1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数 基础过关练基础过关练 题组一题组一 极值的概念极值的概念 1.已知函数 f(x)在点 x0处连续,下列命题中正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点 x0附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0,右侧 f(x)0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在点 x0附近的左侧 f(x)0,那么 f(x0)是极大值 2.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f(x),且函数 y=(1-x)f(x)的图象如图所 示,则下列结论一定成立的是( )
2、 A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 3.(2019 内蒙古开来中学高二期中)函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列 说法错误的是( ) A.(-1,3)为函数 y=f(x)的单调递增区间 B.(3,5)为函数 y=f(x)的单调递减区间 C.函数 y=f(x)在 x=5 处取得极小值 D.函数 y=f(x)在 x=0 处取得极大值 4.(2019 北京海淀一 o 一中学高二下期中)已知函数
3、y=f(x) 的导函数 f(x)的图 象如图所示,则 f(x)的极大值点共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.(2019 北京八中高二下期中)如图是函数 y= f(x)的导函数 y= f(x)的图象,给 出下列命题:-2 是函数 y= f(x)的极值点;1 是函数 y= f(x)的极值点;函数 y=f(x)的图象在 x=0 处切线的斜率小于零;y= f(x)在区间(-2,2)上单调递增. 其中真命题的序号是 . 题组二题组二 不含参函数的导数与极值不含参函数的导数与极值( (点点) ) 6.(2020 黑龙江牡丹江第三高级中学高二期末)函数 y=x 3-3x2-9x(
4、-2x2)有( ) A.极大值 5,极小值-22 B.极大值 5,极小值-2 C.极大值 5,无极小值 D.极小值-22,无极大值 7.(2019 天津耀华中学高二下期中)函数 f(x)= ,则( ) A.x=e 为函数 f(x)的极大值点 B.x=e 为函数 f(x)的极小值点 C.x= 为函数 f(x)的极大值点 D.x= 为函数 f(x)的极小值点 8.(2019 北京海淀一 o 一中学高二下期中)下列四个函数:y=x 3;y=x2+1; y=|x|;y=2 x,其中在 x=0 处取得极值的是( ) A. B. C. D. 9.(2019 内蒙古包头高二下期中)已知函数 f(x)=2ef
5、(e)ln x- ,则 f(x)的极大值 点为( ) A. B.1 C.e D.2e 10.(2019 河南驻马店高二上期末)函数 f(x)=x 3-3x 的极大值为 . 题组三题组三 含参函数的导数与极值含参函数的导数与极值( (点点) ) 11.(2019 四川成都七中高三模考)若函数 f(x)=x(x-c) 2 在 x=2 处有极大值,则常 数 c 为( ) A.2 或 6 B.2 C.6 D.-2 或-6 12.(2019 辽宁丹东高三总复习质量测试)若 x=1 是函数 f(x)= x 3+(a+1)x2-(a2+a- 3)x 的极值点,则 a 的值为( ) A.-2 B.3 C.-2
6、 或 3 D.-3 或 2 13.(2019 河北邢台一中高二下月考)设 a0)在 x=1 处取得极小值,则 a 的取值范围是 . 三、解答题 6.()已知函数 f(x)=ax 3+bx2,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极小值. 7.()设函数 f(x)=2ln x-x 2+ax+2. (1)当 a=3 时,求 f(x)的单调区间和极值; (2)若直线 y=-x+1 是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的值. 8.(2019 北京西城高二下期末,)已知函数 f(x)=e x-aln x-x. (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(
7、1, f(1)处的切线方程; (2)若 f(x)在区间(0,1)上存在极值点,求 a 的取值范围. 9.(2019 北京朝阳高三二模,)已知函数 f(x)=(2ax 2+4x)ln x-ax2-4x(aR R,且 a0). (1)求曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程; (2)若函数 f(x)的极小值为 ,求 a 的值. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.B 根据极值的概念,在点 x0附近的左侧 f(x)0,函数单调递增;在点 x0附近的 右侧 f(x)0,函数单调递减,所以 f(x0)为极大值. 2.D 由题图可得函数 y=(1-x)f(x)的零点为-2,1,
