1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 本章复习提升本章复习提升 易混易错练易混易错练 易错点易错点 1 1 对导数的定义理解不够深刻致错对导数的定义理解不够深刻致错 1.(2019 安徽屯溪一中高二期中,)设 f(1)=4,则 - =( ) A.8 B.4 C.-8 D.-4 2.(2019 河南南阳高二月考,)已知函数 f(x)在 x=x0处的导数为 f(x0),则 - - 等于( ) A.mf(x0) B.-mf(x0) C.- f(x0) D. f(x0) 易错点易错点 2 2 混淆混淆“ “过某点过某点” ”与与“ “在某点处在某点处” ”的切线致错的切线致错 3.(2019 福建莆
2、田八中高二期中,)曲线 y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线方程 为( ) A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0 C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0 4.(2019 湖南邵东一中高二期末,)曲线 y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方 程为 . 5.(2019 宁夏石嘴山第三中学高二期末,)曲线 f(x)=2x 3-4x+1 在点 P 处的切 线平行于直线 y=2x-1,则点 P 的坐标为 . 易错点易错点 3 3 对复合函数的求导法则理解不透致错对复合函数的求导法则理解不透致错 6.()函数 y=ln(1-x)的导数为 . 7.(
3、)函数 y=xe 1-cos x的导数为 . 易错点易错点 4 4 忽视取极值的条件致错忽视取极值的条件致错 8.(2019 重庆一中高三下月考,)设函数 f(x)=(x+1)e x+1,则( ) A.x=2 为 f(x)的极大值点 B.x=2 为 f(x)的极小值点 C.x=-2 为 f(x)的极大值点 D.x=-2 为 f(x)的极小值点 9.()已知函数 f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的极大 值共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 易错点易错点 5 5 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 10.()函数 f(x)=x-l
4、n x 的单调递减区间是( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(0,+) D.(1,+) 11.(2019 北京西城高二下期末,)已知函数 f(x)= x 3-x2+bx,且 f(2)=-3. (1)求 b; (2)求 f(x)的单调区间. 12.(2019 广东佛山二中高二下月考,)已知函数 f(x)=x 3+bx2+cx+d 的图象经 过点 P(0,2),且在点 M(-1, f(-1)处的切线方程为 6x-y+7=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调区间. 13.()若函数 f(x)= - +ln x 在1,+)上为增函数,求正实数 a 的取值范围.
5、14.()已知向量 a=(x 2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=ab 在区间(-1,1)上是 增函数,求实数 t 的取值范围. 易错点易错点 6 6 混淆极值与最值致错混淆极值与最值致错 15.(2019 广东佛山三中高二下段考,)已知 aR,函数 f(x)= +ln x-1.求当 0ax 2,则不等式(x+ 2 019) 2f(x+2 019)-4f(-2)0 的解集为( ) A.(-2 021,0) B.(-,-2 021) C.(-2 017,0) D.(-,-2 017) 5.(2019 安徽合肥高三质量检测,)已知函数 f(x)=e x-ln(x+1)(e 为自然对
6、数 的底数). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 g(x)=f(x)-ax,aR R,试求函数 g(x)极小值的最大值. 三、数形结合思想 6.()已知函数 f(x)= x 3+ x 2+2bx+c,且 f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有 极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及 - - 的取值范围. 7.()已知曲线 f(x)=-x 3+3x2+9x+a 与 x 轴只有一个交点,求实数 a 的取值范 围. 答案全解全析答案全解全析 易混易错练易混易错练 1.A f(1)=4, - =2 - =2f(1)=8. 2.B 因为函数 f(x)在 x=x0处的导数为 f(
7、x0), 所以 - - =- - - - =-mf(x0). 3.C 记 y=f(x)=ex-ln x,则 f(x)=e- , 所以曲线 y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线的斜率为 f(1)=e- =e-1, 所以曲线 y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线方程为 y-e=(e-1)(x-1), 整理得(e-1)x-y+1=0. 4.答案答案 2x-y=0 解析解析 设 y=f(x)=3x-ln(x+1), 则 f(x)=3- , 曲线 y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线的斜率为 3-1=2, 则曲线在点(0,0)处的切线方程为 y-0=2(x-0),即 2x-y=0.
