探索的学习习惯，激发学生的学习兴趣 与求知欲，让学生感受数学源于生活，用于生活.引导学生会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世 界，用数学的语言表达世界，让学生体验成功，提高课堂参与度与成就感. （三三）课时课时教学教学目标目标 1.经历解决生活中不同领域的瞬时变化率问题，通过探究它们的数学共性，抽象生成导数的概念及其 数学表达.通过类比探究，抽象概括导数的几何意义，生成一般曲线在某一点处的切线的定义.应用信息技 术，直观感受“以直代曲”的极限思想.体会微积分的重要思想用运动变
11、化的观点解决问题. 2.理解导数的概念，明确求导数的基本方法，能够运用导数的概念和几何意义解决生活中与瞬时变化 率有关的问题. 3.经历导数概念的形成和几何意义的探究，经历“数”与“形”相辅相成的过程，体会从特殊到一般、 从具体到抽象在解决数学问题中的一般性和有效性.发展学生观察、类比、概括的数学能力,提升学生数学 5 抽象、直观想象、逻辑推理的数学核心素养. 4.经历从实际情境抽象出数学概念，激发学生的学习兴趣与求知欲，让学生感受数学源于生活，用于 生活.引导学生会用数学的眼光观察世界， 用数学的思维思考世界， 用数学的语言表达世界.应用自主探究、 合作交流的学习模式，培养学生敢于质疑、勇于
12、探索的学习习惯，在学习过程中提升发现问题、分析问题、 解决问题的能力.让学生体验成功，提高课堂参与度与成就感. 三三. .学生学情分析学生学情分析 1 1. .已具备的认知基础已具备的认知基础 本课时的教学对象是天津市耀华中学的学生.耀华中学是天津市的直属重点中学，学生具有良好的知识 储备和较强的学习能力. 在物理中学生已经学习了平均速度和瞬时速度等概念，并会计算平均速度.在数学中学生对函数已经有 了系统的学习与认知，理解函数是刻画客观世界两个变量相互关系的重要模型，可以通过列表、图像、解 析式三种方式表示、研究函数.学生已经学习了与直线斜率和直线方程相关的知识. 学生具备一定的探究意识和团队
13、合作意识，有较好的语言表达能力，积累了一定的数学活动经验，能 够运用图形计算器及几何画板等数学工具，具有一定的动手实践能力. 2 2. .可能存在的认知困难可能存在的认知困难 导数的概念是由物理中的瞬时速度和几何中的切线斜率以及学生搜集的有关变化率问题中的数学共性 抽象生成，其本质就是瞬时变化率，是应用了重要的极限.而“极限”的概念学生尚未学习.因此，抽象生 成导数的概念是学生可能存在的认知困难之一. 在研究导数的几何意义与一般曲线在某一点处的切线定义时，要引导学生通过类比上一分讲中特殊的 函数和特殊的曲线的探究方式，进行抽象概括.需要运用微积分中的重要思想运动变化的观点解决问题. 这是突破了
14、学生的“惯性思维”.因此，探究导数的几何意义与一般曲线的切线定义是本节课的难点之二. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：用运动变化的观点解决问题和对导数的概念及其几何意义 的探究. 突破难点的关键：问题链引导与应用信息技术辅助教学. 四四. .教学策略分析教学策略分析 1 1. .教法分析教法分析 结合本课时的内容特点和学情分析，采用 PBL（Problem-based Learning）的教学模式，即：基于问题 链的教学模式.本课时以提升学生的数学抽象与直观想象的核心素养为根本出发点，以抽象生成导数的概念 和直观感受导数的几何意义为明线，以感受 “用运动变化的观点研究问题” 、感受“以直