8、2,则当 x0,此时在 (-,-2)上 y0, f(x)0,在(-2,1)上 y0, f(x)1 时,1-x0, f(x)0,在(2,+)上 y0,所以 f(x)在(-,-2)上为增函 数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+)上为增函数,因此 f(x)有极大值 f(-2),极小值 f(2),故选 D. 3.D 由题图可知: 当 x-1 时, f(x)0,函数 f(x)单调递减; 当-1x0,函数 f(x)单调递增; 当 3x5 时, f(x)5 时, f(x)0,函数 f(x)单调递增. 综上,函数 f(x)的单调递减区间为(-,-1)和(3,5),单调递增区间为(-1,3)和 (5,+),
9、且函数 f(x)在 x=-1 和 x=5 处取得极小值,在 x=3 处取得极大值. 4.B 由题中函数 y=f(x)的导函数 f(x)的图象可知, 函数 y=f(x)在区间(-3,-2)和(-1,2)上递增; 在区间(-2,-1)和(2,3)上递减, f(x)在 x=-2 两边左正右负, f(x)在 x=2 两边左正右负, 所以 x= 2 是函数 y=f(x)的极大值点, 则 f(x)的极大值点共有 2 个.故选 B. 5.答案答案 解析解析 命题:通过题中导函数的图象可知当 x(-,-2)时, f(x)0,所以函数 y=f(x)单调递增,故-2 是函 数 y=f(x)的极值点,故本命题是真命
10、题; 命题:通过题中导函数的图象可知,当 x(-2,1)时, f(x)0,所以函数 y=f(x) 单调递增,当 x(1,+)时, f(x)0,所以函数 y=f(x)单调递增,故 1 不是函数 y=f(x)的极值点,故本命题是假命题; 命题:由题图可知 f(0)0,所以函数 y=f(x)的图象在 x=0 处切线的斜率大于零, 故本命题是假命题; 命题:由题图可知当 x(-2,2)时, f(x)0,且只有当 x=1 时, f(x)=0,所以函 数 y=f(x)单调递增,故本命题是真命题. 故真命题的序号是. 6.C y=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1), 当 x(-2,-1)时,y0,函
11、数单调递增;当 x(-1,2)时,y0,函数单调递减, 当 x=-1 时,函数取得极大值,极大值为-1-3+9=5,无极小值. 7.A f(x)= - ,故当 0x0,函数单调递增,当 xe 时, f(x)0), 所以 f(x)= - , 所以 f(e)= - =2f(e)- , 因此 f(e)= ,所以 f(x)= - , 令 f(x)0,得 0x2e,令 f(x)2e, 所以函数 f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+)上单调递减,因此 f(x)的极大值点 为 x=2e. 10.答案答案 2 解析解析 f(x)=3x 2-3=3(x+1)(x-1), 令 f(x)0,得 x1; 令
12、 f(x)0,得-1x1 或 x0,函数 f(x)单调递增,当-9x1 时, f(x)0;当 x(-2,-ln 2)时, f(x)0. 故 f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e -2). 15.A 由于等差数列前 n 项和公式中,常数项为 0,故 k+ =0,k=- ,所以 f(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数在(-,-1),( )上单调递增,在(- )上 单调递减,故当 x=-1 时, f(x)取得极大值,为 f(-1)= .故选 A. 16
13、.答案答案 1 解析解析 f(x)=3mx 2+2nx+p, 由题中三次函数的图象可知,x=2 是函数的极大值点,x=-1 是极小值点,即 2,-1 是 f(x)=0 的两个根, 由 f(-1)=3m-2n+p=0, f(2)=12m+4n+p=0, 解得 p=-6m,2n=-3m, f(0)=p=-6m, f(1)=p=-6m, =1, 故答案为 1. 17.解析解析 (1)f(x)=2ax+ , 则 解得 - (2)由(1)知 f(x)= x 2-ln x,其定义域为(0,+), f(x)=x+- = - , 令 f(x)=0,则 x=1 或-1(舍去), 所以当 0x1 时, f(x)1
14、 时, f(x)0, f(x)单调递增. 所以 f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+). 18.解析解析 (1)当 a=1 时, f(x)=x+ , 则 f(2)= , f(x)=1- , 所以所求切线的斜率为 k=f(2)=1- = . 故所求的切线方程为 y- = (x-2),即 3x-4y+4=0. (2)y=f(x)的定义域为(0,+), f(x)= - +1- = - - = - . 若 a0, 则当 x(0,1)时, f(x)0, 所以 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. 此时, f(x)的极小值点为 1. 若 a0,则由 f(x)=0
15、得 x=-a 或 x=1. (i)当-1a0 时,0-a0,当 x(-a,1)时, f(x)0, 所以 f(x)在(0,-a)和(1,+)上单调递增,在(-a,1)上单调递减. 此时, f(x)的极小值点为 1,极大值点为-a. (ii)若 a=-1,则 f(x)0 对 x(0,+)恒成立, 所以 f(x)在(0,+)上单调递增, f(x)无极值. (iii)若 a1, 当 x(0,1)(-a,+)时, f(x)0,当 x(1,-a)时, f(x)0,由 f(x)0 得 x1,由 f(x)0 得 x1,所以 f(x)在 x=1 时取得 极小值,不符合题意; 当 a1,所以 a-e.故选 A.
