1、空间向量的应用（一）教学设计与反思 浙江省杭州第二中学 谢XX 一、教学内容解析 本节课的内容是利用空间向量解决距离问题，是空间向量应用的第一课时， 以距离问题为载体，用向量方法来解决问题，属于知识应用课 从单元设计角度来看，空间向量的应用，是继空间直角坐标系、空间向量及 其运算、向量基本定理及坐标表示之后，以向量视角来研究立体几何问题立体 几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系运用向量的方法 研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性 和差异，运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，体现向量的工具性本 节课重点研究立体几何中的距离问题，承前启后，
2、学生初步体会向量法在几何问 题解决中的作用，学会类比的研究方法，领会转化与化归的数学思想，培养数学 抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养 距离问题是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的很好的载体，主 要有：两点间距离，点到直线距离，平行线之间距离，点到平面距离，直线到平 面距离，平行平面之间距离，异面直线之间的距离 (选修) 点线距和点面距都是从函数最值角度来定义的，而计算距离可以用综合几何 方法，也可以用解析几何方法，还可以用向量方法本课则是从向量角度来解决, 在问题研究中，由点到线及面，建立几何直观与代数表示的联系，体现形与数的 结合，通过类比，进行知识方法的迁移，并将其他的距离问题转
3、化为点到直线、 点到平面的距离问题 本节课的教学重点：学习向量法处理点到直线的距离，类比探究点到平面的 距离，并能用向量方法解决距离问题 二、教学目标设置 教学指导意见对本节内容的要求是：能用向量方法解决点到直线、点到平面、 相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，并能描述解决这一类问题的程序， 体会向量方法在研究几何问题中的作用结合教学实际，制定教学目标如下： 1通过问题串启发引导，选择合适的向量，合理地表达空间元素，抓住投 影向量，学会用向量来表达点到直线距离 1 2通过自主探究、交流分享等方式，类比研究点到平面的距离问题，合理 转化其它距离问题，体会转化化归思想，并逐步形成问题解决的程
4、序思想方法； 3在解决具体问题的过程中，通过向量方法与综合几何方法的比较，从不 同角度解决空间距离问题，提炼解决问题的通性通法，感受向量方法的工具性； 4学生经历梳理知识、提炼方法、感悟思想的研究过程，提升直观想象、 逻辑推理和数学运算素养 三、学生学情分析 1具备的基础 学生从初中开始认识距离，在必修二的学习中，已有一定的立体几何研究经 验，能熟练建构几何图形，分析几何要素，推理几何关系，定量运算，学生的直 观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算能力已有一定的提升本章前面，学生 在经历空间向量的概念及线性运算之后，已感受空间向量与平面向量之间的内在 联系，体会并运用类比的方法学习空间向量及其运
5、算学生已经能用向量语言表 示直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与 直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系；能用向量方法证明 空间几何中有关直线、平面位置关系的判定定理，都为本课的学习，奠定了扎实 的基础 2可能存在的问题 （1）学生对于抽象的几何问题的分析能力尚有欠缺，对于基底的选择与创设， 用向量语言来刻画几何元素，有一定的困难 （2）学生对于距离已有一定的认识，但缺乏系统性，认识的角度各有不同， 还没有形成几何法、解析法、向量法三者的整体认识 （3）学生对于向量的认识不到位，向量法与坐标法的理解较为模糊，能解决 一些简单具体的问题，但是对于向量
6、的工具性认识不够 3. 教学难点 基于学情分析，本节课的难点确定为：选择合适的向量，合理地表达空间元 素，抓住投影向量，表达空间距离 4难点突破 （1）抽象问题具体化，先找到问题支点，构建思维框架，再放手给学生探究， 2 逐步提升学生数学抽象的素养. （2）简洁地梳理知识方法体系，唤起学生的共识，引导学生站在方法论的角 度来研究问题，不仅学会用向量方法解决距离问题，更要学会研究一般问题的思 路方法 （3）揭示坐标运算之前的向量表示，用向量语言来表示几何元素和几何关系， 通过向量运算来解决问题，体会向量的价值与意义. 四、教学策略分析 向量兼具“数”和“形”的双重形态，是沟通代数和几何的桥梁空间
