1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.2 综合拔高练综合拔高练 五年高考练五年高考练 考点考点 1 1 用反证法证明确定性命题用反证法证明确定性命题 1.(2016 上海,23 节选,8 分,)若无穷数列an满足:只要 ap=aq(p,qN *),必有 ap+1=aq+1,则称an具有性质 P.设bn是无穷数列,已知 an+1=bn+sin an(nN *).求 证:“对任意 a1,an都具有性质 P”的充要条件为“bn是常数列”. 考点考点 2 2 用反证法证明存在性、唯一性命题用反证法证明存在性、唯一性命题 2.(2015 广东,19(2
2、),4 分,)设 a1,函数 f(x)=(1+x 2)ex-a.证明: f(x)在(- ,+)上仅有一个零点. 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.(2019 河南郑州一中高二期中,)用反证法证明命题“a,bN,ab 可被 5 整除, 那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”时,其假设正确的是( ) A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 不都能被 5 整除 C.a,b 都不能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 2.(2019 辽宁沈阳铁路实验中学高二期中,)已知 a,b 是实数,若|a-1|+|b- 1|=0,则 a=1 且 b=1,用反证法证明时,可假设 a1 且 b1;设 a
3、为实 数,f(x)=x 2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于 ,用反证法证明时,可 假设|f(1)| 且|f(2)|1 时,求证:x 2+ x+ ; (2)已知 xR,a=x 2-x+1,b=4-x,c=x2-2x,试证明:a,b,c 中至少有一个不小于 1. 6.()已知 Sn是数列an的前 n 项和,并且 a1=1,对任意正整数 n,Sn+1=4an+2,设 bn=an+1-2an(n=1,2,3,). (1)证明:数列bn是等比数列,并求bn的通项公式; (2)设 cn= ,求证:数列cn+1不可能为等比数列. 答案全解全析答案全解全析 五年高考练五年高考练 1
4、.证明证明 充分性:当bn为常数列时,an+1=b1+sin an. 对任意给定的 a1,只要 ap=aq,则 b1+sin ap=b1+sin aq,即 ap+1=aq+1,充分性得证. 必要性:假设bn不是常数列,则存在 kN *,使得 b 1=b2=bk=b,而 bk+1b. 下面证明存在满足 an+1=bn+sin an的an,使得 a1=a2=ak+1,但 ak+2ak+1. 设 f(x)=x-sin x-b,取 m *,使得 m|b|,则 f(m)=m-b0, f(-m)=-m-b1,所以 f(0)=1-a0, 所以 f(0)f(ln a)0,由零点存在性定理可知 f(x)在(0,
5、ln a)内存在零点. 假设至少有 2 个零点,则 f(x)在(-,+)上不单调. 由已知得 f(x)=(1+x 2)ex+(1+x2)(ex)=(1+x)2ex0, 所以 f(x)在(-,+)上单调递增,与假设矛盾. 所以假设不成立,则 f(x)在(-,+)上仅有一个零点. 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.C “a,b 中至少有一个能被 5 整除”的否定为“a,b 都不能被 5 整除”,故选 C. 2.B 对于,已知 a,b 是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则 a=1 且 b=1,用反证法证明时, 可假设 a1 或 b1,故的假设错误; 对于,设 a 为实数, f(x)=x 2+
6、ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于 , 用反证法证明时,可假设|f(1)| 且|f(2)|1,(x-1) 20,x20,x2+x+10, x 2+ x+ . (2)假设 a,b,c 都小于 1,即 a1,b1,c1,则有 a+b+c3, 而 a+b+c=2x 2-4x+5=2(x-1)2+33, 与矛盾, 故 a,b,c 中至少有一个不小于 1. 6.解析解析 (1)Sn+1=4an+2, Sn=4an-1+2(nN *且 n2), 两式相减,得 an+1=4an-4an-1(nN *且 n2), an+1=4(an-an-1)(nN *且 n2). bn=an+1-2an, bn+1=an+2-2an+1=4(an+1-an)-2an+1=2(an+1-2an)=2bn(nN *), 易知 bn0, =2, bn是以 2 为公比的等比数列. 又 b1=a2-2a1,a1+a2=4a1+2,a1=1, a2=3a1+2=5,b1=5-2=3, bn=32 n-1(nN*). (2) 证明:cn= =2 n-1(nN*),假设c n+1为等比数列, 则有(cn+1) 2=(c n-1+1)(cn+1+1)(nN *且 n2), 则有 2 n-2=0,这与 2n-21 矛盾,故假设不成立, 则数列cn+1不可能为等比数列.