15、代曲”的极限思 想、体会“类比概括” 、 “数形结合”的研究方法为暗线，以用导数的概念解释“原油温度的瞬时变化率” 6 和用导数的几何意义研究“高台跳水运动员的瞬时变化率”作为课堂反馈，以完成课堂目标检测与阅 读割圆术的著作作为课堂的延伸和拓展，充分体现数学发展过程中的新旧知识的结合，理论与实际的 结合，为学生指引学习的方向，使课堂摆脱知识的束缚，成为学生学习能力成长的发源地. 为了引导学生理解导数的本质就是瞬时变化率，教师遵循“观察归纳抽象概括”四个层 次.为了引导学生理解导数的几何意义就是切线的斜率，教师遵循“类比探究归纳”三个层次.本 课时教师将内容设计成“温故知新，建构导数概念学以致用
16、，解决典型问题自主探究，获得几何 意义小结提升，布置分层作业”四个环节. 2.2.学法分析学法分析 学生采取小组合作探究的学习模式.在课堂教学中鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过小组合作、交流 分享，突破难点，提升学生的合作探究意识，提高分析问题、解决问题的能力. 在课堂教学中始终以学生为核心，教师组织、适时引导，有效地提升学生的课堂参与度，使学生在开 放的活动中获取直接的数学经验.学生经历思考、观察、分析、实践、归纳的认知过程，深刻体会知识的形 成过程，提升知识迁移、解决问题的能力. 3 3. .教学支持条件教学支持条件 本节课通过 PPT 演示的方式为学生导入情境.在课堂教学中，教师为学生精
17、心设计了导学案，提升学生 的学习效率， 直观呈现出本节课的重点和知识的形成过程. 教师应用几何画板动态演示 “逼近” 与 “放大” ， 巧妙突破难点.教师使用“希沃授课助手”同屏软件，实时地展示学生的探究过程和结果，充分发挥生生互 评、师生互评的评价效能，引发学生更加深入的思考，加深对新知的理解与应用. 课堂中，学生每人手持手机或 ipad，用几何画板软件探究导数的几何意义，激发求知欲和学习兴趣的 同时，大大提高了探究效率，增强动手实践能力，积累数学活动经验，直观感受知识的形成过程. 五五. .教学过程教学过程设计设计 本节课设计了四个教学环节，逐步达成教学目标，完成教学任务. 1 1. .温
18、故知新，建构温故知新，建构导数导数概念概念 教师引言教师引言（1 1） ：上周开始，我们进入了一个新单元的学习导数及其意义.上两节课我们学习了章引 言，并探究了两个变化率问题.这节课让我们接续探究导数的概念及其几何意义. 【师生活动】教师板书，如下： 温故知新 建构导数概念 学以致用 解决典型问题 小结提升 布置分层作业 自主探究 获得几何意义 1.1.2 导数的概念及其几何意义 7 教师引言（教师引言（2 2） ：） ：让我们首先重温上节课的两个情境.情境 1高台跳水问题，涉及物理学中的平均速 度和瞬时速度，情境 2抛物线的切线问题，涉及到几何学中的割线斜率和切线斜率.上节课，老师布置 了课
19、前作业，请同学们以学习小组为单位，每个小组写出一个与“变化率”有关的实例，写出具体问题与 解答过程.请三个小组的同学进行分享. 【师生活动】教师用 PPT 展示情境.如下： 课前，教师收上七个小组的“变化率”实例，筛选出“非同质性”的实例有三个，请这三个小组的代 表进行分享.教师提前将小组作业拍照，用 PPT 播放如下，学生解说. 8 【设计意图】让学生搜集“变化率”实例，写出完整的解答过程，能够较好地反馈学生对上一单元分 讲中平均变化率和瞬时变化率的掌握与理解.学生课前搜集，教师提前筛选，提高课堂效率的同时，使得实 例涉及不同领域，对数学共性的说明更具说服力，为引出导数概念做好充分铺垫. 探
20、究探究 1 1：虽然上面的五个实例涉及不同领域，但从数学的角度思考上述五个实例，在“过程与方法” 、 “结果的形式”上有哪些共性？ 【师生活动】教师要着重引导学生从“数学的角度”观察问题的一致性，从“过程与方法”和“结果 的形式”进行归纳小结.学生小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听学生交流.教师请小组代表分 享交流，其他组进行补充.教师用 PPT 展示“数学共性” ，如下： 【设计意图】培养学生的观察、概括能力.让学生体会微积分的重要思想用运动变化的观点研究问 题.体会极限思想.感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法.关注结果形式的一致性都是 一个确定的数值.引导学生用数学的