7、向量 为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决三维空间中图形位置关系与度 量问题的有效工具做好“类比”、合理“转化”，抓住“本质”、学会“方法” 是本节课的教学主线 1本节课的框架设计 为了实现教学目标，我按照以下框架安排本节课的教学： 环节 1：问题启发，建构体系 环节 2：师生共探，提炼方法 环节 3：类比探究，交流分享 环节 4：例题转化，比较分析 环节 5：梳理总结，感悟本质 环节 6：延伸设计，巩固提升 2对教学方法和手段的分析 教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师 断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式通 过问题引入
8、、合作探究、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”向 量法的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与推理；在问题思考中，设置问题 串适时突破难点，注重引导学生建立问题之间的转化与化归通过课堂小结与感 悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领 的辐射作用 另外，根据教学需要，对教材内容和呈现方式作了如下设计： （1）以问题串引导学生主动建构向量方法，在师生互动中，学会用向量来表 示几何元素，选择恰当的基底，并利用投影向量解决距离问题； 3 （2）设置“合作探究，交流分享”环节，类比研究点到平面的距离，形成系 统的研究方法，得到向量法的一般程序，体会向量的工具
9、性； （3）以例题为载体，通过向量方法与综合几何方法的比较，从不同角度解决 空间距离问题，提炼解决问题的通性通法，感受向量方法的工具性. （4）制作实用的多媒体课件，平板“智慧课堂”辅助教学，创新教学模式， 设计合理的板书，辅助课堂教学的有效开展 五、教学过程设计 课堂引入 今年国庆的灯光秀，大家去看了吗？我们杭州钱江新城灯光秀，还在央视直 播，俗话说距离产生美，我现在在钱塘江对岸，这是灯光秀所在大致位置，我离 这里多远？这就是一个距离问题现在屏幕上显示的是“我爱你，中国”，我离 大屏幕也有一个距离生活中，距离随处可见回到数学，几何中你能想到哪些 距离？ 【设计意图】从生活情境到数学问题，唤起
10、学生对距离的认知 （一）问题启发，建构体系 P 1问题串，建构思维 问题 1 几何中有哪些距离问题？ 点点、点线、点面、线线、线面、面面 A l 问题 2 我们先来研究点到直线的距离，怎么求这个距离？ 问题 3 已知：点 P0, 2 ，直线l : 4x 3y 6 0，如何求点到直线的距离？ 问题 4 已知： AP 3, BP 4, AB 5，如何求点到直线的距离？ 【设计意图】学生对距离问题已有一定的认识与理解，这一环节，顺应学生的思 维发展，在学生的主动生成中寻找向量法的生长点，方法不同，本质相同，从而 建构起学生的整个知识体系，形成完整的方法框架，而不仅仅局限在向量法这一 新方法的探索上
11、（二）师生共探，提炼方法 1向量表示，建构问题 问题 5 你能用向量方法来求点到直线距离吗？ 问题 6 如何引进向量，直线是怎么确定的？ 4 用向量表示相关几何元素，直线可以由一个点和方向向量确定，不妨取单位 方向向量 u，以点 A 来刻画点 P 的相对位置，确定 AP 问题 7 你能用这两个向量刻画点到平面的距离吗？ 【设计意图】向量法的直接提出，对学生而言，思维难度较大，学生没有直观的 载体进行操作，对于向量法是迷茫的先建构几何分析，在此基础上尝试使用向 量工具，在学生的最近发展区展开学习，架设思维的台阶，引导学生感受向量法 的生成过程，学会用向量语言来刻画几何要素 2学生操作，师生共探
