1、 1 肥东县高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数 学（文）试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知直线 2 60 xa y与直线2320axaya平行，则a的值为（ ） A. 0 或
2、 3 或1 B. 0 或 3 C. 3 或1 D. 0 或1 2.A、B分别是椭圆 2 2 1 3 x y的左顶点和上顶点， C是该椭圆上的动点，则点C到直 线A B的距离的最大值为（ ） A. 63 B. 63 C. 63 2 D. 63 2 3.某中学高一年级从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加国防知识竞赛，他们取得的成绩（满 分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 xy的值为（ ） A. 8 B. 168 C. 9 D. 169 4.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达， 则这两艘船中至少有
3、一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ） A. 9 16 B. 1 2 C. 7 16 2 D. 3 8 5. 2 11yx 当曲线 33yk x与直线有两个不同交点时，则 k 的取值范围为 （ ） A. 33 33 , 44 B. 3- 3 1 42 ， C. 3- 3 1 42 ， D. 1 33 , 24 6.执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 6，则输出的值为 A. 105 B. 16 C. 15 D. 1 7. 设 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 12 FF、， 上 顶 点 为B. 若 212 BFFF=2，则该椭圆的方程为（ ）
4、 A. 22 1 43 xy B. 2 2 1 3 x y C. 2 2 1 2 x y D. 2 2 1 4 x y 8.如图所示，一个圆乒乓球筒，高为 20 厘米，底面半径为 2 厘米，球桶的上底和下底分别 粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个 平面与两个乒乓球均相切， 且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆， 则该椭圆的离心率 为（ ） 3 A. B. C. D. 9.设点, iii P x y在直线: iiii la xb yc上，若1,2 iii i abc i，且 12 2PP 恒成 立，则 12 cc的值 A. 2 B. 4 C. 6
5、D. 8 10.下列选项中，说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件 C. 命题“若，则”是假命题 D. 命题“在中中，若，则”的逆否命题为真命题 11.已知直线l为圆 22 4xy在点 2,2处的切线，点P为直线l上一动点，点Q为圆 2 2 11xy上一动点，则PQ的最小值为（ ） A. 2 B. 2 1 2 C. 12 D. 2 3 1 12.设 P 是椭圆 22 1 94 xy 上一动点， F1,F2分别是左、 右两个焦点则 12 cosFPF的最小值 是（ ） A. 1 2 B. 1 9 C. 1 9 D. 5 9 二、填空题
6、二、填空题(共共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分) 4 13. 如 果 直 线 1: 150laxb y 和 直 线 2: 1 0la xyb都 平 行 于 直 线 3: 230lxy ，则 12 ,l l之间的距离为_ 14.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校, ,A B C的相关人员中，抽取若干人 组成研究小组，有关数据见表（单位：人） 若从高校,B C抽取的人中选 2 人作专题发言，则这 2 人都来自高校C的概率 P _ 15. 直 线320 xy与 圆 22 4xy相 交 于,A B两 点 ， 则 弦AB的 长 度 等 于 _. 16.设 F1 ，
7、F2分别是椭圆 E：x 2+ =1（0b1）的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为 三、解答题三、解答题(共共 6 小题小题 ,共共 70 分分) 17. （12 分）已知圆 22 :20C xyxmy经过点3, 1. （1）若直线:20lxyt 与圆C相切，求t的值； （2）若圆 22 2 :610(0)Mxyrr与圆C无公共点，求r的取值范围. 18. （10 分）已知命题p： 2 450 xx，命题q： 22 210 xxm （0m） （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若5m， pq为
8、真命题， pq为假命题，求实数x的取值范围 19. （12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖规则如 下：1、抽奖方案有以下两种：方案a，从装有 1 个红球、2 个白球（仅颜色不同）的甲袋 中随机摸出 1 个球，若是红球，则获得奖金 15 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放 回甲袋中；方案b，从装有 2 个红、1 个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出 1 个球，若 是红球，则获得奖金 10 元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中。 抽奖条件是：顾客购买商品的金额满 100 元，可根据方案a抽奖一；满足 150 元，可根据方 案b抽奖 （例如某顾客购买
9、商品的金额为 310 元， 则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种， 根据方案a抽奖三次或方案b抽奖两次或方案, a b各抽奖一次） 。已知顾客A在该商场购买 商品的金额为 250 元。 （1）若顾客A只选择根据方案a进行抽奖，求其所获奖金为 15 元的概率； 5 （2）当若顾客A采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（0 元除 外） 。 20. （12 分）已知直线l经过点6,4P，斜率为k （）若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程； （）若1k ，一条光线从点6,0M出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次反 射回点M，求光线所经过的路程。 21. （12 分）某校
10、高二 2 班学生每周用于数学学习的时间x（单位： h）与数学成绩y（单 位：分）之间有如表数据： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 （）求线性回归方程； （）该班某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时，试预测该生数学成绩 参考数据： 17.4x ， 74.9y ， 10 2 1 3182 i i x ， 10 2 1 58375 i i y ， 10 1 13578 ii i x y 回归直线方程参考公式： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 22.
