1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 2.1.2 综合拔高练综合拔高练 五年高考练五年高考练 考点考点 1 1 演绎推理在几何证明中的应用演绎推理在几何证明中的应用 1.(2019 江苏,16,14 分,)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E 分别为 BC,AC 的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1平面 DEC1; (2)BEC1E. 2.(2016 山东,18,12 分,)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EFDB. (1)已知 AB=BC,AE=EC,求证:ACFB; (2)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点
2、.求证:GH平面 ABC. 考点考点 2 2 演绎推理在代数中的应用演绎推理在代数中的应用 3.(2018 课标全国,21,12 分,)已知函数 f(x)= -x+aln x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明: - - 1 时, f(x)1,当 x(1,x0)时,恒有 f(x)k(x-1). 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.()余弦函数是偶函数, f(x)=cos(2x 2-3)是余弦函数,因此 f(x)=cos(2x2-3) 是偶函数,以上推理中( ) A.结论不正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 2.(2019
3、黑龙江铁人中学高二期中,)下列推理中属于演绎推理的为( ) A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电 B.猜想数列 , , ,的通项公式为 an= (nN *) C.半径为 r 的圆的面积 S=r 2,则单位圆的面积 S= D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的 方程为(x-a) 2+(y-b)2+(z-c)2=r2 3.(2020 辽宁沈阳高三上月考,)新高考的改革方案开始实施后,某地学生需 要从化学、生物、政治、地理四门学科中选课,每名同学都要选择其中的两门课 程.已知甲选了化学,乙与甲没有选相同的课程,丙与甲恰有一门课程相同,丁
4、与丙 也没有选相同的课程,则以下说法正确的是( ) A.丙没有选化学 B.丁没有选化学 C.乙、丁可以两门课程都相同 D.这四个人里恰有两个人选了化学 4.(2019 福建厦门一中高二期中,)已知三个月球探测器 ,共发回三张月 球照片 A,B,C,每个探测器仅发回一张照片.甲说:“照片 A 是 发回的.”乙说:“ 发 回的照片不是 A 就是 B.”丙说:“照片 C 不是 发回的.”若甲、乙、丙三人中有且仅 有一人说法正确,则发回照片 B 的探测器是( ) A. B. C. D.以上都有可能 二、填空题 5.(2019 河南林州一中高二月考,)指出三段论“自然数中没有最大的数(大前 提), 是自
5、然数(小前提),所以 不是最大的数(结论)”中错误的是 (用 “大前提”“小前提”“结论”填空). 6.(2019 吉林通榆一中高二月考,)若定义在区间 D 上的函数 f(x),对于 D 内 的任意 n 个值 x1,x2,xn,总满足 f( ),则称 f(x)为 D 上的凸函数.若已知 f(x)=cos x 在( )上是凸函数,则在锐角三角形 ABC 中,cos A+cos B+cos C 的最大值是 . 7.(2019 河南南阳中学高二月考,)“克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想”,是德国数学 家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数 n, 如果 n 是偶数就
6、将它减半,如果 n 为奇数就将它乘 3 加 1,不断重复这样的运算,经 过有限步后,最终都能够得到 1.已知正整数 m 经过 6 次运算后得到 1,则 m 的值 为 . 8.(2019 河南南阳中学高二月考,)在一个不透明的口袋中装有大小、形状完 全相同的 9 个小球,将它们依次编号为 1,2,3,9,甲、乙、丙三人从口袋中依次 各抽出 3 个小球.甲说:“我抽到了编号为 9 的小球.”乙说:“我抽到了编号为 8 的小 球.”丙说:“我没有抽到编号为 2 的小球.”已知甲、乙、丙三人抽到的 3 个小球的 编号之和都相等,且甲、乙、丙三人的说法都正确,则丙抽到的 3 个小球的编号分 别为 . 三