12、学生活动：自主尝试研究，师生分享交流，形成共识，提炼本质 【设计意图】让不同的学生有不同的发展，鼓励学生方法的多样性，但最终殊途 同归，总结提炼，利用投影向量来刻画垂直关系不同基底的选择，源于对问题 的分析角度不同，也是为了运算的方便 3思考迁移，转化化归 问题：如何求两条平行直线之间的距离？ 学生思考分析，形成共识，转化为点到直线的距离 【设计意图】从点线，到线线，到点面，维度依次递进此处需让学生感悟转化 化归思想，为后续线面距、面面距的转化作铺垫，并过渡到点面距离的研究，承 上启下 （三）类比探究，交流分享 1点到平面的距离探究 探究：我们已经利用向量方法解决了点到直线的距离问题，将两条平
13、行直线之间 的距离转化为点到线的距离，我们能进一步来研究平面 外 一点 P 到平面 的距离问题 （1）启发 问题1：类似于直线有方向向量，平面是如何确定的？ 平面可以由一个点和法向量确定 问题2：你能用这两个向量来刻画点到平面的距离吗？ （2）分组：学生活动，以同桌为小组，讨论交流，并记录在学案上 5 （3）巡视、点拨 （4）学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果 【设计意图】充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后” 的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式，让学 生“动起来”，让课堂“活起来” 类比点线距离的研究过程，合作探究，进一
14、步理解空间向量数量积的几何意义，体会向量方法在研究几何问题中的作用 2提炼方法，梳理小结 用空间向量解决点到平面距离问题的程序： 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量； 第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的长度 【设计意图】无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的 表达形式，法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几个图形直观，又 提供了代数定量刻画在这个过程中向量与起点无关的自由性为求距离带来很大 的便利归纳用向量研究上述距离问题的方法，可以得到通性通法，即程序思想 方法 3问题转化，提炼本质 思考 1：如何求平行于平面的直线 l 到平面
15、 a 的距离 思考 2：如何求两个平行平面之间的距离 【设计意图】师生共析，转化为点到平面的距离，得到统一向量形式，进一步体 会转化化归思想 （四）典型例题，比较分析 例题：在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，F 为线段A1B1 的中点，E 为线 段 AB 的中点 C1 （1）求点 B1 到直线 A1C 的距离； A1 F B 1 D （2）求直线 F C1 到面 A1EC 的距离 C y A E B 1问题解决 x 6 第一问学生先行，师生共同分析完成，教学示范第二问共同分析，学生操 作，投影展示，教师评价 2总结提炼 空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图
16、形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直 线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距 离问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 3方法比较 思考：向量法与综合几何法有什么区别？ 几何法：思维量大，计算量小，对直观想象、逻辑推理素养要求 D1 C1 较高；向量法：计算量大，思维量小，可以化归为统一向量形式，且 A1 B1 向量的选择更自由 4练习巩固 D C A B 练 习 ： 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， 连 结 A1D,BD,CD1, A1B,B1C, B
17、1D1 求平面 A1DB 与平面 D1C B1 的距离 学生活动：独立完成，汇报评价 【设计意图】通过向量方法与综合几何方法的比较，从不同角度解决空间距离问 题，引导学生体会向量方法的优势引导学生树立正确的解题思想，注重思维的 发展，使学生养成良好的解题习惯，培养数学运算、逻辑推理等素养 （五）梳理归纳，感悟本质 这节课学习了哪些内容，是用什么方法研究的？ 本节课用向量法解决了点到直线的距离，并进一步研究了点到平面的距离， 并将其他距离转化为这两个问题其实空间距离是建立在垂直的基础上，垂直在 向量角度体现为投影向量所以，我们用参考向量在直线的方向向量或在平面的 法向量上的投影向量来刻画距离，将
