1、对数与对数运算 （第一课时） (人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第二章第二节) 太原市实验中学太原市实验中学 段段 XX 一、教学内容解析一、教学内容解析 对数与对数运算选自人教 A 版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内 容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小 节内容 16、17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当 务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中， 为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比， 教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文
2、化背 景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指 数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接， 有利于学生学习时发现与论证对数的 运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标二、教学目标设置设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实 际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一
3、”的分析，引导学生借助指数函 数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引 出对数概念. 通过图示连线， 对指数式和对数式中各字母进行对比分析， 来认识对数与指数的相互联系； 利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用. 对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对 数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不 断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析三、学生学情分析 1.认知基础 从运算的角度来讲，加
4、、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习. 从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的 一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函 数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继 续学习对数函数. 2.问题诊断 对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的， 在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面： （1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转 换； （2）不能把“对数的实质是指数”
5、应用在数学问题的解决中. 基于以上分析，本节的教学难点是： （1）对数概念的理解； （2）对数的常用性质的概括. 为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学 习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导 学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从 对数概念外延的角度进行理解. 本节的第二个难点是： “0 和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证 是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于 0 的限 制，因此应该在学习对数伊始，就打好
6、“0 和负数没有对数”的认识基础. 为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例） 的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不 是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？ 通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解. 四、教学策略分析四、教学策略分析 本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程： 从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过 程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习； 再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个
7、例，从概念外 延的角度加深概念理解； 再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识； 循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特 殊的对数值（1 的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于 对数概念的认知. 突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例. 五、教学过程设计五、教学过程设计 1.1.对数概念的形成对数概念的形成 1.11.1 创设情境，引发思考创设情境，引发思考 【实际情境实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳 14 同位素 鉴定，结果是白垩纪的恐
8、龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购. 生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量，每经过大约 6000 年，会衰减为原来的一半，这 个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳 14 的含量来推断生物体的年代，其中半 衰次数与碳 14 的含量 P 间的关系为： 1 ( ) 2 x P=. 但是，当生物组织内的碳 14 含量低于千分之一时（这里我们按 1 1024 来计算） ，一般的放 射性探测器就测不到碳 14 了. 众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳 14 同位素法能推断出恐龙 蛋化石的年代吗？ 问题问题 1 1： （1）经过 1 次半衰期，碳 14 的含量会变为原来的多少？
9、3 次呢？（2）经过几次 半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳 14 了呢？（3）用碳 14 同位素法能推断出恐龙蛋化 石的年代吗？ 【预设的答案】1 2 ， 1 8 ；10；不能 【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这 样的问题是客观存在的，是源于实际生活的. 【数学情境】解方程： （1）2= 2； （2）2= 3； （3）2= 4. 【设计意图】 创设数学情境， 通过指数方程的实例， 让学生感受在数学学习中， “求指数” 这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题. 问题问题 2 2：以上几个问题的共同特征是什么？ 【活动预设】引导学生归纳概括出问题
