1、 基本信息基本信息 地区 北京市 学校 北京市中关村中学 姓名 徐彬 联系电话 13671117990 学科 数学 电子邮箱 年级 高三 教材 人教社 普通高中课程标准实验教科书 B 版 教学设计教学设计 课题课题 三角函数知识梳理 课型课型 单元复习课 一、一、教学内容分析教学内容分析 三角函数不是用自变量的基本运算直接定义， 变量间是一种间接的依赖关系， 复杂而 独特的定义方式导致其既具备高中阶段学生应当掌握的全部函数性质且应用广泛、 解决问 题的方法多样， 又使得其具有大量独特的性质与应用.这部分内容蕴含的数形结合、 转化、 函数与方程等多种思想方法，以及数学抽象、运算、逻辑推理等多种数
2、学核心素养. 本节课所学内容从三角函数知识结构的核心部分出发， 意图建立知识结构， 旨在为高三 复习奠定数学知识、能力、素养基础的同时，又在为复习方法积累重要且实用的知识与策 略. 二、二、学习者分析学习者分析 学生是北京市中关村中学高三文科班的学生.在学习本课时，已经复习了集合与逻辑、 函数等内容， 对于三角函数知识已经有所遗忘， 并且很多学生在高一学习时并没有建立起 对三角函数整个单元知识的完整结构和深入理解， 因而在高三不复习程中他们期待对单元 知识的全面梳理、系统建构和实践指导. 本课是学习正是基于学生现状和需求，引领学生在复习中树立明确的目标，以科学的 认知观指导有计划、有策略的复习
3、.在解题训练之前先深化对知识的理解、记忆，并且在 解决数学问题之后在元认知的监控与调节作用下积极反思. 在本课的学习中学生可能在一些以建构知识为目标的数学问题情境中感到陌生与不 适应，为此设计明确而具体的任务描述十分重要. 三、三、学习目标确定学习目标确定 1. 通过绘制单元知识结构图的方式，分析、评价和调整知识结构，复习三角函数的知识； 2. 在对三角函数单元知识的复习实践过程中，学习建立知识结构的多种策略； 3. 通过在数学情境解决问，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等多种核心素养. 四、四、学习重点难点学习重点难点 重点：描述三角函数单元知识结构的策略与过程； 1 可见的学习：最大
4、程度地促进学习：教师版/（新西兰）哈蒂（Hattie，J.）著；金莺莲，洪超，裴新宁译.-北京：教育科学 出版社，2015.4（2015.9 重印） 难点：在以构建数学知识为目的的数学问题情境中解决问题. 六、六、学习活动设计学习活动设计 环节环节 1：引导学生引导学生通过分析学习需求明确通过分析学习需求明确学习学习目标目标 教师活动教师活动 1： 1. 带领学生回顾课前调研； 2. 向学生解释教师依据课前调研和学习 需求制定的复习观念和学习目标. 复习课的基本观念是：复习过程中包 括知识归并和问题解决两大类学习行为. 其中知识归并涉及了建立知识结构，以及 新旧知识之间的交互；而问题解决的结构
5、 与知识结构之间存在着内在的一致性. 学习的目的是： 1.通过建立知识结构复习三角函数的知 识； 2. 通过对三角函数的复习学习建立知识 结构的策略. 学生活动学生活动 1： 全体学生倾听教师讲解，并回顾自己 填写的调研问卷. 注：这个活动是本节课的先行组织者. 活动意图说明活动意图说明： 教师向学生解释通过调研等各种信息提炼出的学习目的和基本观念，从微观和宏 观两个视角促进学生明确学习目标，进而促进其： 1. 对实现目的抱有更大信心、投入更多努力； 2. 明确和悦纳达到目标所必需的特定行为； 3. 看见自己的进展，维持较高水平的学习动机和熟练表现.1 环节环节 2：通过通过评价评价型认知活动
