1、第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 基础过关练基础过关练 题组一题组一 复数的概念及分类复数的概念及分类 1.(2019 北京八中高二期中)1-i 的虚部为( ) A.i B.-i C.1 D.-1 2.复数 3-4i-i 2的实部是( ) A.3 B.4 C.4i D.-4i 3.设 a,bR R,“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分
2、也不必要条件 4.2i,-1-3i, , +i,i 2中,虚数的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.设集合 A=实数,B=纯虚数,C=复数,若全集 S=C,则下列结论正确的是 ( ) A.AB=C B.A=B C.A(SB)= D.(SA)(SB)=C 6.若复数 z=m 2-1+(m2-m-2)i 为实数,则实数 m 的值为( ) A.-1 B.2 C.1 D.-1 或 2 7.已知复数 z=a 2+(2a+3)i(aR)的实部大于虚部,则实数 a 的取值范围 是 . 8.若 log2(x 2-3x-2)+ilog 2(x 2+2x+1)1,则实数 x 的值是 . 9.已知复数
3、 z=m(m-1)+(m 2+2m-3)i,求当实数 m 取什么值时,复数 z 是(1)零;(2)纯 虚数. 题组二题组二 复数相等的充要条件复数相等的充要条件 10.若复数 4-3a-a 2i 与复数 a2+4ai 相等,则实数 a 的值为 ( ) A.1 B.1 或-4 C.-4 D.0 或-4 11.若 xi-i 2=y+2i,x,yR,则复数 x+yi 等于( ) A.-2+i B.2+i C.1-2i D.1+2i 12.已知集合 A=k 2-3k+ki|kR,B=4+(5k+4)i|kR,若 A=B,求 k 的值. 13.已知 x 2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数 x,y
4、 的值. 题组三题组三 复数的几何意义复数的几何意义 14.已知复数 z=(a-1)+ai(i 为虚数单位,aR)在复平面内对应的点位于第二象限, 则复数 z 的虚部可以是( ) A.- i B. i C.- D. 15.复数 z=2i-1(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16.向量 a=(-sin 2,1)对应的复数是( ) A.z=1+isin 2 B.z=1-isin 2 C.z=-1+isin 2 D.z=-sin 2+i 17.已知复数 z=x+1+(y-1)i 在复平面内对应的点位于第二象限,则点(x,y)所构
5、成 的平面区域是( ) 18.复数 z1=1+ i 和 z2=1- i 在复平面内对应的点关于 ( ) A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称 C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称 19.在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x 上,则实数 m 的值 为 . 20.复数 z=x-4+(x-2)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 x 的取值范围 是 . 21.当实数 m 为何值时,复数(m 2-8m+15)+(m2+3m-28)i(i 为虚数单位)在复平面中对 应的点 (1)位于第四象限; (2)位于 x 轴的负半轴上. 题组四题组四 复数的模复数的模 22
6、.(2019 北京牛栏山一中高三月考)设 z=1+i(i 为虚数单位),则|z|=( ) A.1 B. C.2i D.i 23.已知复数 z=(m-3)+(m-1)i 的模等于 2,则实数 m 的值为( ) A.1 或 3 B.1 C.3 D.2 24.(1)若复数 z= - +(a 2-a-6)i(aR R)是实数,求 z 1=(a-1)+(1-2a)i 的模; (2)已知复数 z=3+ai(aR R),且|z|0(m,n,pR)的解集为(-1,2),则复数 m+pi 对 应的点位于复平面内的第 象限. 8.()如果复数 z 的模不大于 1,而 z 的虚部的绝对值不小于 ,则复平面内复 数
7、z 对应的点组成的图形的面积是 . 三、解答题 9.()已知(m 2-3m-1)-(m2-5m-6)i=3,求实数 m 的值. 10.()已知复数 z1= - +(a 2-1)i,z 2=m+(m-1)i(i 是虚数单位,aR R,mR R). (1)若 z1是实数,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若|z1|2a+3,即 a2-2a-30,解得 a3 或 a-1, 因此,实数 a 的取值范围是(-,-1)(3,+). 8.答案答案 -2 解析解析 由题意知 - - 即 - - 解得 或 - 或 - 即 x=-2. 9.解析解析 (1)由题意得 - - 解得 m=1,即 m=1 时,复数