18、几何问题转化为向量问题，而在运算上选择 正交基底，进行坐标化由此可以体会“几何问题代数化，向量坐标贡献大” 【设计意图】垂直反映了距离的本质，垂直意味着线段长度最短，借助勾股定理 7 可以直观、准确地揭示这个本质， 两点间距离公式以及向量投影都可以看作是 勾股定理的应用在总结环节，让学生来梳理总结，提炼方法，形成对向量法研 究几何问题的完整认识 （六）延伸设计，巩固提升 1必做题 完成课后练习 2课后延伸 通过自学、讨论、查资料等方式，认识异面直线之间的距离，学习各种求法，并尝 试用向量法来解决 【设计意图】引导学有余力的学生，运用本节课的研究方法，课后进一步研究其 他距离问题 六、教学反思
19、从实际的教学反馈来看，本节课的总体架构是切实可行的，收效也非常好本 节课的亮点主要体现在以下三个方面： （一）基于数学本质的理解，设计教学思路 本节课是以空间距离问题为载体，用投影向量来刻画垂直关系，解决问题虽 然距离是载体，向量是方法，但方法的运用基于对距离问题的本质理解所以， 首先要唤起学生对距离的认识，从学生的最近发展区切入教学 对于距离概念的理解，直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 这条垂线段的长度叫做点到直线距离点到平面距离是指空间内一点到平面内一 点的最小长度叫做点到平面的距离距离其实是从函数最值角度来定义的，而计 算距离可以用综合几何方法，也可以用解析几何方法，还可
20、以用向量方法本课 则是从向量角度来解决，体现形与数的结合通过几何图形建立直观，通过代数 公式表达规律 （二）基于学生学情，进行教学定位 教学重、难点的确定是否适切，直接影响教学是否有效 本节课的定位和 预设，符合学生认知水平 学生已经学习了空间向量的相关知识，但作为应用的第一课时，学生对抽象 的几何问题的分析能力尚有欠缺，对于基底的选择与创设，用向量语言来刻画几 8 何元素，有一定的困难所以在设计中，将抽象问题具体化，先找到问题支点， 构建思维框架，铺设思维的台阶，再放手给学生探究，逐步提升学生数学抽象的 素养 在设计中，曾考虑是否直接抛出研究问题，这样设计直接，却会淡化向量表 示，而事实上，
21、如何选择基底来刻画几何元素，是学生的薄弱之处本节课不仅 学会用向量方法解决距离问题，更要学会研究一般问题的思路方法所以，此处 通过问题串，梳理知识方法体系，唤起学生的共识，引导学生站在方法论的角度 来研究问题,旨在逐步建构起学生研究问题的思维体系，学会用向量法来研究问 题，对于后续用向量法来研究其他几何问题，作方法铺垫，是本节课的第一大亮 点 （三）基于核心素养的培养，设计学生活动 学生只有亲自参与教学实践，参与问题探究，才能建立起自己的认知结构， 才能进一步灵活的运用所学知识解决实际问题，才能有所发现、有所创新因此， 本节课力争充分发挥学生的主体作用，给学生足够的时间和空间，重视学生合作 交
22、流，并在不同方法的实施过程中，提升学生的逻辑推理、数学抽象等核心素养 1 问题串的活动设计 教学的难点，通过问题串设计，将研究的问题明晰化，引导学生主动建构向 量方法，在师生互动中，逐步用向量来表示几何元素，选择恰当的基底，并通过 向量运算解决几何问题 2合作探究的活动设计 教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师 断后”的教学理念，借助信息技术辅助教学，突显“以学生为主体的教，在教师 引导下的学”的授课模式这是本节课的第三个亮点 通过问题引入、自主探究、合作讨论、交流分享等途径，让学生“动起来”， 让课堂“活起来”，使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程在点到平面
23、 的距离研究中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳，在探究中发现、理解向量 方法；设置问题（串）引导学生主动发现“已知”与“待求”间的“关联”，体 验数形结合、化归转化等数学思想 当然，本节课也存在许多不足之处，需要在后续的教学中加以改进 9 1探究活动开放程度可以尝试进一步放开，教学时间允许的情况下，可以 让更多的学生展示研究成果，收获更多的课堂惊喜 2教学中使用信息技术，效果较好，课堂效率有所提升，但还有很多功能 可以开发使用，更好地辅助教学 七、课堂教学目标检测 1在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点A 到平面B1C 的距离等于 ； 直线DC 到平面AB1 的距离等于 ；
