1、第 1 页 课题：2.4.1 抛物线及其标准方程 授课教师：吉林毓文中学 李鑫 教材：人教 A 版 高中数学 选修 2-1 一、一、 教学内容解析教学内容解析 本节课的教学内容是抛物线的定义及抛物线的标准方程， 教学重点是抛物线的标准 方程. 普通高中数学课程标准中指出，通过平面解析几何这一单元的学习， “帮助学 生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们 的标准方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面 解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感受平面解析几何中蕴含的数学思 想. ” 本节课内容在本章中的位置如下图： 坐标法 曲
2、线与方程 曲线与方程 求曲线的方程 椭圆 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 双曲线 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性质 抛物线 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性质 抛物线是学生在学习了椭圆、 双曲线的定义及简单几何性质后学习的另一种圆锥曲 线，是坐标法在解析几何中的应用的另一体现. 学习本节课的内容，是对前面已经学习 的圆锥曲线内容的复习与延续，进一步了解曲线与方程的对应关系，也可以再次体验数 形结合的数学思想在数学学习中的应用，同时，熟悉坐标法在解决几何问题时的应用， 第 2 页 能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题，提升学生的直观想象、数学运 算、数学建模、逻辑
3、推理和数学抽象素养. 通过了解抛物线在生活中的应用，进一步了解数学与日常生活、工业生产和科学研 究等方面的密切联系，增强学生的数学应用意识，培养学生在数学建模等方面的核心素 养. 二、二、 教学目标设置教学目标设置 1. 学生能从动态作图的过程中抽象出抛物线的定义，并能从所学定义的角度重新认识 初中的二次函数图象； 2. 通过比较，学生会选择合适的坐标系建立抛物线的方程，进一步熟练坐标法的应用； 3. 结合抛物线及其方程，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思 想； 4. 在学习活动中，学生通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习惯， 提升自主学习与合作学习的能力. 三
4、、三、 学生学情分析学生学情分析 1. 知识上，学生是在高一学习过直线与圆等解析几何初步的内容之后再次学习解 析几何的相关内容，同时刚刚学习了椭圆、双曲线的定义和标准方程，对于曲线与方程 的对应关系有了一定的认识， 但由于抛物线涉及的是到一个点与一条直线的距离相等的 点的轨迹，和刚刚学过的两种曲线稍有区别，处理起来可能会有点困难； 2. 方法上，学生已经初步尝试过坐标法在解析几何中的应用，对于简单的问题可 以用坐标法求解，但对于坐标系的选取、式子的变形与化简等方面经验不足，需要进一 步的指导和强化练习； 第 3 页 3. 态度上，学生对解析几何中数形结合的思想存在一定的畏难情绪，不愿在画图、
5、运算等方面进行尝试，需要一定的成功经验激励学生. 4. 教学难点及突破策略 难点：（1）运用定义推导抛物线的标准方程 （2）坐标法在求抛物线标准方程中的应用 突破策略： （1）提供同心圆与竖直平行线构成的特殊坐标纸，帮助学生理解抛物线的定义； （2）学生之间讨论交流，合作共研，分析选取不同坐标系的利与弊； （3）教师引导学生分析解决问题的方式与方法，学生进行模仿练习. 四、四、 教学策略分析教学策略分析 根据学生已有的学习基础和认知结构，本节课采用启发探究的教学方式，采用问题 串引导学生的探究活动，以此提高学生的学习效率与学习能力. 1. 为了充分调动学生学习的积极性，在上课一开始通过故事的方
6、式引入本节课的 主要研究对象抛物线，同时，设下伏笔，引出抛物线聚集光线的光学性质； 2. 在研究抛物线标准方程时，请学生充分分析坐标系选择的合理性，通过自主尝 试、小组交流等形式，锻炼分析问题和解决问题的能力； 3. 学习新知识后，通过思考和对比的形式，将初中所学知识二次函数的图象 有机结合到本节内容中来，加深对本节课内容的理解. 五、五、 教学过程教学过程 1.1. 创设情境创设情境 激发兴趣激发兴趣 视频讲述有关阿基米德的故事，引出抛物线的模型. 第 4 页 （传说公元前 215 年，古罗马帝国派强大的海军，乘战舰攻打古希腊名城叙拉古. 小小的叙拉古难敌来势汹汹的古罗马大军， 人们就把希望