6、理解构建型认知活动理解构建三角函数知识结构三角函数知识结构的标准与方法（学习任务的标准与方法（学习任务 1） 教师活动教师活动 2： 1. 学习情境：学习情境：教师向学生提供（1）评价 学生活动学生活动 2： 1. 分析任务：分析任务： 单元知识核心结构图的标准； （2）部分典 型的学生作品，来自于问卷中的问题 3. 2. 驱动问题：驱动问题： 在学习过程中，我们可以将整个单元在学习过程中，我们可以将整个单元 的知识绘制成结构图，以体现对知识自的知识绘制成结构图，以体现对知识自 身、知识之间关系的个性化理解（这其中身、知识之间关系的个性化理解（这其中 也包括对单元内、外部知识间的关系的理也包括
7、对单元内、外部知识间的关系的理 解） ，最终帮助我们学会知识解） ，最终帮助我们学会知识. .评价知识结评价知识结 构的标准是：构的标准是： （1 1）意图集中：能够明确体现单元知识）意图集中：能够明确体现单元知识 结构的核心（中心框明确）结构的核心（中心框明确） （2 2）要素齐备：主要知识齐全，概念表）要素齐备：主要知识齐全，概念表 述准确（一级分类全而准）述准确（一级分类全而准） （3 3）关联正确：知识间的关系联结正确、）关联正确：知识间的关系联结正确、 丰富（连线丰富、恰当）丰富（连线丰富、恰当） （4 4）见解独特：除了知识本身，还有自）见解独特：除了知识本身，还有自 己独特的的认
8、识己独特的的认识 （5 5）外部兼容：与本单元以外的知识的）外部兼容：与本单元以外的知识的 关联丰富、正确关联丰富、正确 请你根据所给标准评价以下几种对请你根据所给标准评价以下几种对 三角函数单元知识结构的理解，并谈谈你三角函数单元知识结构的理解，并谈谈你 自己的理解自己的理解. .（详细见附录（详细见附录 1 1） 3. 任务类型：任务类型： 理解-评价型学习任务. 4. 预设应对：预设应对： 依据示例提出“三角函数知识结构核 心”的说法，实际上也就是一级分类下的 概念，为环节二做好铺垫. 5. 活动评价活动评价： 评价发言人（1）对评价标准的运用， 如观点的正确性、引用评标的合理性、证 据
9、的充分性、语言的逻辑性等； （2）通过 评价所体现的对知识结构的理解，其评价 标准与驱动问题中所述评价标准一致； （3）特别关注学生提供的理由中与构建 知识结构的策略和方法，并在点评时给予 强调. 抓住本任务中的要素（1）知识结构具 有个体差异，是对知识的个性化理解； （2） 评价他人作品时需要调用自己对知识的理 解； （3）评价标准是给定的，理解五项评 价标准的具体含义. 2. 制定方案制定方案： 一个较为合理的方案应该依次包括了 理解评价标准、分析学生作品、调用自己 的理解、组织语言等思维动作. 3. 解决问题：解决问题： （1）发表评价：）发表评价：评价中的个人态度可能包 括了赞同、反对