24、平面DA1 到平面CB1 的距离等于 2如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为线段 DD1 的中点， F 为 线段BB1 的中点 （1） 求点 A1 到直线 B1E 的距离； （2）求直线 FC1 到直线 AE 的距离； （3）求点 A1 到平面 AB1E 的距离； （4） 求直线 FC1 到平面 AB1E 的距离 D1 C 1 P G A1 E B 1 D F C F D F A B E （第 4 题） C C D A B （第 2 题） A E （第 3 题） B 3 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD 平面 ABCD，且 PD=1，E、F 分别是
25、 AB、BC 的中点 （1）求点 D 到平面 PEF 的距离； （2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离 4如图，已知 ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC 平面 ABCD 且 GC=2，求点 B 到平面 EFG 的距离 10 空间向量的应用（一）课例点评 浙江省杭州第二中学 陈海玲 本节课的内容是利用空间向量解决距离问题，是空间向量应用的第一课时， 以距离问题为载体，用向量方法来解决问题，属于知识应用课谢老师的课，在 全面理解数学、理解学生、理解教学和理解技术的基础上，有如下特色： 1. 尊重教材，凸显本质 本节课，距离是载体，向量是方法，但方法的运用
26、基于对距离问题的本质理 解由于与教材相关的材料不多，而与距离相关的几何问题却很多，需要教师进 行梳理，提炼方法教师大胆地根据教学实际进行教材的二次开发，在问题的创 设环节启发思维，设计独特.在距离问题的处理中，凸现点线距和点面距，并将 其他距离转化为这两个问题在距离问题上把握较好，深入浅出，适可而止，既 对距离进行一定的解读，又突出向量的工具性本节课的设计在尊重教材的基础 上，凸显了知识之间的联系，以及对问题本质的理解. 2.把握学情，独创思路 学生已经学习了空间向量的相关知识，但作为应用的第一课时，学生对抽象 的几何问题的分析能力尚有欠缺，对于基底的选择与创设，用向量语言来刻画几 何元素，有
27、一定的困难本节课通过问题串，梳理知识方法体系，唤起学生的共 识，引导学生站在方法论的角度来研究问题,逐步建构起学生研究问题的思维体 系，学会用向量法来研究问题，对于后续用向量法来研究其他几何问题，作方法 铺垫 3. 活动设计，落实素养 在知识探究环节，引导学生站在方法论的角度来研究问题，让学生不仅学会 用向量方法解决距离问题，更学会研究一般问题的思路方法教学的难点，通过 问题串设计，将研究的问题明晰化，引导学生主动建构向量方法，在师生互动中， 逐步用向量来表示几何元素，选择恰当的基底，并通过向量运算解决几何问题培 养学生的数学抽象、逻辑推理等素养 例题和练习的配置中，第一问学生先行，师生共同分
28、析完成，教学示范；第 二问共同分析，学生操作，投影展示，教师评价；练习题则完全放手，由学生独 立完成这一环节的设置正是体现了“理解为先”的教育理念，从帮到扶，最后 11 放手给学生做，逐步提升学生的数学运算素养 4. 把控课堂，游刃有余 熟悉学生的认知结构和能力，在学生的最近发展区提问、追问，引导学生建 立原有知识与新知之间联系，引起学生的认知冲突，揭示学生的思维过程；采用 类比策略，降低理解新知的难度，构建新的知识结构过程入情入理；始终围绕教 学重点展开，突破难点抽丝剥茧、水到渠成；多媒体运用恰当，多媒体演示与板 书融为一体，增强课堂教学的有效性. 教师把控课堂和驾驭学生能力强. 5. 学生发展，贯穿始终 教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师 断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式通 过问题引入、自主探究、合作讨论、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课 堂“活起来”，使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程 2018 年 10 月 16 日 12
