1、专练专练 不等式不等式 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是( ) A.ac2bc2 B.1 a a b D.a2abb2 解析 c0 时，A 不成立； 1 a 1 b ba ab 0，B 错； b a a b b2a2 ab （ba）（ba） ab 0，C 错； 由 ababb2，D 正确. 答案 D 2.已知关于 x 的不等式(ax1)(x1)0 的解集是(，1) 1 2， ，则 a ( ) A.2 B.2 C.1 2 D.1 2 解析 依题意，1
2、与1 2是(ax1)(x1)0 的两根，且 a0，b0 且 2ab4，则 1 ab的最小值为( ) A.2 B.1 2 C.4 D.1 4 解析 因为a0，b0，故2ab2 2ab(当且仅当2ab，即a1，b2时取等 号). 又因为 2ab4， 2 2ab400，y0，得 4x29y23xy2 (2x) (3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号 成立)，12xy3xy30，即 xy2，当且仅当 x 3，y2 3 3 时取等号，xy 的最大值为 2. 答案 C 6.(2020 滨州模拟)设 x0，y0，x2y5，则（x1）（2y1） xy 的最小值为 ( ) A.2 2 B.2 3 C.4 2
3、 D.4 3 解析 x0，y0， xy0. x2y5，（x1）（2y1） xy 2xyx2y1 xy 2xy6 xy 2 xy 6 xy2 124 3， 当且仅当 2 xy 6 xy， 即 x3，y1 或 x2，y3 2时取等号. （x1）（2y1） xy 的最小值为 4 3. 答案 D 7.设 a0，若关于 x 的不等式 x a x15 在(1，)上恒成立，则 a 的最小值为 ( ) A.16 B.9 C.4 D.2 解析 在(1，)上，x a x1(x1) a x11 2（x1） a （x1）12 a1(当且仅当 x1 a时取等号).由题意知 2 a15.所以 a4. 答案 C 8.(20
4、20 宜昌模拟)若对任意的 x1，5，存在实数 a，使 2xx2ax b6x(aR，b0)恒成立，则实数 b 的最大值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析 已知当 x1，5时，存在实数 a，使 2xx2axb6x 恒成立，则x2 2xaxbx26x，令 f(x)x22x(1x5)，g(x)x26x(1x5)， 作出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，要使b最大，且满足x22xaxbx2 6x(1x5)，则直线 yaxb 必过(1，5)，且与函数 yf(x)的图象相切于点 B. 易得此时 b5a，此时的直线方程为 yax5a.由 yax5a， yx22x， 得 x2(a 2)x
5、5a0.(a2)24(5a)0，解得 a4 或 a4(舍去)，bmax 5(4)9.故选 A. 答案 A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 德州模拟)对于实数 a，b，c，下列命题中正确的是( ) A.若 ab，则 acbc B.若 ababb2 C.若 cab0，则 a ca b cb D.若 ab，1 a 1 b，则 a0，b0，则由 ab 得 acbc，A 错；若 abab，abb2， a2abb2， B 正 确 ；若 cab0 ，
6、 则 c bc a0 ， 1 ca 1 cb 0 ， a ca b cb，C 正确；若 ab，且 a，b 同号，则有 1 ab， 1 a 1 b得 a0，b0，D 正确.故选 BCD. 答案 BCD 10.(2020 石家庄一模)若 a，b，cR，且 abbcca1，则下列不等式成立的 是( ) A.abc 3 B.(abc2)3 C.1 a 1 b 1 c2 3 D.a2b2c21 解析 由基本不等式可得 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，2(a2b2 c2)2(abbcca)2， a2b2c21，当且仅当 abc 3 3 时，等号成立.(abc)2a2b2 c22(abbcc
7、a)3， abc 3或 abc 3.若 abc 3 3 ，则1 a 1 b 1 c3 30，xy2，则 2x2y的最大值为 4 B.若 x0，xyxy3，则 xy 的最小值为 1 D.函数 y 1 sin2x 4 cos2x的最小值为 9 解析 对于 A，取 x3 2，y 1 2，可得 2 x2y3 24，A 错误；对于 B，y2x 1 2x1 12x 1 12x 1211，当且仅当 x0 时等号成立，B 正 确；对于 C，易知 x2，y1 3满足等式 xyxy3，此时 xy 2 30，8b0，所以 2a 1 8b2 2a 1 8b2 2 a3b 2 1 4，当且仅当 2 a1 8b，即 a3
8、，b1 时取等号.故 2 a1 8b的最小值为 1 4. 答案 1 4 14.(2020 深圳统测)已知 x0，y0，且 x2yxy，若 x2ym22m 恒成立，则 xy 的最小值为_，实数 m 的取值范围为_.(本小题第一空 2 分，第 二空 3 分) 解析 x0，y0，x2yxy，2 x 1 y1，1 2 x 1 y2 2 x 1 y，xy8，当 且仅当 x4，y2 时取等号，x2yxy8，m22m8，解得4m2. 答案 8 (4，2) 15.(2020 天津卷)已知 a0，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 _. 解析 因为 a0，b0，ab1，所以原式ab 2
9、a ab 2b 8 ab ab 2 8 ab 2 ab 2 8 ab4，当且仅当 ab 2 8 ab，即ab4时，等号成立.故 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 答案 4 16.(2020 江苏卷)已知 5x2y2y41(x，yR)，则 x2y2的最小值是_. 解析 法一 由题意知y0.由5x2y2y41，可得x21y 4 5y2 ，所以x2y21y 4 5y2 y214y 4 5y2 1 5 1 y24y 2 1 52 1 y24y 24 5，当且仅当 1 y24y 2，即 y 2 2 时 取等号.所以 x2y2的最小值为4 5. 法二 设 x2y2t0，则 x2ty2. 因为 5x2y2y41，所以 5(ty2)y2y41， 所以 4y45ty210. 由 25t2160，解得 t4 5 t4 5舍去 . 故 x2y2的最小值为4 5. 答案 4 5
