1、 - 1 - 【课题】 二项式定理 （第一课时） 执教教师：华东师范大学第一附属中学 殷 XX 一、教学内容解析一、教学内容解析 二项式定理 是沪教版高三年级第一学期第十六章第 5 节的内容， 它是初中学习的多 项式乘法的继续 在计数原理之后学习二项式定理， 一方面是因为它的推导要用到计数原理， 可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力 工具，二项式定理起着承上启下的作用另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用 二项式定理可进一步深化对组合数的认识总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不 同内容作用的知识 二、教学目标设置二、教学目标设置 教学目标
2、应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习， 形成正确价值观 的过程用计数原理分析 2 ()ab， 3 ()ab， 4 ()ab的展开式，归纳类比得到二项式定理， 并能用计数原理进行推理掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系 数性质的方法根据课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、 通项公式的特点，会利用二项展开式及通项公式解决有关问题 2.2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指 导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性
3、思维探究能力 3.3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合 作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美结合数学史，激发 学生爱国热情和民族自豪感 三、学情分析三、学情分析 有利因素有利因素 授课对象是高三的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的 观点分析问题的能力学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节() n ab展开式 中各项系数的研究会有很大帮助 不利因素不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生 学习起来有一定难度在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公
4、式的结论，而不 重视其形成过程 四、教法策略分析四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、 教师是数学课堂活动的组织者、 引导者和参与者”的现代教育原 则，采用“启发式教学法” ，学生主要采用“探究式学习法” ， 并利用多媒体辅助教学 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题， 倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探 究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程 五教学过程五教学过程 （一）（一）创设情境，引入课题创设情境，引入课题 （1）2016 年下半年，神舟十一号载人飞船将在天宫二号发射后择机发射，并与天宫二 号对接
5、，目的是更好地掌握空间交会对接技术，开展地球观测和空间地球系统科学、空间应 用新技术等领域的应用和试验。 （PPT 同步显示算式和数据）为了掌握神舟飞船的运动轨迹，我们需要计算出 - 2 - 它做匀速圆周运动的轨道半径 3 2 2 4 GMT r .已知常量 1122 6.67 10/GN mkg ， 地球的质量 24 5.977 10Mkg飞船运动的周期5400Ts 代入计算得 3 11242 2 6.67 105.977 105400 4 r 3 6 295 10 根据上面的公式，在没有计算器的情况下，我们如何近似的计算 3 295的值呢？ （二）探究归纳（二）探究归纳，构建新知，构建新知
6、 （1）通过经历 2 ab 和 3 ab 展开的过程，带着问题去研究 4 ()ab的展开式有怎 样的规律？ 2 22 =2abababaabb 3 2 22 22 3223 ()()()() () () 2() 2 33 abab ab ab abab aabbab aabab abbab aa babb 4 ()ababababab 3223 =33aa babbab 3223 =33aaba b abababbab 432234 464aa ba babb 【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察只有将大量具体实例 进行整体和局部多方面的分析， 才能得到接近一般性规律的
7、结论 也只有对得出各种结论进 行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生 有目的的进一步进行探讨和分析 【设计意图】 多项式乘法法则是展开式的运算基础， 同时也为用组合数表示系数创设情境 而 学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅 通过教师强调多项式乘法法则， 让学生思维 建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫 问题 1： 4 ab 展开之后共有几项？各项次数是怎样的？ 问题 3：展开式各项的系数是如何确定的？ 问题 2：展开式中各项是如何得到的？ - 3 - 【设计意图】通过 ppt 中的动画，将 4 个 ab 比作 4 个烧杯，用红球表示字