7、寄托于居住在这里的阿基米德 身上，当时年过古稀的阿基米德，虽然没有绝世的武功，却有聪明的头脑. 他挺身而 出，发动全城的妇女拿着自己的铜镜来到海岸边. 在阿基米德的指挥下，大家站成一条 完美的曲线，让手中的铜镜反射的太阳光恰好集中照射到敌舰的船帆上. 顿时，敌舰起 火，不可一世的罗马海军大败而归. 究竟是怎样的曲线才能有如此强大的威力呢？） 设计意图设计意图通过视频故事激发学生学习兴趣，同时引出本节课的主要研究对象，同时 设置伏笔，为抛物线的应用做好铺垫，培养学生直观想象能力. 2.2. 师生探究师生探究 抽象定义抽象定义 结合信息技术，动态作图. （作图步骤： 点 F 是定点； l 是不经过
8、点 F 的定直线； H 是 l 上任意一点； 过点 H 作直线 l 的垂线 n ； 作线段 FH 的垂直平分线 m 交 n 于点 M ； 拖动点 H，观察点 M 的轨迹. ） 问题问题 1 1：过点 H 的直线 n 与直线 l 垂直，说明了什么？ 教学预设：点 M 到直线 l 的距离恰好为线段 MH 的长. 问题问题 2 2：点 M 在线段 FH 的垂直平分线上，有什么特点？ 教学预设：线段 MF 的长等于线段 MH 的长，进而点 M 到定点 F 的距离与到定直 线 l 的距离相等. 设计意图设计意图通过这些问题设计，让学生体会随着点 H 的移动，点 M 到定点 F 的距离 与到定直线 l 的
9、距离始终相等，进而引导学生抽象出抛物线的定义，提升学生数学抽象 素养. 定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 第 5 页 (parabola). 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线. 问题问题 3 3：为什么要强调定直线 l 不经过定点 F 呢？ （动态演示当直线 l 经过点 F 时点 M 的轨迹形状） 完善定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经过 F）距离相等的点 的轨迹叫做抛物线 (parabola). 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线. 设计意图设计意图通过问题的方式，引起学生
10、的注意，强化对这个限制条件的认识. 3.3. 利用定义，绘制曲线利用定义，绘制曲线 问题问题 4 4：通过抛物线的定义，能不能在右图所给的图形中 描出一条抛物线呢？ 设计意图设计意图圆上的点到圆心的距离都相等，平行线上的点到 定直线的距离都相等， 所以可以借助此图形找到一些到定点和到定直线距离都相等的点， 进而描出一条抛物线. 通过这个练习，让学生进一步熟悉抛物线的定义，掌握定义的本 质. 4.4. 建坐标系，求其方程建坐标系，求其方程 问题问题 5 5：对于确定的抛物线，如何选择坐标系能使所求的方程更简单呢？ 引导学生试着建立坐标系， 同学之间互相借鉴对照， 最后形成三个比较常见的方案 ：
11、设计意图设计意图引导学生自主提出问题，并从数学的角度分析问题，避免直接将结论强加 给学生，注重知识的发生和发展过程，充分暴露结论的形成过程，引导学生学会处理类 似数学问题的思路和方法，提升学生数学运算素养. 在学生充分尝试的基础上，老师和学生一起研究其中一个方案. 在板演的过程中， 第 6 页 注重运算技巧的指导，同时强调引入 p 的意义是焦点与准线的距离，并以此说明为何 p 是大于零的. 在得出其中一种方案后，启发学生有没有更简单的方法得到其他几种情况的方程， 引导学生从曲线的平移这个角度得到曲线方程，进而简化运算过程. 对比分析三种方案，最终选择形式较简单的方案二的结果作为抛物线的标准方程
12、， 同时写出其焦点坐标和准线方程. 接着给出一个巩固性练习： 练习：若抛物线的标准方程是2=6，你能说出它焦点坐标和准线方程吗？ 设计意图设计意图以此练习加强对抛物线标准方程的认识，初步熟悉方程中一次项的系数与 焦点坐标和准线方程的关系. 5.5. 类比分析，对比记忆类比分析，对比记忆 总结常见的四种抛物线类型，分别写出其对应的标准方程、焦点坐标、准线方程. 通过表格的形式，类比得出其他结论，在总结的过程中，从对称变换的角度简化运 算，帮助学生记忆相关内容. 在推导开口向上的抛物线标准方程过程中，学生可能会遇 到困难，可以借助关于直线 y=x 对称的两点的坐标关系来得相应结论. 图图 形形 标
13、准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 第 7 页 设计意图设计意图 类比抛物线的四种常见形态， 从变换的角度分析问题得出结论， 避免重复运算， 同时对比记忆，有助于形成良好的知识网络. 6.6. 新知运用，巩固提高新知运用，巩固提高 练习 1：写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) (2) (3) 2= 2;22+ 5 = 0;2+ 8 = 0. 设计意图设计意图 巩固通过抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程的方法， 以此来对比记忆标 准方程的一般形式、开口方向，并进一步明确p的几何意义. 练习 2：已知抛物线的焦点是求它的标准方程. (0, 2)， 练习 3：已知抛物线的