21、眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界. 问题（问题（1 1） ：） ：如果研究更一般的问题，对于函数( )yf x在 0 xx处的瞬时变化率如何表示？ 【师生活动】教师提问，学生回答. 教师要关注学生的数学表达，让学生感受从具体到一般的抽象过程 和研究方法. 教师板书，如下： 【设计意图】让学生深刻体会概念的建构过程. 教师引言（教师引言（3 3） ：） ：其实函数( )yf x在 0 xx处的瞬时变化率就称为函数( )yf x在 0 xx处的导数， 这就是导数的概念. 【师生活动】教师板书，如下： 对于函数( )yf x在 0 xx处的瞬时变化率为： 00 ()( ) l
22、imlim xx yf xxf x xx 9 问题（问题（2 2） ：） ：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在2t 时的瞬时速度 (2)v？如何用导数表示抛物线 2 ( )f xx在点(0,0)P处的切线的斜率k？它们的意义是什么？ 【师生活动】 教师要注意引导学生用导数的表达形式 0 ()fx来表示(2)v和k.用导数的本质瞬时变 化率解释两个情境的意义.教师用 PPT 展示问题与答案（如下）.学生独立思考、回答问题. 【设计意图】理解导数的概念，体会导数的本质就是瞬时变化率. 问题（问题（4） ：） ： 问题（问题（4 4） ：） ：同样，抛物线 2 yx在点
23、P(1,1)处的切斜斜率是谁的导数？它的意义是什么？ 【设计意图】让学生理解导数的概念，体会导数的本质就是瞬时变化率. 2. 学以致用，学以致用，解决典型问题解决典型问题 教师引言教师引言（4） ：） ：下面，让我们学以致用，来解决一道数学问题. 例例 1.1. 设 2 ( )f x x ，求 ( 1) f. 问题（问题（3 3） ：） ：请问 ( 1) f表示什么？ 追问追问：如何用导数的定义求 ( 1) f？ 【师生活动】教师要引导学生关注导数的符号表达,引导学生用导数的定义解决问题，体会导数的求解 步骤.教师提问，学生独立思考、作答在学案上，教师巡视，请学生回答，并板书，如下： 1. 导
24、数的概念 对于函数( )yf x在 0 xx处的瞬时变化率为： 0 0 00 ()( ) () limlim x x xx yf xxf x fxy xx 叫函数( )yf x在 0 xx处的导数. 10 【设计意图】 让学生学以致用， 加深对导数概念的理解， 明确求导数的步骤.教师板书， 示范解题格式， 展示数学的严谨. 教师引言教师引言（5） ：） ：让我们再来解决一道实际问题. 例例 2.2. 将原油精炼为汽油.柴油.塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh 时， 原油的温度（单位：C 。 ）为 2 ( )715(08)yf xxxx.计算第 2h、第 3.5h 和第
25、6h 时，原油温度 的瞬时变化率，并说明它们的意义. 问题（问题（4） ：） ：原油温度在第 2h、第 3.5h 和第 6h 时的瞬时变化率，从数学角度，求的是什么？ 【师生活动】教师要引导学生体会原油温度在第 2h、第 3.5h 和第 6h 时的瞬时变化率就是函数 2 ( )715(08)yf xxxx在2,3.5,6x 处的导数，即： (2),(3.5),(6)fff.引导学生将实际问 题抽象成数学问题，用导数的定义解决问题，注意结果的形式是一个确定的数值. 引导学生将导数值放回情 境， 就表示原油温度的瞬时变化率， 深刻体会导数的本质. 教师提问， 学生先独立思考， 然后作答在学案上，