7、、解答题 9.()如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,E 是 A1C 的中点,EDA1C 交 AC 于点 D,A1A=AB= BC. (1)证明:B1C1平面 A1BC; (2)证明:A1C平面 EDB. 答案全解全析答案全解全析 五年高考练五年高考练 1.证明证明 (1)因为 D,E 分别为 BC,AC 的中点,所以 EDAB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以 A1B1ED. 又因为 ED平面 DEC1,A1B1平面 DEC1, 所以 A1B1平面 DEC1. (2)因为 AB=BC,E 为 AC 的中点, 所以 BEAC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1
8、是直三棱柱, 所以 C1C平面 ABC. 又因为 BE平面 ABC, 所以 C1CBE. 因为 C1C平面 A1ACC1,AC平面 A1ACC1,C1CAC=C, 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1,所以 BEC1E. 2.证明证明 (1)如图,连结 DE,因为 EFDB, 所以 EF 与 DB 可确定平面 BDEF. 因为 AE=EC,D 为 AC 的中点, 所以 DEAC. 同理可得 BDAC. 又 BDDE=D, 所以 AC平面 BDEF, 因为 FB平面 BDEF, 所以 ACFB. (2)取 FC 的中点 I,连结 GI,HI. 在CEF 中,因为 G 是
9、 CE 的中点, 所以 GIEF. 又因为 EFDB,所以 GIDB. 在CFB 中,因为 H 是 FB 的中点, 所以 HIBC. 又 HIGI=I,DBBC=B, 所以平面 GHI平面 ABC. 因为 GH平面 GHI,所以 GH平面 ABC. 3.解析解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+), f (x)=- -1+ =- - . 若 a2,则 f (x)0,当且仅当 a=2,x=1 时, f (x)=0,所以 f(x)在(0,+)上单 调递减. 若 a2,令 f (x)=0,得 x= - - 或 x= - . 当 x( - - )( - )时, f (x)0. 所以 f(x)在(
10、 - - ),( - )上单调递减,在( - - - )上单 调递增. (2)证明:由(1)知, 当且仅当 a2 时 f(x)存在两个极值点. 由于 f(x)的两个极值点 x1,x2满足 x 2-ax+1=0, 所以 x1x2=1,不妨设 x11, 由于 - - =- -1+a - - =-2+a - - =-2+a- - , 所以 - - a-2 等价于 -x2+2ln x20. 设函数 g(x)= -x+2ln x, 由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减, 又 g(1)=0,从而当 x(1,+)时,g(x)0, 所以 -x2+2ln x20,即 - - 0,即-x 2+x+10, 解
11、得 0x . 故函数 f(x)的单调递增区间是( ). (2)证明:令 F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+), 则有 F(x)= - . 当 x(1,+)时,F(x)1 时,F(x)1 时,f(x)1 满足题意. 当 k1 时,对于 x1,有 f(x)x-1k(x-1),则 f(x)1 满足 题意. 当 k1 时,令 G(x)=f(x)-k(x-1),x(0,+), 则有 G(x)= -x+1-k= - - . 令 G(x)=0,即-x 2+(1-k)x+1=0, 解得 x1= - - - 1, 当 x(1,x2)时,G(x)0,故 G(x)在(1,x2)内单调递增, 从而当 x(1,
12、x2)时,G(x)G(1)=0, 即 f(x)k(x-1). 综上,实数 k 的取值范围是(-,1). 方法总结方法总结 利用导数证明不等式的常用方法: (1)证明 f(x)g(x),x(a,b)时,可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x).若 F(x)0,则 F(x)在(a,b)上是减函数,同时若 F(a)0,由减函数的定义可知,当 x(a,b)时,有 F(x)0,即证明了 f(x)g(x),x(a,b)时,可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x),若 F(x)0,则 F(x)在(a,b)上是增函数,同时若 F(a)0,由增函数的定义可知,当 x(a,b)时,有 F(x)0,即证明了 f