8、 5.答案答案 (1,-1)或(-1,3) 解析解析 f(x)=2x 3-4x+1, f(x)=6x 2-4. 令 f(x)=2,即 6x 2-4=2,解得 x= 1, f(1)=-1, f(-1)=3, 点 P 的坐标为(1,-1)或(-1,3). 经检验,满足题意. 6.答案答案 y= - 解析解析 y= - (1-x)= - (-1)= - . 7.答案答案 y=(1+xsin x)e 1-cos x 解析解析 y=e 1-cos x+x(e1-cos x)=e1-cos x+ xe 1-cos x(1-cos x)=e1-cos x+xe1-cos xsin x= (1+xsin x)
9、e 1-cos x. 8.D 因为 f(x)=(x+1)e x+1, 所以 f(x)=e x+(x+1)ex=(x+2)ex. 令 f(x)=0,得 x=-2, 当 x-2 时, f(x)0, f(x)=(x+1)e x+1 单调递增; 当 x-2 时, f(x)0, f(x)=(x+1)e x+1 单调递减. 所以函数 f(x)=(x+1)e x+1 在 x=-2 处取得极小值,无极大值. 9.B 由导函数 f(x)的图象,结合极大值的定义可知,函数 f(x)在区间(-4,-3)上 单调递增,在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减, 在(4,+)上单
10、调递增,故 f(x)共有 2 个极大值,故选 B. 10.B 函数 f(x)的定义域为(0,+), 又 f(x)=1- , 由 f(x)=1- 0,得 0x0,得 x3; 令 f(x)0,得-1x3, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(3,+),单调递减区间为(-1,3). 12.解析解析 (1)f(x)的图象经过点 P(0,2), 代入,得 d=2, f(x)=x 3+bx2+cx+2, f(x)=3x2+2bx+c. 点 M(-1, f(-1)处的切线方程为 6x-y+7=0, f(-1)=3-2b+c=6, f(-1)=y=1, 将点 M(-1,1)代入 f(x),得-1
11、+b-c+2=1, 联立得 b=c=-3, 故所求的解析式是 f(x)=x 3-3x2-3x+2. (2)由(1)知 f(x)=3x 2-6x-3. 令 3x 2-6x-3=0, 解得 x1=1- ,x2=1+ . 当 x1+ 时, f(x)0; 当 1- x1+ 时, f(x)0), 依题意得,当 x1,+)时, - 0 恒成立, ax-10, a-10,即 a1. 14.解析解析 由题意知 f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t, f(x)=-3x2+2x+t. 若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上 f(x)0 恒成立,且 f(x)不恒为 0.
12、 f(x)的图象是开口向下的抛物线, 当且仅当 f(1)=t-10,且 f(-1)=t-50,即 t5 时, f(x)在(-1,1)上满足 f(x)0,即 f(x)在(-1,1)上是增函数. 故实数 t 的取值范围是5,+). 15.解析解析 因为 f(x)= +ln x-1, 所以 f(x)=- + = - ,x(0,e. 令 f(x)=0,得 x=a. 又 0ae,则当 x(0,a)时, f(x)0,函数 f(x)在区间(a,e上单调递增. 所以当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值,最小值为 ln a. 16.解析解析 f(x)=2cos 2x-1. 令 f(x)=0,得 2cos 2
13、x-1=0, 解得 x=- 或 x= . 因为 f( )= - , f(- )=- + ,f( )=- , f(- )= , 所以函数 f(x)在*- +上的最大值和最小值分别为 ,- . 17.解析解析 设每瓶饮料的利润是 f(r)分,因为瓶子的半径为 r,0r6,所以 f(r)=0.2 r 3-0.8r2=0.8( - ),0r6. f(r)=0.8(r 2-2r),令 f(r)=0,解得 r=2(r=0 舍去). 当 0r2 时, f(r)0;当 2r0. 所以当 0r2 时, f(r)单调递减,即半径越大,利润越低; 当 2r6 时, f(r)单调递增,即半径越大,利润越高. 当 0r
14、2 时, f(r)0,所以半径为 6 cm 时,每瓶饮料的利润最 大. 18.解析解析 (1)由题意得 200rh+160r 2=12 000, 所以 h= (300-4r 2), 所以 V(r)=r 2h= (300r-4r 3)(0r5 ). (2)由(1)知 V(r)= (300-12r 2), 令 V(r)=0,得 r=5(负值舍去). 当 0r0,V(r)单调递增;当 5r5 时,V(r)0). 当 a0 时, f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a0 时,令 f(x)0,得 x- , 令 f(x)0,得 0x0). 当 a0 时, f(x)0 恒成立,故 f(