26、组内互评，教师巡视，将学生答案同屏在大屏幕上分享. 【设计意图】 经历用导数的概念解决实际问题， 让学生感受数学源于生活， 更能用于生活.教师巡视时， 要关注学生导数符号的书写，解题格式的完整，要关注学生对实际意义的表达.三个计算结果分别为正数、 负数、零，让学生感受导数值的多样性，体会瞬时变化率的实际意义，为下一个单元分讲应用导数探 究函数的单调性埋下伏笔. 问题（问题（5 5） ：） ：将原油温度问题一般化，那么 0 ()fx表示什么意义？ 【师生活动】教师引导学生说出 0 ()fx表示原油温度在 0 tx时刻的瞬时变化率.深刻体会导数的数学 表达和本质. 教师提问，学生独立思考、回答问题
27、. 【设计意图】引导学生用数学的思维解决问题，将实际问题抽象为数学问题.深化对导数概念的理解. 理解导数的本质就是瞬时变化率. 教师引言（教师引言（6） ：） ：可见，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率. 【师生活动】教师小结提升. 00 00 (-1)(-2) (-1) 1 -2 2 -1 ()=2 -1 limlim limlim xx xx yfxf f xx x xx 解： （ ） 11 3.3.自主探究自主探究，获得几何意义获得几何意义 探究探究 2 2：从“数” 的角度，我们已经得知导数 0 ()fx表示函数( )yf x在 0 xx处的瞬时变化率，反 映了函数( )yf x
28、在 0 xx附近的变化情况，那么从“形” 的角度，导数 0 ()fx具有什么几何意义呢？ 让我们再回忆情境 2，抛物线 2 (=f xx）在点(0,0)处的切线斜率就是函数 2 (=f xx）在0 x处的导数 (0) f，这就是导数 (0) f的几何意义. 请类比探究，一般曲线( )yf x在 0 xx处的导数 0 ()fx的几何意义? 请同学们应用手中的工具ipad 或手机进行小组合作探究，将探究的结果整理在学案上. 【师生活动】上一分讲学生已经探究了“抛物线 2 (=f xx）在点(0,0)处的切线斜率” ，结合本课时“导 数的概念” ，学生不难发现抛物线 2 (=f xx）在点(0,0)
29、处的切线斜率就是函数 2 (=f xx）在0 x处的导数 (0) f，这就是特殊函数 2 (=f xx）的导数的几何意义. 本课时教师意在让学生抽象生成一般函数( )yf x 的导数的几何意义.教师要关注学生的动手实践过程.教师引导学生用运动变化的观点研究问题， 体会割线的 极限位置就是切线，体会割线斜率的极限就是切线斜率，割线斜率的极限的数学表达就是导数.感受从特殊 到一般、类比的研究方法.教师提出问题，学生小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听小组交流， 用希沃助手同屏软件将学生的探究过程同步投影在大屏幕上分享，请小组代表陈述本组的探究过程和结论. 其他小组补充、互评. 【设计意图】
30、平日的学习中， 学生已经积累了一定的几何画板的使用方法.学生应用几何画板进行探究， 激发求知欲和学习兴趣的同时，大大提高了探究效率，能够直观感受“用割线逼近切线”的过程，类比生 成一般函数导数的几何意义，突破难点，体验成功.体会用运动变化观点研究问题的必要性，感受从特殊到 一般、从具体到抽象、类比概括在研究问题时的一般性和有效性. 教师引言教师引言（7 7） ：通过刚刚同学们的探究、分享，我们确实发现当点 1 P趋近于点P时，割线斜率 n k趋近 于切线斜率k， n k趋近于函数( )yf x在 0 xx处的导数.因此，函数( )f x在 0 xx处的导数 0 ()fx就是 切线PT的斜率k，