13、(x)g(x). 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.C 大前提:余弦函数是偶函数,这是正确的; 小前提:f(x)=cos(2x 2-3)是余弦函数,我们把 f(x)=cos x 叫余弦函数,函数 f(x)=cos(2x 2-3)是由余弦函数和一个二次函数复合而成的,故小前提不正确; 结论:f(x)=cos(2x 2-3)是偶函数, 因为 f(x)=cos(2x 2-3)f(-x)=cos2(-x)2-3=cos(2x2-3)=f(x),所以结论正确. 2.C 根据合情推理与演绎推理的概念,可得: 对于 A,由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电,属于归纳推理; 对于 B,猜想数列 ,
14、, ,的通项公式为 an= (nN *),属于归纳推理; 对于 C,半径为 r 的圆的面积 S=r 2,则单位圆的面积 S=,属于演绎推理; 对于 D,由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中 球的方程为(x-a) 2+(y-b)2+(z-c)2=r2,属于类比推理. 故选 C. 3.D 甲选择了化学,乙与甲没有选相同的课程,乙必定没选化学. 又丙与甲恰有一门课程相同,假设丙选择了化学,而丁与丙没有选相同的课程,则 丁一定没选化学; 若丙没选化学,丁与丙没有选相同的课程,则丁必定选择了化学. 综上,必定有甲、丙或甲、丁选择了化学,故可判断 A,B 不
15、正确,D 正确. 假设乙、丁可以两门课程都相同,由上面分析可知,乙、丁都没有选择化学,只能 从其他三科中选两科.不妨假设选的是生物、政治,则甲选的是化学和地理,而丙 和甲共同选择了化学,另一门课丙只能从生物、政治中选一科,这样与“丁与丙也没 有选相同的课程”矛盾,故假设不成立,因此 C 不正确. 4.A 若甲说法正确,则 发回的照片是 C,故丙说法也正确,不符合题意,故甲说法 错误;若乙说法正确,则丙说法错误,故照片 C 是 发回的,从而得到照片 A 是 发 回的,照片 B 是 发回的,符合题意,故发回照片 B 的探测器是 ;若丙说法正确,则 照片 C 是 发回的,又由甲说法错误,可以推出 发
16、回照片 B,发回照片 A,符合题 意,故发回照片 B 的探测器是 . 二、填空题 5.答案答案 小前提 解析解析 大前提:自然数中没有最大的数,是真命题, 小前提: 是自然数,不是真命题, 故本题中错误的是小前提. 6.答案答案 解析解析 利用已知条件,可得 cos A+cos B+cos C3cos( )=3cos = . 7.答案答案 10 或 64 解析解析 如果正整数 m 按照上述规则经过 6 次运算得到 1, 那么经过 5 次运算后得到的一定是 2; 经过 4 次运算后得到的一定是 4; 经过 3 次运算后得到的是 8 或 1(不符合题意); 经过 2 次运算后得到的是 16; 经过
17、 1 次运算后得到的是 5 或 32; 所以开始时的数为 10 或 64. 所以正整数 m 的值为 10 或 64. 故答案为 10 或 64. 8.答案答案 3,5,7 解析解析 因为甲、乙、丙三人抽到的 3 个小球的编号之和都相等,所以每个人抽到 的 3 个小球的编号之和为 (1+2+9)= =15.设甲抽到的另外两个小球的 编号分别为 a1,a2,乙抽到的另外两个小球的编号分别为 b1,b2,则 a1+a2=6,b1+b2=7, 所以 a1,a2的取值只有 1 与 5,2 与 4 两种情况.当甲抽到编号为 1 与 5 的小球时,由 b1+b2=7 可知乙抽到编号为 3 与 4 的小球,与
18、丙没有抽到编号为 2 的小球矛盾,所以 甲抽到编号为 2 与 4 的小球,由 b1+b2=7 可知乙抽到编号为 1 与 6 的小球,则丙抽 到的 3 个小球的编号分别为 3,5,7,故答案为 3,5,7. 三、解答题 9.证明证明 (1)因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,B1C1BC,又 BC平面 A1BC,且 B1C1平面 A1BC,所以 B1C1平面 A1BC. (2)因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A1AAB,又 AA1=AB,所以A1AB 为等腰直角三角形, 故 AB= A1B,所以 BC=A1B,故A1BC 是等腰三角形,又因为 E 是A1BC 的底边 A1C 的中 点,所以 A1CBE,又 A1CED,且 EDBE=E,所以 A1C平面 EDB.
