1、抛物线（第抛物线（第 1 课时）课时） 北京师范大学附属实验中学 李扬眉 一、一、 教学内容分析教学内容分析 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学 选修 2-1第二章“圆锥曲线与 方程”的起始课 解析几何的教学，一方面，应从几何角度关注图形，认识图形的几何特征；另一方面， 要建立代数方程，用代数工具研究几何性质在这一章的教学中，我们在引入代数工具研究 圆锥曲线之前，让学生首先充分认识图形，尽可能充分地感受并发现几何特征，进而体会解 析几何数形结合、几何与代数并重的特点考虑到抛物线的形状学生比较熟悉，其代数方程 形式也相对简单，我们将抛物线作为研究的第一种圆锥曲线 本节课是抛物线的第 1
2、 课时， 也是圆锥曲线这一章的起始课， 主要内容是借助几何绘图 软件，探索抛物线的轨迹，引出抛物线的定义，直观感受、发现抛物线的几何特征在这个 过程中， 学生学习和运用轨迹交点法， 提升作图能力， 感悟解决问题的策略 我们将在第 2， 3 课时建立坐标系求抛物线的方程、研究性质、完善并证明第一节课发现的几何特征 二、二、 学生情况分析学生情况分析 学生在初中阶段学习过一些特殊的轨迹，有一定的作图能力；初步了解几何绘图软件 Geogebra， 能根据需要进行简单操作 另外， 授课班级的学生具有较强的求知欲， 思维活跃， 能积极参与数学活动和交流讨论 三、三、 教学目标教学目标设置设置 根据教学内
3、容， 以及学生现有的认知水平和能力， 我把本节课的教学目标确定为以下三 个方面： 1. 了解抛物线的定义，感知抛物线的几何特征； 2. 运用轨迹交点法，经历探索抛物线轨迹的过程，提高作图能力和分析问题、解决问 题的能力； 3. 通过合作学习，感受数学探索的快乐 本节课的教学重难点是：依据抛物线的定义画出轨迹 四、四、 教学策略分析教学策略分析 本节课以探究合作为主要的学习方式，教学过程分为“复习旧知，提炼作图方法” ， “应 用方法，合作探索轨迹” ， “明确定义，感知几何特征” ， “交流总结，提出思考问题”四个环 节 为了突破难点，落实重点， 采取了以下措施： 首先， 让学生使用几何绘图软
4、件 Geogebra 画出“到两定点距离相等的点的轨迹” ，并总结出利用轨迹交点法得到轨迹的基本步骤其 次，在此基础上，再让学生利用软件，用不同方法得出抛物线的完整轨迹随即，让学生在 纸上作出抛物线草图，进一步加深对抛物线的直观认识最后，让学生分享从中发现的抛物 线的几何特征，也为后续课程的学习打好基础 本节课的效果评价以当堂反馈为主，学生通过上台展示分享，体现探索的成果；每位 学生在纸上作出抛物线的草图， 落实本节课的教学要求 教师还将通过思考题继续激发学生 的探究热情 五、教学过程五、教学过程 环节一：复习旧知，环节一：复习旧知，提炼作图提炼作图方法方法 预设 形式 预案 设计意图 【复习
5、】【复习】回顾有关轨迹的问题： （1） 平面内，到一个定点的距离等于定长的点的 轨迹是什么？ (答：以定点为圆心，定长为半径的圆) （2） 平面内，到一条定直线的距离等于定长的点 的轨迹是什么？ (答：平行于这条直线，并和已知直线距离为 定长的两条直线) （3） 平面内，到两个定点距离相等的点的轨迹是 什么？ (答：两个定点连线的垂直平分线) 【活动一【活动一】请利用图形计算器，探索：平面内，到两 个定点的距离相等的点的轨迹. 1， 以 A 为圆心，r 为半径作圆 2， 以 B 为圆心，r 为半径作圆 3， 作出两圆交点，即为所求轨迹上的点 4， 改变 r 的值，形成轨迹 【总结总结方法】方法
6、】 利用轨迹交点法得到轨迹的步骤： 当知道轨迹上的点满足的两个条件时， 可以采用这样 的方法得到轨迹： 教 师 提 问 和 展 示， 学生 口答 学 生 在 图 形 计 算 器 上 探索， 并 分 享 得 到 轨 迹 的 过 程 学生能顺 畅回答 教师可适 当规范表 述 若学生通 过找到两 点直接连 线 得 轨 迹，则提 示其思考 如何得到 更 多 的 点，来验 证轨迹是 一 条 直 线 通 过 回 顾 已 认 识 的 一些轨迹， 引 出 要 探 索 的 新 问 题， 也为后 面 问 题 的 解 决 奠 定 基础 通 过 活 动 一， 让学生 在 操 作 中 学 习 如 何 利 用 轨 迹 交