16、二、填空题 3.答案答案 f(x)=x 3(答案不唯一) 解析解析 极值点的导数必须为 0,且极值点左右两侧的函数单调性相反. 函数 f(x)=x 3,当 x=0 时, f(0)=3 02=0, 但是 f(x)=x 3在 R R 上单调递增, 所以 x=0 不是函数 f(x)=x 3的极值点. 4.答案答案 解析解析 错,因为在(-3,-1)上 f(x)0,所以 f(x)在(-3,-1) 内是减函数,在(-1,1)内是增函数; 正确,因为 f(x)在(-3,-1)上为负, f(-1)=0, f(x)在(-1,2)上为正; 正确,因为在(2,4)内 f(x)0,故 f(x)在(-1,2)内为增函
17、数; 错, f(1)0,故 x=1 不是极值点. 5.答案答案 a 解析解析 由题意得函数的定义域(0,+), y= +2ax(2a+1)= - = - ( - ) , 当 1 时,令 y0,得 x(0,1)( ),令 y0,得 x( ),即函数 y= ln x+ax 2-(2a+1)x 在 x=1 处取得极大值,不符合题意; 当 =1 时,y= - = - 0 恒成立,即函数不存在极值; 当 0 0,得 x( )(1,+),令 y . 三、解答题 6.解析解析 (1)f(x)=3ax 2+2bx, 由题意得 即 解得 - 经检验知,满足题意. (2)由(1)得 f(x)=-6x 3+9x2,
18、 所以 f(x)=-18x 2+18x, 令 f(x)=0,解得 x=0 或 x=1, 当 0x0,当 x0 时, f(x)0,所以 x=2. f(x)与 f(x)在区间(0,+)上的变化情况如下: x (0,2) 2 (2,+) f(x) + 0 - f(x) 2ln 2+4 所以 f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+), 所以 f(x)有极大值,极大值为 2ln 2+4,f(x)无极小值. (2)因为 f(x)=2ln x-x 2+ax+2,所以 f(x)= -2x+a. 设直线 y=-x+1 与曲线 y=f(x)的切点为(x0, f(x0), 则 f(x0)=-1,
19、即 2 -(a+1)x0-2=0. 又因为 f(x0)=2ln x0- +ax0+2=-x0+1, 即 2ln x0- +(a+1)x0+1=0, 所以由得 2ln x0+ -1=0. 设 g(x)=2ln x+x 2-1, 因为 g(x)= 0(x0), 所以 g(x)在区间(0,+)上单调递增, 因为 g(1)=0,即 x0=1. 所以 a=-1. 8.解析解析 (1)当 a=-1 时, f(x)=e x+ln x-x,x0. 所以 f(x)=e x+ -1,f(1)=e-1, 所以 f(1)=e, 曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y-(e-1)=e(x-1), 整理
20、得 ex-y-1=0. (2)因为 f(x)=e x-aln x-x,x0. 所以 f(x)=e x- -1= - - , 依题意, f(x)在区间(0,1)上存在变号零点. 因为 x0,设 g(x)=xe x-x-a,所以 g(x)在区间(0,1)上存在变号零点. 因为 g(x)=e x(x+1)-1, 所以,当 x(0,1)时,e x1,x+11, 所以 e x(x+1)1,即 g(x)0, 所以 g(x)在区间(0,1)上为单调递增函数, 所以 即 - - - 解得 0ae-1. 综上,若 f(x)在区间(0,1)上存在极值点,则 a 的取值范围是(0,e-1). 9.解析解析 (1)因
21、为 f(x)=(2ax 2+4x)ln x-ax2-4x(aR R,且 a0), 所以 f(x)=4(ax+1)ln x,x(0,+), f(1)=0, f(1)=-a-4, 所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y=-a-4. (2)当 a-1,故不成立. 当 a=-1 时, f(x)0 在(0,+)上恒成立,所以 f(x)在(0,+)上单调递减. 此时 f(x)无极小值,故不成立. 当-1a0 时, f(x), f(x)在区间(0,+)上的变化情况如下表: x (0,1) 1 ( ) - ( ) f(x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 此时极小值为 f(1)=-a-4= ,解得 a=-2+ 或 a=-2- . 因为-1a0 时, f(x), f(x)在区间(0,+)上的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+) f(x) - 0 + f(x) 极小值 此时极小值为 f(1)=-a-4= ,解得 a=-2+ 或 a=-2- ,故不成立. 综上,a=-2+ .
