1、浙东北联盟（ZDB）2020-2021 学年第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1圆 22 2410 xxyy 的圆心坐标为（ ） A （1，2） B （-1，2） C （1，-2） D （-1，-2） 2由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相 等的四棱锥） ，四个侧面由 673 块玻璃拼组而成，塔高 21 米，底宽 34 米，则该金字塔的体积为（ ） A 3 8092m B 3 4046m C 3 24276m D 3 12138 m
2、 3 如图所示是水平放置的三角形的直观图， 点D是BC的中点， 且2ABBC，AB，BC分别与 y 轴、 x 轴平行，则ACD在原图中的对应三角形的面积为（ ） A 2 2 B1 C2 D8 4一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（ ） A B C D 5 长方体 111i ABCDABC D中，2ABBC， 1 1AA ， 则二面角 11 ABDC的余弦值的大小为 （ ） A 6 3 B 1 3 C 1 3 D 6 3 6设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若n，则/n B若/m，/n，/ ，则/m n C若m，/ ，则m D若m，
3、/n，则n 7 若 2 3 , 2 , 1 , 0 , , 1 3 a ， 则方程 222 2210 xyaxayaa 能表示的不同圆的个数为 （ ） A1 B2 C3 D4 8设直线l：(21)(1)330()axayaaR与圆C： 222 (1)(0)xyrr交于A，B两点， 当实数a变化时，ABC的最大面积为 9，则此时a的值为（ ） A4 B1 或 4 C1 D1 或 1 10 9已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点E是棱AD的中点，点F，G在平面 1111 ABC D内，若 5EF ，CEBG，则FG的最小值为（ ） A2 1 B 3 5 1 5 C 1 2 D
4、3 5 5 10已知tR，点 00 ,A x y表示不在直线l： 2 1 10 4 txty 上的点，则所有点 00 ,A x y构成的 图形的面积为（ ） A B2 C4 D8 二、填空题：本大题共 7 小题。 11已知球的体积为 32 3 ，则此球的表面积为_. 12圆锥底面半径为 1，高为2 2，轴截面为PAB如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，则 最短绳长为_. 13已知 1 C： 22 2410 xyxy 与 2 C： 22 230 xyx 相交于A，B两点，则直线AB的 方程为_，以线段AB为直径的圆的方程为_. 14一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，表面积
5、为_. 15若C： 22 0 xyDxEyF关于直线 1 l：0 xy与直线 2 l：20 xy都对称，则DE =_， 点2 , 2P， 若点Q在C上， 当CPQ的最大值不超过 45时， 实数F取值范围是_. 16如图，三棱台 111 ABCABC中， 11 ACC AABC平面平面，ABAC， 1111 1AAACCC， 2ABAC，则异面直线 1 AA与 1 BC所成角的余弦值为_. 172020 年是中国传统的农历“鼠年” ，现用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象如图，0, 2A是A的圆 心，且A过原点；点B，C在x轴上，圆、C的半径均为 1，B、C均与A相切直线l过 原点 （1）若直线l与
6、B、C均相切，则直线l截A所得的弦长为_； （2）若直线l截A、B、C所得的弦长均等于m，则m=_. 三、解答题：本大题共 5 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18已知正方体 1111 ABCDABC D，E为棱AB的中点. （）求证： 11 DEBC； （）求证： 11 /ACEBC平面 19已知C： 22 16xy （）设点,Q x y为C上的一个动点，求43xy的范围； （）直线l过点3,4P，且与C交于A、B两点，若2 7AB ，求直线l的方程 20在斜三棱柱 111 ABCABC中，ABAC， 1 BCABC平面，且2ABAC， 1 2 3AA （）求证： 111 A