7、 点 法 得 到轨迹 为 后 续 探 索作准备 第一步，作出满足一个条件的点的轨迹 第二步，作出满足另一个条件的点的轨迹 第三步，作出两个轨迹的交点，即满足条件的点 第四步，改变相关的变量，追踪交点的位置变化，得 到轨迹 环节环节二二：应用方法，应用方法，合作探索轨迹合作探索轨迹 预设 形式 预案 设计意图 【活动二】【活动二】探索：平面内，到一个定点和一条定直线 距离相等的点的轨迹是什么？（如图） 预案一：圆与平行线的交点 1， 作出与定直线平行，且距离为 r 的两条直线 2， 作出以定点为圆心，以 r 为半径的圆 3， 平行线与圆的交点就是所求轨迹上的点 4， 改变 r 的值，追踪点的位置
8、变化，得到轨迹 预案二：中垂线与垂线的交点 学 生 小 组合作， 在 图 形 计 算 器 上 探 索 方法 教 师 巡 视： 如果 学 生 操 作 软 件 有困难， 给 予 帮 助 两 种 方 法 都 由 学 生 分 享， 并展 示 在活动一 的 启 发 下，学生 不难得到 方法 一巡视 时可以让 完成的同 学继续思 考其他方 法 应 用 方 法 合作交流， 感 受 探 究 的快乐 方 法 一 是 在 定 直 线 的 平 行 线 上找点 F l 1. 在定直线上任找一点 H，以 H 为垂足作定直线的 垂线 2. 作定点和点 H 连线的垂直平分线 3. 垂线和垂直平分线的交点即为所求轨迹上的点
9、4. 改变 H 的位置，追踪点的位置变化，得到轨迹 方法二如 果学生探 索 有 困 难，则提 示其可以 在垂线上 找点 方 法 二 是 在 定 直 线 的 垂 线 上 找点 两 种 方 法 都 是 利 用 轨 迹 交 点 法， 同时学 生 在 寻 找 轨 迹 的 过 程中， 也体 会 到 转 化 的思想 环节三：环节三：明确定义明确定义，感知几何特征，感知几何特征 预设 形式 预案 设计意图 【定义定义】 平面内，与一个定点F和一条定直线l(Fl )距离 相等的点的轨迹，叫做抛物线 其中点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准 线 辨析：若定点在定直线上时，则所求轨迹（轨迹为： 过定点的
10、已知直线的垂线）不是抛物线 【活动三】【活动三】在在纸上画出已知焦点和准线的抛物线 学 生 叙 述， 教师 板书 学 生 尝 试 用 铅 笔 画 出 点 的 轨 迹,分享 画法， 展 示轨迹 定 点 不 在 定 直 线 上 这 一 条 件 学 生 易 忽 略， 可引导 学 生 辨 析 清楚 离 开 软 件 支持， 回到 常规作图： 在 徒 手 作 图 的 过 程 中 提 升 作 图能力， 加 深 对 抛 物 线的认识 【感知几何特征】【感知几何特征】 借助我们画出的抛物线以及作图的过程， 你能发现抛 物线哪些几何特征？ 教学预案： 1轴对称图形，对称轴是过定点的定直线的垂线 2顶点：抛物线与对
11、称轴的交点 3抛物线在准线的一侧 4焦点距离准线近时，抛物线开口小；焦点距离准 线远时，抛物线开口大 5焦点与准线上任一点连线的垂直平分线与抛物线 相切 学 生 分 享 学 生 体 会 作 图 与 几 何 特 征 的 关联 也 为 用 代 数 方 法 研 究 几 何 特 征作准备 环节四：环节四：交流交流总结，总结，提出思考问题提出思考问题 预设 形式 预案 设计意图 【总结】【总结】 1知识：抛物线的定义； 2方法：轨迹交点法； 3解决问题的策略 【思考与作业思考与作业】 1是否还有其它利用图形计算器得到轨迹的方法？ 2课上用两种轨迹交点法作出的抛物线包括了所有 满足条件的点吗？如何解释？ 3 以 2 yx为例探究二次函数的图象是不是今天定 义的抛物线 学 生 分 享 作业 1 鼓 励 学 生 继 续 探 索 其 它 生 成 轨 迹 的 策 略 方法 作业 2 引 导 学 生 思 考 抛 物 线 轨 迹 的 完 备性 作业 3 引 导 学 生 自 己 探 索 解 决 初 高 中 对 “ 抛 物 线” 的定义 不 同 带 来 的困惑， 也 为 后 面 用 代 数 方 法 研 究 抛 物 线作铺垫