14、准线方程是求它的标准方程. = 1 4， 设计意图设计意图通过反向的练习，在巩固知识熟练方法的同时，增强学生思维灵活性的训练. 练习 4：已知抛物线的焦点到准线距离是 求它的标准方程. 2， 设计意图设计意图 对于没有明确抛物线的开口方向的类型， 提醒学生学会从不同的角度分类讨论 的思想，进而增加思维的条理性和严密性. 7.7. 质疑反思，强化定义质疑反思，强化定义 第 8 页 问题问题 6 6： 与初中的时候学习的二次函数图象相比较，今天学习的抛物线与二次函数图象 的抛物线是不是一回事呢？ 以y=ax2(a0)为例，引导学生分析能否从标准方程和抛物线的定义角度出发得出结论. 能说明这一情况之
15、后，再分析对于一般的二次函数y=ax2+bx+c(a0)会有相同的结论吗? 设计意图设计意图和已经学过的知识作比较，进一步加强对定义的理解，同时完成相关知识体系 的建构，提升学生逻辑推理和数学运算素养. 8.8. 回归应用，解决问题回归应用，解决问题 问题问题 7 7： 本节课最开始提到的问题，当光线从一定的方向射向抛物线时会被反射聚焦到 焦点上，我们能从本节课所学的知识加以说明吗？ 如图所示，介绍光线入射到点M时，由物理学的知识可知，光线是按切线的方向进行 反射的，只要能说明我们在开始作图的过程中提到的垂直平分线m是抛物线的切线，即可 说明这个问题. 所以，问题转化为证明些直线是抛物线的切线
16、. 而想要证明此直线是抛物线 的切线，只需要用本课所学的抛物线标准方程与直线方程联立，看方程组的解的个数即可. 设计意图设计意图能过本节课所学的知识，解决开始时提到的问题，提高学生的数学应用意 识，同时培养学生能从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力. 9.9. 小结提升，布置作业小结提升，布置作业 第 9 页 作业：（1）教材 第 67 页 练习 1、2、3 （2）请查阅资料，看看抛物线在生活中还有哪有应用呢？ 设计意图设计意图巩固所学的知识，掌握抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程，同时因材施 教，引导学生自己发现生活中的抛物线，让不同层次的学生均有收获，增加学生的数学素养. 六
17、、六、 教学反思教学反思 本节课的教学设计力图通过故事引出问题，再数学的提出问题、分析问题，进而解决问 题，整个环节较为完整，学生的认知结构相对得到较为充分的补充，不过也存在一些小的遗 憾. 一是对于学生在分析四种抛物线标准方程时， 可以再给学生充分的时间和空间让学生探 讨，在学习过程中让学生适当走一些所谓的“弯路”未必是件坏事，可能会更促进学生对知识 本质的理解 ； 二是对学生思维习惯的培养可以在解决过程再适当地加以点拨和引导，让学生 在数学课堂得到更加有效的逻辑思维能力的训练. 第 10 页 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 点评点评 吉林毓文中学特级教师 李艳玲 抛物线及其标准方程这
18、一节课的教学设计，充分研究了普通高中数学课程标准 和教材，准确定位学生当前的认识结构和知识水平，整节课结构合理有效，环节紧凑自然， 数学抽象、 直观想象、 数学运算、 数学建模等数学核心素养在本节课的教学中有足够的体现。 整节课特色鲜明，亮点突出，尤其是在以下几方面表现较为明显： 一、课程的情境导入新颖且恰到好处，能过视频故事将主要研究对象引出，同时将做好 问题预设，为后续课程的内容做好铺垫，结构上首尾照应，是一个完美的整体，对学生来说 是一次难忘的学习之旅； 二、课件设计精良，对每个细节都给予充分的考虑，在画面呈现、数学符号、色彩调配 及图形图象的演示等方面科学准确， 能让学生赏心悦目地接受
19、并学习， 同时也培养了学生严 谨认真的科学研究态度； 三、问题串的合理设计有效地推动了整节课的节奏，科学引导学生的思维进程，真正对 学生的认识起到了促进和导向作用，培养学生的逻辑推理方面的素养； 四、 抛物线的定义过程顺理成章， 尤其是通过信息技术形象生动地呈现了抛物线的形成 过程， 同时对特殊情况加以适当演示说明， 让学生印象深刻， 有助于更加准确理解所学内容， 提升学生的数学抽象和直观想象素养； 五、 画抛物线的环节设计是个亮点， 能上学生在亲眼观看了抛物线的形成过程后再动手 描抛物线，既有方法上的指导，又有动手实践的机会，真正让抛物线看得见摸得着，增加了 学生的学习兴趣，减少了学生学习数学的畏难情绪； 六、与初中的二次函数图象有机结合，既是对原有知识的再认识，也是对本节课内容从 另外一个角度的强化，有助于学生认知结构的完善； 第 11 页 七、 数学的应用在本节课的设计中有相当充分的体现， 尤其是从抛物线聚光的这一光学 性质入手，也在例题中对卫星接收器等有所涉及，让学生觉得数学离我们很近，触手可及， 增强学生的数学应用意识； 八、 对于学生在学习和回答问题中所出现的不准确等内容给予恰当的纠正， 保证了数学 知识的准确性和严谨性。