10、的共同特征：已知底数和幂，求指数. 1.21.2 探究探究典典例例，形成概念形成概念 活动活动：解方程： （1）2= 2； （2）2= 3； （3）2= 4. 【活动预设】 感受在求指数的过程中， 有的指数可以直接写出结果， 有的指数却不好表示. 【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫. 问题问题 3 3： 以引例中的2= 3为例， 分析的值存在吗？如果存在， 符合条件的的值有几个？ 能估计出的大致范围吗？ 【活动预设】 （1）根据函数图象，思考等式2= 3中指数的存在性，唯一性和大致范围； （2）类比：在学习求方程3= 2的根时，为了表示底数，引入了数学符号：，表示 3 次方为 2 的数；
11、这里，我们引入对数符号来表示指数,将记作log23. 【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数的存在性，唯一性和大致范围，为了 表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程. 问题问题 4 4：结合方程2= 3来思考， = log23中log23表示什么？ 【活动预设】 （1）分析log23表示的含义； （2）感受：以2= 4为例，分析指数可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么. 教师讲授教师讲授：若= （ 0， 1） ，那么数叫做以为底N的对数，记作：Nx a log， 其中叫做对数的底数，N叫做真数. 【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的
12、基础上，遵循从具体 到抽象的思路，形成对数概念. 问题问题 5 5：指数式与对数式是等价的，但，在两个式子中的名称一样吗？ 【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。 【设计意图】 （1）体验对数式与指数式的互相转化； （2）理解两个式子从不同角度表示，之间的关系；通过图示连线，认识，在 指数式与对数式中的名称. 1.31.3 具体感知具体感知，理性分析理性分析 活动活动：自主举例的接龙活动. 【活动要求】 第一组每一排学生在四线三格中写出一个对数，其中底数与真数都是集合A的元素； （集合A=-1，0，1，2，3，4，5） 第二组相应排学生说出这个对数的值或所表示的含义； 第
13、三组相应排学生说出对数式相应的指数式. 【活动预设】如果出现真数为负数或 0 的情形，引导学生思考其合理性. 【设计意图】 在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延 的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；同时也规范对数符号的书写. 问题问题 6 6：对数中底数和真数的范围分别是什么？ 【活动预设】 引导学生回归指数，根据图象来判断底数、真数的范围. 【设计意图】 从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析， 认识底数与真数的取值范围， 渗透 “对数的本质是指数” 这一思想， 加深对数概念外延的理解, 为后续对数函数的学
14、习作铺垫. 2.初步应用，理解概念 例 1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 （1）3125log5； （2）4 16 1 log2； （3） 2 100.01 - =； （4）e0= 1（其中 e=2.71828）. 【预设的答案】（1）53= 125； （2）24= 1 16； （3）log100.01 = 2；（4）loge1 = 0. 【设计意图】 （1）进行指数式与对数式的简单互化，熟悉指数式与对数式之间的转化. （2）认识两种特殊对数：常用对数和自然对数. 例 2 求值(其中 0， 1): （1）log525;（2）log2 1 16; （3）lg1; （4）1loga;（
15、5）lne e;（6）a a log. . 【预设的答案】（1）2;（2）-4;（3）0;（4）0;（5）1;（6）1. 【设计意图】 （1）利用对数概念以及对指互化求值,加深对数概念的理解； （2）从这个例题中归纳概括出性质：1loga= 0,a a log= 1. 例 3 求值: （1）若53log x 2(其中 0， 1)，求的值;（2）4log8; （3） 3log2 4. 【预设的答案】（1）3 5 ;（2）2 3;（3）9. 【设计意图】 在解题中加深对概念的理解，形成解题的基本思路：对数问题指数化；形成解题的基本技 能：恰当设数，变对数式为指数式,然后利用指数的相关知识解题. 3
16、.归纳小结，文化渗透 思考：对于N a log，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？ 【活动预设】 （1）归纳小结; （2）欣赏诗歌: 我为自己代言（对数版） 你只看到我源于指数， 却没看到我比指数早一步来到这世上。 你有你的迷茫，我有我的规则。 你否定我的可爱， 伽利略说， “给我时间、空间以及对数，我就可以创造一个宇宙。 ” 你嘲笑我面目可憎晦涩难懂， 我恳请你靠近一点再多读我一遍。 懂我，是场注定孤独的旅行， 路上少不了探索与思考。 但那又怎样，哪怕再艰难， 也有执着睿智的勇士理解我的价值与内涵。 我是对数，我为自己代言！ 【设计意图】 （1）梳理本节课对于对数的认知； （2）进行数
17、学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 . 六、课堂教学目标检测六、课堂教学目标检测 1.对数式与指数式的互化： （1） 21= 1 2; （2）ln1 = 0. 2.求值： （1）9log3; （2）3log9. 【预设的答案】2.（1）2; （2）0.5 . 【设计意图】检测是否达成本节的教学目标，是否理解对数的概念以及对数符号的含义，是 否能够较为熟练地进行对指互化和求值. 对数与对数运算课例点评 对数与对数运算是人教 A 版必修一第二章第二节对数函数的起始课，段艳芳老师的这节课在理解 教材、理解学生和理解教学的基础上，有如下特色： 1. 引入引入新颖，双管齐下
18、新颖，双管齐下 一方面设置“恐龙蛋化石”的实际情境和“解指数方程”的数学情境引入学习内容，从应用价值的角 度突显研究对数的必要性；另一方面进行逆运算的分析，从数学自身发展完善的角度体现研究对数的必要 性.从课堂实际效果来看，学生在进行真假判断时，已经进入良好的学习状态. 2. 紧扣概念紧扣概念，辨证认知，辨证认知 对数概念的理解是教学难点，这节课中对数概念的学习过程贴合了认识的辨证发展过程: 从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立 对数概念，从概念内涵的角度学习； 再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延
19、的角度加 深概念理解； 再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识； 循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值 （1 的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，同时丰富对于概念的认知. 3. 类比学习，理解符号类比学习，理解符号 恰当的数学符号，对数学的发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，这节课通过类比熟悉的 分数线，根号，引导学生理解：我们将方程中的指数记作对数符号，该符号是指数的一种记法.从实际的课 堂效果来看，在认识对数符号含义的基础上，学生能够水到渠成地得出对数恒等式的特例. 4. 学生发展，贯穿始终学生发展，贯穿始终 重视发挥学生的主体作用，在学生的最近发展区提问、追问，学生动手动脑动口，引导学生建立原有 知识与新知之间联系，引起学生的认知冲突，揭示学生的思维过程；采用类比策略，降低理解新知的难度， 构建新的知识结构过程入情入理；始终围绕教学重点展开，突破难点抽丝剥茧、水到渠成；多媒体运用恰 当，多媒体演示与板书融为一体，增强课堂教学的有效性. 这节课的不足之处主要是教师驾驭课堂的能力稍显不足，教学语言不精炼，讲授时间偏多，教师可站 得再退后一些，给学生留出更多的思考探究空间. 2018 年 10 月 23 日