31、即： 00 0 0 ()() () lim x f xxf x kfx x ，这就是导数的几何意义. 【师生活动】教师小结提升，注重小结“割线的极限位置就是切线板书” ， “割线斜率极限的数学表达 就是导数”.用 PPT 将导数的“数”与几何意义的“形”同屏播放，如下： 12 教师板书，如下： 【设计意图】让学生感受“数形结合”的思想方法，深化对导数概念的理解. 探究探究 3 3：此处的切线定义与初中学过的切线定义有什么不同？ 再回忆情境 2，抛物线 2 (=f xx）在点(0,0)处的切线的定义是：当点 n P趋近于点P时，割线 n PP趋近于 确定的位置，这个确定位置的直线PT称为抛物线
32、2 (=f xx）在点(0,0)处的切线. 请类比探究，一般曲线( )yf x在点 00 (,()P xf x处的切线如何定义？ 【师生活动】 上一分讲学生在探究 “函数 2 (=f xx）在点(0,0)处的切线是x轴， 而不是y轴” 时发现 “圆 的切线”的定义并不适用于抛物线，进而用“运动变化的观点”给出了“特殊曲线” 2 (=f xx）的切线 定义.本课时意在引导学生抽象生成“一般曲线”( )yf x的切线定义. 感受一般曲线( )yf x的切线 定义对圆的切线同样适用. 教师引导学生用运动变化的观点研究问题，再次体会割线的极限位置就是切线， 感受从特殊到一般、 从具体到抽象、 类比的研
33、究方法.教师提出问题， 学生独立思考、 回答问题， 教师板书， 如下： 00 1 00 0 10 00 0 0 ()() ()() () ()() = () lim lim n x nn x f xxf x PP x f xxf x PT x PPfx f xxf x fx x 割线的斜率k 切线的斜率k= 当时，kk，k k 2. 导数的几何意义： 函数( )f x在 0 xx处的导数就是函数( )f x在 0 xx处的切线斜率， 即： 0 ()kfx. 3. 切线的定义 当点 n P沿着曲线( )yf x趋近于点P时，割线 n PP趋近于确定的位置， 这个确定的位置PT成为曲线( )yf
34、x在点P处的切线. y y x x T T P Pn n( (x xn n,x,xn n2 2) ) P P(0,0)(0,0) 13 【设计意图】让学生经历“提出问题分析问题解决问题”的探究过程，深刻感受知识的形成 过程.再次感受从特殊到一般、从具体到抽象在研究问题上的一般性和有效性，体会类比的研究方法. 教师引言（教师引言（8 8） ：下面，老师用几何画板再次为大家演示“割线逼近切线”的过程，请同学们观察在点P 处哪条直线最接近P点附近的曲线？老师将图像放大，你能否发现P点处的切线与曲线的位置关系？ 【师生活动】教师引导学生直观感受P点处的切线最接近 P 点附近的曲线.感受当图像逐渐放大时
35、，P 点处的切线越来越贴近P点附近的曲线，感受“以直代曲”的极限思想.教师用几何画板演示“割线逼近切 线” ，并将图像不断放大（如下图） ，学生观察、思考、回答.教师小结提升. 【设计意图】几何画板的动态演示，能够让学生直观感受“以直代曲”的必要，巧妙突破难点.引导学 生再次感受极限思想，体会微积分的重要思想以直代曲. 例例 3.3. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2 ( )4.96.510h ttt 的图像. 根据图像，描述运动员在t 0 t， 1 t， 2 t附近的变化情况. 【师生互动】教师着重引导学生用导数的几何意义研究问题.“曲线”描述的是运动员的高度变化，要 描述运动