10、、补充、疑问等，均需要 根据给定素材和标准，从知识、关系等角 度给出证据； （2）陈述理解：）陈述理解：依据自己的评价和理解给 出相应的补充、修改等建议. 4. 交流分享：交流分享： 为了提高交流的效率，使用教师提前 印发的学生作品汇总，但如果要提出修改 意见的话，则可能需要使用实物投影或展 示屏. 部分学生作业： 活动意图说明：活动意图说明： 本活动的设计基于调研中问题 3 呈现出的典型示例： （1）知识板块缺失； （2）知 识重点定位偏差； （3）主要概念表述不准确； （4）知识关联的逻辑有误或混乱； （5） 缺乏与单元外部的联系； （6）缺少知识以外的见解； （7）表意不清晰. 根据上述
11、问题教师提炼出了表征单元知识结构的评价标准.本活动的目的在于学 生经历了评价型高阶认识思维活动后，既能够通过实例理解评价标准，又能够通过实 践应用评价标准，对“单元知识结构”有更加深刻的理解，并初步感知一些建构知识 结构的策略与方法。 教师活动教师活动 3 1. 学习情境：学习情境： 在学生对问题 3 回答的基础上，进 一步对应给出学生对问题 4、5 的回答. 2. 驱动问题：驱动问题： 观察观察同学的知识结构图和对学习困同学的知识结构图和对学习困 难的表述，你有什么发现？这对你的高难的表述，你有什么发现？这对你的高 三复习策略有什么启示？三复习策略有什么启示？ 3. 任务类型：任务类型： 对
12、元认知策略的理解-应用型活动 4. 预设应对：预设应对： （1）提示学生关注问题 4、5 中对知识 的表述不准确之处； （2）提示学生关注学习困难之处恰好是 个人知识结构中缺失、含混的地方. 部分学生作业： 学生活动学生活动 3 1. 分析任务：分析任务： 理解任务的核心是寻找学习困难之处 在知识结构中的位置，其目的在于理解通过 知识结构检索学习重点与难点、检查学习漏 洞的策略. 2. 制定方案：制定方案： 一个较为合理的方案包括了对比、检 查、归因等认知活动. 3. 解决问题：解决问题： （1）发现知识结构漏洞与学习困难的关系； （2）发现通过知识构建促进学习的策略. 部分学生作业： 活动意
13、图说明活动意图说明： 本活动基于对学生调研中知识结构与学习困难的对比分析，从不同学生的不同结 果中归纳出了共性的问题，目的是揭示建构知识结构在学习过程中的重要价值，并且 启发学生要加强学习困难之处的知识建构。这也为后面的环节 3 的必要性做好了铺垫. 环节环节 3：分析：分析数学数学史素材提出史素材提出三角函数知识结构的核心三角函数知识结构的核心部分（学习任务部分（学习任务 2） 教师活动教师活动 4 1. 学习情境：学习情境： 给出改编自数学史料的弦表 ，并 介绍三角函数的发展简史. 2. 驱动问题：驱动问题： 古代数学家通过研究得到了被称为古代数学家通过研究得到了被称为 “弦表弦表”的数学
14、成果的数学成果.请你阅读改编自弦表请你阅读改编自弦表 的材料后思考下面的问题：的材料后思考下面的问题： 如图，设圆如图，设圆 O 的半径是的半径是 1.点点 A、B 是圆上的是圆上的 两点， 点两点， 点 M 是线是线 段段 AB 的中点的中点. I. 表中的空格里的数是多少？表中的空格里的数是多少？ II. 材料中涉及哪些数学知识？材料中涉及哪些数学知识？ III. 这张弦表有哪些作用？这张弦表有哪些作用？ IV. 三角函数知识结构图中的 “一级分类”三角函数知识结构图中的 “一级分类” 是什么？是什么？ 3. 任务类型：任务类型： 分析型认知思维活动 4. 预设应对：预设应对： （1） 启