8、母a，用篮 球表示字母b，引导学生根据多项式乘法法则，用之前学过的组合数作为工具，对已有的 4 ab 的展开式进行重新的改写和认识.本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数 原理对展开式中各项进行分析 该问题是从最近发展区出发， 符合学生的思维发展的螺旋式 规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法 011* ()() nnnrn rrnn nnnn abC aC abC abC bnN 二项式定理 二项式定理的公式特征： 展开式共1n项； 展开式中每一项的次数都是n； 各项的系数(0,1,) r n Crn叫二项式系数 rn rr n C ab是展开式的
9、第1r项； rn rr n C ab叫二项展开式的通项，用 1r T表示 按照字母a降幂排列，次数由n递减到 0，字母b升幂排列，次数由 0 递增到n. （三三）巩固新知）巩固新知 提升能力提升能力 例例 求 4 1 x x 的二项展开式. 【解】 4 1 x x 234 04132234 44444 1111 C xC xC xC xC xxxx 42 24 41 46xx xx 变变式式 1 求 4 1 x x 的二项展开式. 【解】 4 1 x x 4 = 1 +x x 234 04132234 44444 1111 C xC xC xC xC xxxx 42 24 41 46xx xx
10、 变变式式 2 求 8 2 x x 的二项展开式. 通过具体的例子，引导学生得出()nab的展开式 - 4 - （引导学生从几个方面来理解，可以正面展开，可以先化简再展开，可以从通项角度出发） 方法方法 1： 8 2 x x 23 8765 0123 8888 222 CxCxCxCx xxx 4567 432 4567 8888 2222 CxCxCxCx xxxx 8 8 8 2 C x 432 234 179217921024256 161124481120 xxxx xxxx 方法方法 2： 99 2 9 222 1999 2 22 r rrr r rrrrr r TCxCxxCx x
11、 0,1,2,8r 方法方法 3：先化简，再展开：先化简，再展开 88 4 8 222xx xx x x 08171262353444 888884 1 2222C xC xC xC xC x x 5356267788 8888 2222 C xC xC xC 432 524 2 179217921024256 161124481120 xxxx xxx x 变变式式 3 根据以上我们学习过的知识点对于根据以上我们学习过的知识点对于 10 2 x x 的的 二项展开式我们还能研究哪些问题请小组讨论并自编一个小题，二项展开式我们还能研究哪些问题请小组讨论并自编一个小题， 并尝试小组成员共同解答并
12、尝试小组成员共同解答. 预设问题：中间项，倒数第 2 项，二项展开式中 2 x项的系数， 1 2 n x x 展开共有 11 项，求n. 【设计意图】【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数设计题 目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水 平通过小组协作出题，既强化了对新知识的理解，又培养了学生团结协作的能力. （四四）回顾反思）回顾反思 归纳总结归纳总结 - 5 - （1）特殊到一般，一般到特殊； （2）二项式定理和通项； （3）项，二项式系数，项的系数 【设计意图】【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以
13、使学生加深对本节课的 认识，掌握基本数学思维方法 （4）PPT 展示二项式定理史略：二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于 1 世纪 的九章算术提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法里就对二项式展开的系数做过研 究，这个表称为杨辉三角，在我国杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古 代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 （五）扩展延伸（五）扩展延伸 启发思维启发思维 1 23 11 11( 1) 11() nn xxxxx xx ， ( 11,0)xx 且且 引导学生与所学习过的无穷等比数列求和的角度来建立联系
14、 （六）（六）作业作业 一、练习册一、练习册 P47 习题习题 16.5A 组第组第 15 题，题，B 组第组第 2 题题 二、二、1、分别求出 6 2ba 、 6 2ab 的二项展开式的第 3 项. 2、写出 3 3 1 2 n x x 的二项式展开式的第1r 项. 3、求 7 3 2xx 的二项展开式的第 4 项的二项式系数及第 4 项的系数. 点评： 本节课是二项式定理的第一节课， 它是代数中乘法公式的推广， 二项式定理的推导蕴含 着丰富的数学思想方法，是培养学生能力的好素材。本节课注重知识的掌握、体现方法的应 用、强调能力的培养。 首先通过计算正数的三次方根的近似值这一情境引入课题，
15、这样的导入教学能引起学习 兴趣， 也为后续的教学做了很好的铺垫。 其次， 通过 2 )ba （、 3 )ba （公式入手， 对 4 )ba （ 的展开式进行深入的研究，从而得到研究 n )ba （)( Nn的方法，并完成二项式定理的 推导，进而总结二项展开式的特征。再通过典型例题及变式巩固所学的内容，让学生熟练掌 握二项展开式。利用小结这一环节，介绍杨辉三角，体现德育渗透。利用拓展，提出 ？（ 1 )1x，) 1 , 1(x，开拓学生的视野，引导学生提出新的问题，寻找解决问题的新 - 6 - 办法，从而激发学生的求知欲。 课堂教学能根据学生的现有水平， 利用原用的知识结构调动学生的学习积极性； 通过从 特殊到一般，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑推理能力；通过学生自己的思 考与反思获得对定理的深刻理解，提高学习效率；通过对问题的变式，提高分析问题、解决 问题的能力；通过学生提出问题并解决问题的教学环节，提高思维的深刻性、灵活性、敏捷 性；通过对问题的探究，满足学生的求知欲，提高探究水平。 李家齐