7、BCABB A平面平面； （）求直线 1 BC与平面 11 ABB A所成角的正弦值 21在平面直角坐标系xOy中，点3,0A ，直线l：4yx，设C的半径为 2，圆心在直线l上 （）若C与直线28yx 相交于E，F两点，且AEAF，求C的方程； （）若C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围 22如图，在平行四边形ABCD中，4AB ，60DAB点G，H分别在边CD，CB上，点G与 点C，D不重合，GHAC，GH与AC相交于点O，沿GH将CGH翻折到EGH的位置，使二 面角EGHB为 90，F是AE的中点 （）请在下面两个条件：ABAD，ABBD中选择一个填在横线处， 使命题
8、P：若_，则BDEOA 平面成立，并证明 （）在（）的前提下，当EB取最小值时，求直线BF与平面EBD所成角的正弦值 浙东北联盟（ZDB）2020-2021 学年第一学期期中考试 高二数学答题卷 一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A B C B D B C 二、填空题：本大题共 7小题 1116. 123 3 1310 xy ； 22 (1)2xy 143；636150；7,2). 16 3 7 14 . 17 4 5 5 ； 4 3 . 三、解答题：本大题共 5 小题，解答应
9、写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （）证明：连结 1 D A， 1 AD，则 11 /AD BC， 11 ADD A是正方形， 11 D AAD 11 AEADD A平面， 1 AEAD又 1 D AEAA， 11 ADAED平面 11 D ED AE 平面， 11 D EAD， 11 DEBC （）证明：连结 1 BC，与 1 BC相交于点O E，O分别是AB， 1 BC的中点， 1/ ACEO， 又 1 ACBEC平面， 1 OEB EC平面， 11 /ACEBC平面 19解析： （）设43xyt，则直线43xyt与C有公共点， 所以圆心到直线的距离4d 22 4 43 t ，解得2
10、020t （）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为3x ，l与圆的两个交点坐标为(3, 7)，(3,7)，这两 点的距离为2 7，满足题意； 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为43yk x， 即340kxyk，设圆心到此直线的距离为0d d ，则 2 2 72 16d， 得3d ，从而 2 34 3 1 k k ，得 7 24 k ，此时直线方程为724750 xy， 综上所述，所求直线方程为724750 xy或3x 20 （）证明： 1 BCABC平面， 1 BCAB 又ABAC，所以 1 ABABC平面， 所以 111 ABCABB A平面平面； （）设 11 BCBCO，作 1 OEAB
11、于E，连结BE， 111 ABCABB A平面平面于 1 AB， 11 OEABB A平面， EBO为 1 BC与平面 11 ABB A所成角； 由已知2ABAC， 1 2 3BB ，得 1 2BC ， 1 2 2B A， 22 3BOBCOC， 在等腰直角 1 ABC中， 2 2 OE ， 所以 2 sin 6 OE EBO OB ，即 1 BC与平面 11 ABB A所成角的正弦值为 2 6 . 21解： （）设EF的中点为G，连结AE，AF，CE，CF，AG，CG， 由已知得AGEF， 又CECF，所以CGEF，则可得ACEF， 则直线AC的方程为 1 3 2 yx， 圆心C满足 4 (
12、 5, 1) 1 (3) 2 yx C yx ， 则圆C的方程为 22 (5)(1)4xy （）C的圆心在在直线l：4yx上，所以，设圆心C为,4a a则C的方程为 22 ()(4)4xaya 又2MAMO，设( , )M x y， 2222 (3)2xyxy整理得： 2 2 14xy 设此为D 点M应该既在C上又在D上即：C和D有交点， 22 221422aa 由 2 26170aa得aR 由 2 2610aa 得 3737 22 a 终上所述，a的取值范围为： 3737 , 22 . 22解： （）命题P：若ABAD，则BDEOA 平面. ACGH，AOGH，EOGH， 又二面角EGHB的
13、大小为 90， 90AOG，即EOAO， EOABCD 平面， EOBD， 又ABBC，AOBD， AOEOO， BDEOA 平面. （）设AC与BD交于点M，4AB ，60DAB，则4 3AC ， 设COx，2 3OMx， 2222 4 316OBOMMBxx， 2222 24 316EBEOOBxx， 当3x ， min 10EB， 连结EM，作QFEM于F，连结BF， 由（）知BDEOA 平面， BDQF，QFEBD平面， QBF即为QB与平面EBD所成角， 在RtEMB中，10EB ，2BM ，6EM ，30AE ， 由 2222 22 (2)2 2 QBAEABBEQB， 6 2 QF ， 33 sin 11 QF QBF QB ，即QB与平面EBD所成角得正弦值为 33 11 .