15、发学生发现AOB 和 AB 之间的数 量关系； （2）当学生提及“圆心角与弦的对应关 系”时，启发其思考弧度制弧度制、函数； （3）当学生发现“用圆中的量表示三角 函数”时，启发其对比初高中阶段所学习 的三角函数定义的差别，进而复习三角函三角函 学生活动学生活动 4 1. 分析任务： 抓住材料中 （1）图形元素：三角形、圆、圆心角、弦； （2）数量元素：圆心角、弦长； 联系本课内容，建立这些元素与三角 函数知识的联系. 2. 制定方案： 一个较为合理的方案中应该包括了分 析材料、提取数学知识、应用数学知识、 解释等认知活动；包括应用三角恒等变换、 解三角形、三角函数定义等数学知识；包 括推理证
16、明、数据处理等行动. 3. 解决问题： （1）在三角形中用三角函数、解三角形等 知识把弦 AB（或其一半 AM）与其所对圆 心角（或其一半）之间的图形位置关系转 化为数量关系. （2）利用诱导公式、倍角公式等进行三角 恒等变换； （3）比对锐角三角函数和任意角的三角函 数定义，并发现建立任意角三角函数概念 的必要性； （4）结合在本课所获得的启示思考单元知 识的一级分类. AOB的大小的大小 AB的长度的长度 1010 0.17430.1743 2020 0.34720.3472 3030 0.51770.5177 4040 0.68420.6842 5050 0.84440.8444 606
17、0 120120 180180 数的定义数的定义、三角函数线三角函数线等概念， ； （4）当学生发现 22 22cos=2sin 2 AOB ABAOB （）时，启发 其用倍角公式证明这个等式，并认识到 “三角恒等变换三角恒等变换是三角函数定义中蕴含 的性质” ； （5）当学生发现了可以使用余弦定理在 三角形中表示AOB 和 AB 的数量关系 后，启发其认识“三角函数刻画了三角形 的边角之间的数量关系，因而为解三角形 提供了依据.” 5. 活动评价：活动评价： （1）析取数学知识时的准确性； （2）解释弦表作用时全面性、逻辑性； （3）数学问题解决时的科学性； （4）对学生构建的单元知识结构核
18、心部 分的评价与环节一中的标准一致. 4. 分享交流： 这个问题是数学情境下的数学问题， 因而要通过学生展示数学问题解决的过程 来实现交流，因而可以由学生口述、板书. 而对于形成单元知识结构的核心部分 这个人物，则要留下板书，为下面的环节 奠定基础. 活动意图说明活动意图说明： 本活动基于学生的知识结构中一级分类条目缺失、混乱等问题，旨在通过引导学 生经历分析数学情境，区分与组织相关元素，识别数学概念，并通过分析数学知识的 产生与发展，进而提出全章知识结构核心的过程，学习这种归纳单元知识结构的学习 策略. 教师活动教师活动 5： 对当前学习进程加以过程性评价，并提 炼出第一个构建知识结构的策略
19、，引导学 生继续维持对本课学习目的的专注水平. 学生活动学生活动 6： 全体学生倾听，并随时对教师的讲解加 以反馈. 活动意图说明：活动意图说明： 学习任务 2 中的数学问题是有相当难度的，而且学生又面临着数学问题和建构知 识这两个不同类型的认知任务，因而有必要在此处将学生已经完全分配给数学问题的 注意力资源重新加以调配，回归本课的学习目标，这也是引导学生通过实践学习学习 过程中的元认知策略.因而这个小动作还是有非常重要的价值的. 环节环节 4：分析分析知识之间的逻辑关系，演绎三角函数知识之间的逻辑关系，演绎三角函数的的知识结构知识结构（学习任务（学习任务 3） 教师活动教师活动 6： 1.