11、（12 分）已知椭圆 C： （a0，b0）的离心率为 ，点 A（0，2） 与椭圆右焦点 F 的连线的斜率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）O 为坐标原点，过点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时， 求直线 l 的方程 6 参参考考答案答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C C B C A B C C B C 1.D 【解析】直线 2 60 xa y与直线2320axaya平行 2 1 320aaa，即 2 230a aa 0a， 1a，或3a 经验证当3a 时，两直线重合. 故选 D 2.D 【解析】由椭圆方程可得 3,
12、0 ,0,1AB，可得AB方程为 3 10 3 xy ，即 330 xy， 设 3cos ,Csin， 则 点C到 直 线A B的 距 离 为 3cos33 1 3 sin 163 63 242 sin ，故选 D. 【方法点晴】本题主要考查椭圆的方程与性质及利用三角函数求最值，属于难题. 求与三角 函数有关的最值常用方法有以下几种：化成 2 sinsinyaxbxc的形式利用配方法求 最值；形如 sin sin axb y cxd 的可化为 sinxy的形式利用三角函数有界性求最值； sincosyaxbx型，可化为 22sin yabx求最值 .本题是利用方法的思路解 答的. 3.C 【解
13、析】甲班学生成绩的平均分是 85， 79+78+80+80+x+85+92+95=857， 即 x=6. 乙班学生成绩的中位数是 83，甲班学生成绩的中位数是 80+x=83，得 x=3； 若 y1，则中位数为 81，不成立。 7 若 y1，则中位数为 80+y=83， 解得 y=3. x+y=6+3=9，本题选择 C 选项. 4.C 【解析】设甲到达的时刻为 x，乙到达的时刻为 y，则所有基本事件构成的平面区域为 =,|024024x yxy， ， 设“这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待” 为 事 件A ， 则 事 件A包 含 的 基 本 事 件 构 成 的 平 面 区 域 为 =,|
14、024024,6Ax yxyxy，如图中阴影部分所示。 由几何概型概率公式得 18 18 =1 24 24 S P A S 阴影 7 = 16 ， 即这两艘船中至少有一艘在停靠 泊位时必须等待的概率为 7 16 ，选 C。 5.B 【 解 析 】 由 图 知 ， k的 取 值 范 围 为, ABAC kk, 由AB与 圆 相 切 得 2 2 31 333333 11 181230 44312 1 ABAC k kkkkk k k 的取值范围为 3- 3 1 42 ，,选 B. 8 6.C 【解析】根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的依次进行运算求，根据判断 框中的条件判断运算是否执行，
15、得到结果，故选 C 7.A 【解析】由已知可得 222 1 3 2 c bac a 所求方程为 22 1 43 xy ，故选 A. 8.B 【解析】不妨设椭圆方程为 =1，（ab0）， 由题意得 ， 解得 a=8，b=2，c= =2 ， 该椭圆的离心率为 e= = = 故选：B 9.C 【解析】由题意得当 111 1iabc时，所以直线 1 l过定点1,1M， 当 222 22()iabc时，所以直线 2 l过定点2,2N。 12 2PP 恒成立， 12 ll。 又 22 1 21 22MN ， 12 ,MNl MNl, 9 2 1 1 2 1 MN k 12 ,l l的斜率为1。 直线 1
16、l的方程为11yx ，即2xy； 直线 2 l的方程为22yx，即4xy。 12 246cc。选 C。 10.C 【解析】对应 A，命题“，”的否定是“，”错误；对于 B，当命 题“为真”，可能一真一假，不一定是真命题， 当是真命题时，都 是真命题，此时为真，故命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件， 错误；对于 C，若，当时，与的大小关系不确定，假命题；对于 D， “在中中，若，则或，假命题，命题的逆否命题也是 假命题，故答案为 C 11.B 【解析】由题意可得：直线l为 y22x ，即xy2 20 圆心1,0到直线l的距离为 d 1 02 2 2 2 22 ， PQ的最小值为 22 2
17、11 22 故选：B 12.C 【解析】由椭圆的对称性可知当点 P 为短轴顶点时 12 FPF最大，此时 12 cosFPF取得最 小值，此时 1212 322 5PFPFaFFc 2 22 12 21 cos 29 aac FPF a a 13.2 5 【解析】 13 / /ll，2 -(1)0ab，同理2 110a ，解得 1 ,0 2 ab ，因此 1: 2100lxy， 2: 20lxy， 2 5d 10 14. 3 10 【解析】根据分层抽样的方法，可得 2 361854 xy ，解得1,3xy， 所以若从高校,B C抽取的人中选2人作专题发言，共有10种情况， 则这二人都来自高校C
18、共有3种情况，所以概率为 3 10 P C 15.2 3 【解析】 22 4xy圆的圆心为0 0，.半径2r ， 圆心到直线320 xy的距离 2 1 2 d 弦长2 4 12 3AB 故答案为2 3 16.x 2+ =1 【解析】由题意，F1（c，0），F2（c，0），AF2x 轴，|AF2|=b 2 ， A 点坐标为（c，b 2）， 设 B（x，y），则 |AF1|=3|F1B|， （cc，b 2）=3（x+c，y） B（ c， b 2）， 代入椭圆方程可得 ， 1=b 2+c2 ， b 2= ， c2= ， x 2+ =1 所以答案是：x 2+ =1 11 17.(1) 1t 或9t .