36、员的瞬时变化率可以应用函数的导数,而导数的几何意义就是切线斜率.因此，应用“切线斜率” 研究“曲线变化”是十分必要的，让学生感悟“以直代曲”的意义.引导学生感知：因为可以“局部以直代 曲” ，所以可以用切线的上升、下降近似替代曲线的上升、下降.而切线的上升、下降可以用斜率反映.引导 t t h h t2t0t1 O O 放大 放大 14 学生应用切线的斜率解释运动员的瞬时变化率.体会“数”与“形”的结合，深刻体会导数几何意义的应用 价值.教师提问，学生独立思考、作答在学案上，教师将学生答案同屏在大屏幕上分享，学生互评. 【设计意图】学以致用，应用导数的几何意义解释情境中的瞬时变化率问题.体会导
37、数的几何意义就是 切线斜率，感受“以直代曲”重要思想的应用价值.将“高台跳水”情境贯穿本单元、本课时教学，让学生 感知数学源于生活、用于生活.既可以从“数”的角度解释瞬时变化率，也可以从“形”的角度解释瞬时变 化率.深化对导数概念及其几何意义的理解.通过切线斜率的正、负、零，为下个单元分讲用导数研究 函数的性质埋下伏笔，使学生的思维延伸到课堂之外. 4 4. .小结提升，布置小结提升，布置分层分层作业作业 问题问题（6 6） ：请同学们从知识和方法两个方面谈谈本节课你的收获和感受吧！ 【师生活动】教师着重引导学生从“知识”和“方法”两个方面进行小结.让学生梳理本节课的知识收 获：导数的概念、导
38、数的几何意义、切线的定义.让学生感受应用的思想方法和研究方法：极限思想、以直 代曲思想、数形结合思想、类比归纳方法.教师提问，学生独立思考、回答，相互补充，教师板书，如下： 【设计意图】培养学生归纳总结的能力.让学生回味本节课生成的知识和应用的方法,积累数学知识和 活动经验.感知导数的意义，为下一分讲用导数研究函数的性质奠定基础. 教师引言（教师引言（9 9） ：） ：本节课的作业分必做和选做两部分，请看大屏幕，如下： 【设计意图】必做作业保证本课时知识和方法的落实,保证后续学习.拓展学案针对学有余力的学 生， 保证不同的学生得到不同的发展.体会 “极限思想” 是本单元教学目标之一， 让学生阅
39、读名著 割圆术 ， 感受极限思想的产生背景和伟大意义，感知知识的形成过程与研究方法，为微积分的后续学习奠定基础. 4. 研究方法： （1） “极限”思想 （2） “以直代曲”思想 （3） “数形结合”思想 （4）类比 15 六六. .板书设计板书设计 1.1.2 导数的概念及其几何意义 1. 导数的概念 2.导数的几何意义 3.切线的定义 例 1. 4.研究方法 多媒体 16 七七. .课堂教学目标检测课堂教学目标检测 【师生活动】学生课后独立完成，自我检验对知识的理解与落实.教师全批全改，关注学生对知识的应用及 书写是否规范.教师及时反馈学生情况、适当调整教学内容及策略. 【设计意图】“课堂
40、教学目标检测” 是布置给学生课后的必做作业， 意在巩固落实导数的概念及其几何意义， 题目设置有梯度，检验学生对知识的理解与应用，激发学生更深入的数学思考，起到延伸课堂的作用，并 为下一单元分讲做好铺垫. （一）选择题（一）选择题 1. 一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么 0 lim t s t 为（ ）. A. 从时间t到tt时，物体的平均速度； B. 在t时刻时该物体的瞬时速度； C. 当时间为t时物体的速度； D. 从时间t到tt时物体的平均速度 2. 已知某个车轮旋转的角度（弧度）与时间t（秒）的函数关系是 2 2 (0) 0.64 tt，则车轮启动后 第 1.6
41、秒时的瞬时角速度是（ ）. A20弧度/秒 B. 10弧度/秒 C. 8弧度/秒 D. 5弧度/秒 3. 物体运动时位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系是 2 28stt ，此物体在某一时 刻的速度为 0 /m s，则相应的时刻为（ ）. A0t B. 1t C. 2t D. 4t 4. 已知曲线 2 1 2 2 yx上一点P 3 (1,) 2 ，则过点P的切线的倾斜角为（ ）. A30 B. 45 C. 135 D. 165 5. 已知点 00 (,)P x y是抛物线 2 3yx上一点，且 0 6 x x y ，则点P的坐标为（ ）. A （1，3） B.（1，3） C.（3，