20、学习情境：学习情境： 前一个任务中已经建立好的知识结构 的核心部分、调研问题 4 和 5 的学生汇报 中普遍认为三角恒等变换知识和问题是 学习难点.这里的任务情境可以是这样一 段话： “既然大家普遍觉得三角恒等变换部 分的问题比较难，那么这部分知识之间有 什么样的关系呢？大家有没有尝试过把 这里的各种公式建立起一个结构呢？或 者更简单地说，你能够从某一个公式推导 出其他的多少个公式呢？” 2. 驱动问题：驱动问题： I. 如果从三角恒等变换的所有公式中选如果从三角恒等变换的所有公式中选 一个来推导其他的，你会选择哪个公式？一个来推导其他的，你会选择哪个公式？ 为什么？为什么？ II.请你从请你
21、从上面选定的上面选定的这个公式推导其它这个公式推导其它 公式公式. 3. 任务类型：任务类型： 理解-评价型认知思维活动 4. 预设应对：预设应对： （1）引导学生理解为什么从和差角公式 开始推导； （2）引导学生把推导方法提炼出来； （3）从运算量、几何意义等方面解释三 角恒等变换公式与正余弦定理的差异； （4）追问：正弦、余弦定理能够纳入上 述公式系统么？为什么？ 5. 活动评价： （1）公式的准确性； （2）推导的逻辑性； （3）从适用条件、作用等方面比较两类 公式差异. 学生活动学生活动 6： 1. 分析任务： （1）理解本任务与前一个任务的关系； （2）抓住本任务的重点：通过公式间的
22、推 导，建立知识间的联系. 2. 制定方案： （1）梳理全部公式； （2）选择起始公式； （3）选择公式推导过程中的运算方法； 3. 解决问题： （1）在实践过程中逐渐摸索出可以建立联 系的公式的范围同角三角函数基本关 系式、诱导公式、和差角公式、倍角公式 等； （2）用到代换、消元等运算方法； （3）选择适当的关系图表示知识结构. 4. 分享交流： 如果学生反应快则由个人或小组汇报公 式关系结构，否则汇报两个公式间的推导 方法. 预设： 活动意图说明活动意图说明： 在已经建好的知识结构核心部分的基础上，选择一个“一级分类”向纵深继续发 展知识结构是思维的惯性，结合调研中的问题 4 和 5 的
23、学生汇报普遍认为最困难 的知识是三角恒等变换，而且最重要的是在课堂即时调研中学生全部汇报：没有思考 过全章公式之间的联系.因而本活动的设计目的在于帮助学生构建所有公式之间的知 识结构，转变记忆方式，降低机械记忆的负荷，并且通过这个示例学习演绎单元知识 结构的学习策略，学习使单元知识结构增加丰富的联系方式（在图中表现为知识节点 之间闭合的连接线路等）的方法. 环节环节 5：根据知识在问题解决中的应用，发展三角函数的知识结构（学习任务：根据知识在问题解决中的应用，发展三角函数的知识结构（学习任务 4） 教师活动教师活动 7： 1. 学习情境： 数学问题解决、分析过程中用到的数 学知识. 2. 驱动
24、问题： 解答下面的问题，然后谈一谈：这个问题解答下面的问题，然后谈一谈：这个问题 的解法与单元知识结构有什么样的关系？的解法与单元知识结构有什么样的关系？ 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，角中，角 与角与角 均均 以以 Ox 为始边，它们的终边关于为始边，它们的终边关于 y 轴对称轴对称.若若 ，则，则=_. 3. 任务类型： 应用-分析型思维活动 4. 预设应对： （1）课前询问发现学生自发容易想到借 助解题来丰富知识结构； （2）验证一个假设：解题结构和知识结 构存在着一致性：用知识结构解释解题方 法，用解题方法发展知识结构； （3）至少三种解法：分别是从已知条件 中角之间的
25、关系、三角函数之间的关系、 三角函数的值入手； 学生活动学生活动 7： 理解本任务的两个要素数学问题解决、 利用数学问题解决的过程检查和发展数 学知识结构，这是应用型的学习活动. 数学问题解决的预设流程是： 1 sin 3 cos() （4）目前已知知识结构有助于理解和记 忆知识，但是对于解题有怎样的直接作用 尚不明确，故而本任务的作用不是用知识 结构来解题. 5. 活动评价： （1）解法正确与多样； （2）对解法与知识结构之间关系的解读. 活动意图说明活动意图说明 本活动旨在通过实例引导学生学习使用结构化的知识解决问题、在解决问题的过 程中检查和发展已有知识结构的策略，并建立关于知识结构的发
