1、 类型一类型一 用数学的眼光观察世界用数学的眼光观察世界数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象 素养 1 数学抽象 数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方 法与思想，认识数学结构与体系. 【例 1】 (2020 北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加 强污水治理， 排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关 系为 Wf(t)，用f（b）f（a） ba 的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理 能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论： 在t1，t2这段时间内，甲企业的污
2、水治理能力比乙企业强； 在 t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是_. 解析 f（b）f（a） ba 表示在a，b上割线斜率的相反数，f（b）f（a） ba 越 大治理能力越强. 对于，在t1，t2这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企 业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于，要比较 t2时刻的污水治理能力， 即看在 t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强， 故在 t2时刻，甲企业的污水治理
3、能力比乙企业强，正确；对于，在 t3时刻，甲、 乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于，甲在t1，t2这 段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为. 答案 【训练 1】 如图，圆 O 的半径为 1，A，B 是圆上的定点，OBOA，P 是圆上的 动点， 点 P 关于直线 OB 的对称点为 P， 角 x 的始边为射线 OA， 终边为射线 OP， 将|OP OP |表示为 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图象大致为( ) 解析 建立如图的平面直角坐标系，则 P(cos x，sin x)，P(cos(x)，sin(x)， 即 P(cos x，sin x)， O
4、P OP (cos x，sin x)(cos x，sin x)(2cos x，0)， f(x)|OP OP |2|cos x|.故选 A. 答案 A 素养 2 直观想象 直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直 观理解问题，运用空间想象认识事物，构建数学问题的直观模型解决问题. 【例 2】 (多选题)(2020 海南新高考诊断)如图， 在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AB 2AA1，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦 值为 m，则( ) A.m 3 3 B.直线 A1E 与直线 C1F 共面 C.m 2 3 D.
5、直线 A1E 与直线 C1F 异面 解析 连接 EF，AC，A1C1，C1D，DF，因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以 EFAC，所以 EFA1C1，所以直线 A1E 与直线 C1F 共面.因为 AB1C1D，所以 异面直线AB1与C1F所成的角为DC1F.设AA1 2， 则AB 2AA12， DF 5， C1F 3，C1D 6.在DC1F 中，由余弦定理，得 mcos DC1F 365 2 3 6 2 3 .故选 BC. 答案 BC 【训练 2】 (2020 新高考山东卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一 点，则AP AB的取值范围是( ) A.(2，6) B.(6，2) C.(2，4) D.(4，6) 解析 如图， 取 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 则 A(0， 0)，B(2，0)，C(3， 3)，F(1， 3).设 P(x，y)，则AP (x，y)，AB(2，0)，且 1x3.所以AP AB(x，y) (2，0)2x(2，6).故选 A. 答案 A