42、1） D.（3，1） 6. 已知函数( )yf x的图象如图，则 ( ) A fx与 ( ) B fx的大小关系是（ ）. A ()() AB fxfx B. ()() AB fxfx C. ()() AB fxfx D. 不能确定 （二）填空题（二）填空题 7. 已知函数( )yf x在 0 xx处的导数为 11，则 00 0 ()() lim x f xxf x x = . 8. 如图函数( )f x的图象在点P处的切线为：25yx ，则 (2)(2)ff的值 为 . 奎屯 王新敞 新疆 （第 6 题） （第 8 题） 17 9. 已知( )log(1) a f xx a，记： ( ) A
43、fa， (1)( ) (1) f af a B aa ， ( 1)Cf a，则由导数的几 何意义可得, ,A B C的大小关系是 .（请用“”连接） （三）解答题（三）解答题 10. 设( )25f xx，应用导数的定义求 (1) f. 11. 一物体的运动路程y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 2 231ytt，求物体在2t s时的瞬时速度. 12. 已知函数 32 1 ( ) 3 f xxx ，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线斜率. 13. 已知抛物线 2 yaxbxc通过点(1,1)P，(21)Q，且在点Q处与直线3yx相切，求实数 a.b.c的值 18 教教 学
44、学 点点 评评 天津市耀华中学数学组组长天津市耀华中学数学组组长 徐秀清徐秀清 一、准确一、准确把握把握课题要求，创造性地运用教材课题要求，创造性地运用教材 这节课，马老师认真地钻研了教材，在充分理解教材编写意图的前提下，将“高台跳水” 、 “抛物线切 线斜率”的两个情境贯穿始终，让“两个情境问题”价值最大化. 马老师结合“耀华中学学生”的特点，布置了课前作业，用学生搜集到的有关“变化率”实例作为情 境补充，使得不同领域的“瞬时变化率”问题体现在数学方面“过程与方法” 、 “结果形式”的一致性 更加充分. 马老师在教材“原油温度”的例题前加入了一道“纯数学求导”问题，意在引导学生学以致用应 用
45、导数的概念及其符号表达，为学生用数学的思维独立解决实际问题做好铺垫. 教学设计循序渐进，知识梯 度符合学生的认知水平. 二二、注重、注重概念建构过程概念建构过程，精准把握精准把握导数导数本质本质 通过归纳“五个实例”的数学共性，抽象生成导数的概念整个过程，马老师让学生自己探究、小 结. 这样的教学， 让学生经历了完整的概念的建构过程， 也展现了马老师对概念教学的深刻理解与准确把握. 马老师能够精准把握教学重点，设置两道例题，用“问题串”鼓励学生独立思考，启发学生感悟导数 的本质就是“瞬时变化率” ，自然流畅地达成教学目标. 三、三、恰当使用信息技术，直观感知导数的几何意义恰当使用信息技术，直观感知导数的几何意义 马老师能够娴熟、恰当地应用信息技术辅助教学. 马老师精心设计“导学案” 、 “演示课件” ，并利用几 何画板动态演示“逼近”与“放大” ，让学生直观感受“切线比割线更贴近曲线”和“以直代曲”的极限思 想，大大提高了探究效率，巧妙突破了难点. 学生们在探究活动中的表现，展现出丰富的数学积累和动手实践经验，具有较好的数学素养，反映出 马老师在平日教学中对孩子们的付出与培养. 四、精心设四、精心设计学生活动，潜移默化渗透数学方法，提升核心素养计学生活动，潜移默化渗透数学方法，提升核心素养 整节课，马老师始终鼓励学生独立思考、小组合作、交流分享，深刻体会知识的形成过程，使学生