26、展变化观. 环节环节 6：依据本课的学习标准总结学习收获（学习任务：依据本课的学习标准总结学习收获（学习任务 5） 教师活动 8： 依据本课的学习目的，制定明确的学 习标准，并引导学生对自己本课学习活动 加以评价.其评价标准是： 1. 通过建立单元知识结构，至少在两个方 面加深了对三角函数知识的理解； 2. 通过对三角函数知识的复习实践，学到 了至少两种建立知识结构的策略. 学生活动学生活动 8： 对自己本课学习活动加以反思、评价. 活动意图说明：活动意图说明： （1）与课程开始时教师提出的学习目的相呼应，形成完整的课堂过程性评价； （2）培养学生及时评价、自我评价、利用评价学习的元认知策略；
27、 七、七、板书设计板书设计 课题 学习任务 2 产生的问题解答 学习任务 2、3 产生的知识结构图 学习任务 4 产生的问题解答 及结构分析 八、八、作业与拓展学习设计作业与拓展学习设计 根据课上所学知识完成三角函数单元知识结构 九、九、学习资源分析学习资源分析 1. 访谈问卷调研（附录 1） 2. 课堂学习材料（附录 2） 十、十、教学反思与改进教学反思与改进 1. 经过课后随机访谈可以预测学生能够达到评价标准； 2. 备课过程中我产生了一个假设：演绎而得的知识结构系统应该使得元素间具有共同的 性质和特征.对此尚需找到实例，而且如果能够用于数学问题解决则更好； 3. 为了便于提高效率，应该让
28、学生在课前先撰写单元知识清单； 4. 大的学习任务内的小型设问在表述上还可以进一步雕琢， 尤其是在对任务2的解决中； 5. 应该进一步增加小组合作、台前汇报的学生活动方式； 6. 数学问题解决过程中应该增加动画演示； 7. 在单元知识结构评价标准中提到了与单元外的知识建立联系，但是=在本节课中这个 方面涉及的少. 附录附录 1. 访谈问卷调研访谈问卷调研 高三三角函数学习访谈 1. 请简述自己学习数学的过程与方法。 2. 请评价自己学习数学的感受，并说明理由。 3. 三角函数包括哪些知识，这些知识之间的关系是什么？请用关系图表示 。 4. 在三角函数这一章中，你觉得最困难和最容易的知识分别是哪
29、些？为什么？ 5. 在三角函数这一章中，你觉得最困难和最容易的题目分别是什么？为什么？ 6. 在三角函数这一章的复习中，你的目标是什么？ 7. 经过整个高中的学习，你觉得什么是 知识？ 8. 延续上题，从知识的角度来说，学会三角函数的标准是什么？ 9. 你的达标情况如何？ 【指导语】根据自己的实际情况作答，在问题下面和背面作答即可。 附录附录 2. 课堂学习材料课堂学习材料 学习任务 1 在学习过程中，我们可以将整个单元的知识绘制成结构图，以体现对知识自身、知识之间 关系的个性化理解（这其中也包括对单元内、外部知识间的关系的理解） ，最终帮助我们学会 知识. 评价知识结构的标准是： （1） 意
30、图集中：能够明确体现单元知识结构的核心（中心框明确） （2） 要素齐备：主要知识齐全，概念表述准确（一级分类全而准） （3） 关联正确：知识间的关系联结正确、丰富（连线丰富、恰当） （4） 见解独特：除了知识本身，还有自己独特的的认识 （5） 外部兼容：与本单元以外的知识的关联丰富、正确 请你根据所给标准评价以下几种对三角函数单元知识结构的理解，并谈谈你自己的理解. 学习任务 2 古代数学家通过研究得到了被称为“弦表”的数学成果. 请你阅读改编自弦表的材料. 如图，设圆 O 的半径是 1. 点 A、B 是圆上的两点，点 M 是 线段 AB 的中点. 思考后面的问题: I. 表中的空格里的数是多少？ II. 材料中涉及哪些数学知识？ III. 这张弦表有哪些作用？ IV. 三角函数知识结构图中的“一级分类”是什么？ AOB的大小 AB的长度 10 0.1743 20 0.3472 30 0.5177 40 0.6842 50 0.8444 60 120 180 M O B A