8、 z=0. (2)由题意得 - - 解得 m=0, 即 m=0 时,复数 z=-3i 为纯虚数. 10.C 由复数相等的充要条件得 - - 解得 a=-4,故选 C. 11.B 由 i 2=-1,得 xi-i2=1+xi,则由题意得 1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件 得 x=2,y=1,故 x+yi=2+i. 12.解析解析 由题意得 k 2-3k+ki=4+(5k+4)i,从而 - 解得 k=-1. 13.解析解析 由复数相等的充要条件得方程组 - - - 由得 x=y+2,代入得 y 2+2y-1=0. 解得 y1=-1+ ,y2=-1- . 所以 x1=y1+2=1+ ,x2=
9、y2+2=1- . 即 - 或 - - - 14.D 因为 z=(a-1)+ai, 所以在复平面内对应的点的坐标为(a-1,a), 又因为该点在第二象限, 所以 - 所以复数 z 的虚部 a 的取值范围为 0a1. 15.B z=2i-1=-1+2i,对应的点 Z(-1,2)位于第二象限,故选 B. 16.D 向量 a=(-sin 2,1)对应的复数是 z=-sin 2+i,故选 D. 17.A 由题意得 - 即 - 故点(x,y)所构成的平面区域为 A 选项中 的阴影部分. 18.A 复数 z1=1+ i 在复平面内对应的点为 Z1(1, ),复数 z2=1- i 在复平面 内对应的点为 Z
10、2(1,- ),点 Z1与 Z2关于实轴对称,故选 A. 19.答案答案 9 解析解析 z=(m-3)+2 i 表示的点在直线 y=x 上,m-3=2 ,解得 m=9. 20.答案答案 (2,4) 解析解析 复数 z 在复平面内对应的点在第二象限, - - 解得 2x4. 21.解析解析 (1)由 - - 得 或 - 所以-7m3. (2)由 - - 得 - 或 所以 m=4. 22.B |z|= = . 23.A 依题意可得 - - =2,解得 m=1 或 m=3,故选 A. 24.解析解析 (1)z 为实数,a 2-a-6=0, a=-2 或 a=3. a=-2 时,z 无意义,a=3,
11、z1=2-5i,|z1|= . (2)解法一:z=3+ai(aR R), |z|= , 由已知得 3 2+a242,a27, a(- , ). 解法二:利用复数的几何意义,由|z|4 知,z 在复平面内对应的点在以原点为圆 心,4 为半径的圆内(不包括边界), 由 z=3+ai 知 z 对应的点 Z 在直线 x=3 上, 线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合. 由下图可知:- a . 25.解析解析 在复平面内分别画出点 Z1(1,-1),Z2(- ),Z3(-2,0),Z4(2,2),则向量 , , , 分别为复数 z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示. 各复数的模分别为 |z1|
12、= - = , |z2|=(- ) ( ) =1, |z3|= - =2, |z4|= =2 . 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.D 由已知得 - 解得 a=3,故 z=6i,其虚部为 6. 2.C 根据题意可知|z|= - = - = , 化简得 a 2-a-2=0,解得 a=-1 或 a=2. 当 a=-1 时,z=-1-2i;当 a=2 时,z=2+i, 所以在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2)或(2,1).所以 z 在复平面内对应的点 位于第一象限或第三象限.故选 C. 二、填空题 3.答案答案 解析解析 |z|=|-1+i|= - = . 4.答案答案 2; 2 解析解析
13、两个复数相等,则实部和虚部分别相等,所以 - - - - - - 解得 5.答案答案 -2 解析解析 由题知 - - 解得 或 - 即 m=-2. 6.答案答案 -1+ i 解析解析 z=a+ i 在复平面内对应的点位于第二象限,a0(m,n,pR)的解集为(-1,2), - - m0. 故复数 m+pi 对应的点位于复平面内的第二象限. 8.答案答案 - 解析解析 设 z=x+yi(x,yR),则 1,|y| ,如图,AOB= . 因此复平面内复数 z 对应的点组成的图形为两个弓形,其面积为 2 1 2- 1 1 sin = - . 三、解答题 9.解析解析 因为(m 2-3m-1)-(m2
14、-5m-6)i=3,所以 - - - - 解得 m=-1. 10.解析解析 (1)因为 z1是实数,所以 - - 解得 a=-1. (2)由(1)可得 z1=1, 因为|z2|= - ,|z1|1, 解得 m1. 11.解析解析 (1)当 x 满足 - - 即 x=5 时,z 是实数. (2)当 x 满足 - - 即 x-3 且 x5 时,z 是虚数. (3)当 x 满足 - - - - 即 x=-2 或 x=3 时,z 是纯虚数. 12.解析解析 依题意得(a+3)+(b 2-1)i=3i, 或 8=(a 2-1)+(b+2)i, 或(a+3)+(b 2-1)i=(a2-1)+(b+2)i. 由得 a=-3,b= 2,由得 a= 3,b=-2, 中,a,b 无整数解,不符合题意. 综上,a=-3,b=2 或 a=3,b=-2 或 a=-3,b=-2. 13.解析解析 (1)当实数 x 满足 - - - 即 2x5 时,点 Z 位于第一象限. (2)当实数 x 满足 - - - 即-3x2 时,点 Z 位于第二象限. (3)当实数 x 满足(x 2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即 x=-2 时,点 Z 位于直线 x+y-3=0 上.