19、 (2) 0,135135,r 【解析】将点3, 1的坐标代入 22 20 xyxmy， 可得4m， 所以圆的方程为 22 240 xyxy，即 22 125xy， 故圆心为1, 2C，半径5r . （1）因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离等于圆的半径， 即 2 2 2 12 5 21 t ， 整理得45t， 解得1t 或9t . （2）圆M的圆心为6,10M，则13MC , 由题意可得圆M与圆C内含或外离， 所以135r或135r， 解得135r 或135r . 所以r的取值范围为 0,135135,. 18.（1）4,m； （2）4, 15,6x 【解析】 （1）对于1,5pA
20、 ：，对于q:1,1Bmm， 由已知， AB， 1-m1, 15,m 4,m. （2）若p真： 15x ，若q真： 46x ， 由已知， p、q一真一假. 若p真q假，则 15 46 x xx 或 ，无解； 若p假q真，则 15 46 xx x 或 ，x的取值范围为4, 15,6. 12 19.(1) 4 9 ；(2)15 元. （1）记甲袋中红球是r，白球分别为 12 ,w w 由题意得顾客A可以从甲袋中先后摸出 2 个球，其所有等可能出现的结果为 121111222122 ,r rr wr ww rw ww ww rw ww w共 9 种， 其中结果 1212 ,r wr ww rw r可
21、获奖金 15 元， 所以顾客A所获奖金为 15 元的概 率为 4 9 . （2）由题意的顾客A可以根据方案a抽奖两次或根据方案, a b各抽奖一次。由（1）知顾客 A根据方案a抽奖两次所获奖金及其概率如表 1： 记乙袋中红球分别是 12 ,R R，白球W 则顾客A根据方案, a b各抽奖一次的所有等可能出现的结果为 121112121222 ,r Rr Rr Ww Rw Rw Ww Rw Rw W共 9 种 其中结果 12 ,r Rr R可获奖金 25 元。结果, r W可获奖金 15 元， 111212122 ,w Rw Rw Ww Rw R可获奖金 10 元，其余可获奖金 0 元，所以顾
22、客A根据方案, a b各抽奖一次所获奖金及其概率如表 2： 由表 1，表 2 可知顾客A最有可能获得的奖金数为 15 元. 20.（1）:230lxy或:2160lxy； （2）4 17. 【解析】 （）由题意得0k 。 直线l的方程为4664yk xyk x，即， 令0 x，得64yk 13 令0y ，得 4 6x k l的纵截距是横截距的两倍 4 6426k k 解得 2 3 k 或2k 直线 2 64 3 lyx的方程为或264yx， 即230 xy或2160 xy （）当1k 时，直线100lxy的方程为， 设点M关于l的对称点为 1 ,Ma b， 则 1 6 6 100 2 b a
23、a y ， 解得 10 4 a b ， 1 10,4M点的坐标为， 1 10,4M关于y轴的对称点为 2 10,4M 光线所经过的路程为 2 2 2 |6+10+(0-4)4 17M M 21.（1）（2） 【解析】 （）， ， 因此可求得回归直线方程. （）当时， 故该同学预计可得分左右 14 22. 【解析】（1）设 F（c，0） 直线 AF 的斜率为 ， = ，解得 c= 又离心率为 e= = ， 由 b 2=a2c2，解得：a=2，b=1， 椭圆 E 的方程为 +y 2=1 （2）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线 l 的方程为：y=kx2，与椭圆方程联 立， 整理得：（1+4k 2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0 时，即 k2 时， x1+x2= ，x1x2= ， |PQ|= ， 点 O 到直线 l 的距离 d= ， SOPQ= d|PQ|= ， 设 =t0，则 4k 2=t2+3， SOPQ= = 1， 当且仅当 t=2，即 =2，解得 k= 时取等号，且满足0， OPQ 的面积最大时，直线 l 的方程为：y= x2