15、x)在(0,+)上单调递增, f(x)最多有一个零 点,不符合题意; 当 a0 得 0x- ,令 f(x)- , f(x)在( - )上单调递增,在(- )上单调递减, 且 x 0 +时, f(x) -; x +时, f(x) -, 故要使 f(x)有两个零点,只需 f(- )0,即 ln - +a(- )0, 解得- a0. 综上,实数 a 的取值范围是(- ). 3.D 令 g(x)=xf(x)=(2x-1)e x+ax2-a, 则 g(x)=f(x)+xf(x), 因为对任意 x(0,+),都有 f(x)-xf(x)成立, 所以 g(x)=f(x)+xf(x)0 在(0,+)上恒成立,
16、即 g(x)=(2x+1)e x+2ax0 在(0,+)上恒成立, 即-2a =( )e x在(0,+)上恒成立. 令 h(x)=( )e x,x(0,+), 则 h(x)=- e x+( )e x= - , 由 h(x)=0 得 2x 2+x-1=0,解得 x=-1(舍去)或 x= , 所以,当 0x 时,h(x) 时,h(x)0,h(x)单调递增. 所以 h(x)min=h( )=4 , 因为-2a =( )e x在(0,+)上恒成立, 所以只需-2a4 ,解得 a-2 . 4.B 令 g(x)=x 2f(x), 则 g(x)=2xf(x)+x 2f(x), 因为 2f(x)+xf(x)x
17、 2,x0, 所以 g(x)=2xf(x)+x 2f(x)x30 等价于 g(x+2 019)-g(-2)0, 即 g(x+2 019)g(-2),所以 x+2 019-2,解得 x-1,且 f(x)=e x- . 令 h(x)=e x- ,则 h(x)=e x+ 0, 函数 h(x)=e x- 在(-1,+)上单调递增,且 h(0)=f(0)=0. 当 x(-1,0)时,h(x)=f(x)0, f(x)=e x-ln(x+1)单调递增. 函数 f(x)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+). (2)g(x)=f(x)-ax=e x-ln(x+1)-ax, g(x)=f(x)-
18、a. 由(1)知,g(x)在(-1,+)上单调递增, 且当 x -1 时,g(x) -;当 x +时, g(x) +,则 g(x)=0 有唯一解 x0. 当 x(-1,x0)时,g(x)0,g(x)=e x-ln(x+1)-ax 单调递增. 函数 g(x)在 x=x0处取得极小值 g(x0)= -ln(x0+1)-ax0,且 x0满足 - =a. g(x0)=(1-x0) -ln(x0+1)+1- . 令 (x)=(1-x)e x-ln(x+1)+1- , 则 (x)=-x* +. 当 x(-1,0)时,(x)0,(x)单调递增; 当 x(0,+)时,(x)0,(x)单调递减. (x)max=
19、(0)=1. 函数 g(x)极小值的最大值为 1. 6.解析解析 函数 f(x)的导数为 f(x)=x 2+ax+2b, 因为 f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有极小值,所以方程 x 2+ax+2b=0 有两个 不等实根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内. 由二次函数 f(x)=x 2+ax+2b 的图象与方程 x2+ax+2b=0 的根的分布之间的关系可 以得到 即 在平面 aOb 内满足约束条件的点(a,b)所对应的区域为ABD(不包括边界,如图所 示),其中点 A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), 则 SABD= 1 1= . 易知点 C(1
20、,2)与点(a,b)连线的斜率为 - - ,显然 - - (k CA,kCB),即 - - ( ). 综上,点(a,b)对应的区域的面积为 , - - 的取值范围为( ). 7.解析解析 f(x)=-3x 2+6x+9. 令 f(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时, f(x), f(x)的变化情况如表: x (-, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +) f(x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 所以当 x=-1 时, f(x)有极小值 f(-1)=a-5;当 x=3 时, f(x)有极大值 f(3)=a+27. 画出大致图象,要使 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点,只需极大值小于 0(如图 1) 或极小值大于 0(如图 2), 所以 a+270,解得 a5. 故实数 a 的取值范围为a|a5.
