1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.7 定积分的简单应用定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 基础过关练基础过关练 题组一题组一 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 1.(2019 云南云天化中学高二月考)射线 y=4x(x0)与曲线 y=x 3所围成的图形的面 积为( ) A.2 B.4 C.5 D.6 2.(2019 河北迁安三中高三上期中)由曲线 y= ,直线 y=2x-1 及 x 轴所围成的封 闭图形的面积为( ) A. B. C. D. 3.(2019 豫南六市高二下期中联考)用定积
2、分表示由曲线 y=- ,直线 y=-x+2 及 y 轴所围成的图形的面积,下列选项中错误的为( ) A. (2-x+ )dx B. dx C. - (2-y-y 2)dy D. - (4-y 2)dy 4.(2019 河南开封高三三模)如图,在矩形 ABCD 中的曲线分别是 y=sin x,y=cos x 的一部分,已知点 A(0,0),B( ),D(0,1),若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取 自阴影部分的概率是( ) A. ( -1) B. ( -1) C.4( -1) D.4( -1) 5.(2019 黑龙江哈尔滨三中高二期中)曲线 y=x-x 2和 y=x2-x 所围成的封闭图
3、形的 面积是 . 6.(2019 广东执信中学高二期中)由曲线 y= ,直线 y=x-1 及 x=1 所围成的图形的面 积为 . 7.(2019 河北开滦二中高二期中)已知曲线 f(x)=ax 2+2 在 x=1 处的切线与 2x- y+3=0 平行. (1)求 f(x)的解析式; (2)求由直线 y=3x,x=0,x=2 与曲线 f(x)所围成的平面图形的面积. 题组二题组二 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 8.如果 1 N 的力能拉长弹簧 1 cm,那么将弹簧拉长 6 cm,力所做的功为( ) A.0.18 J B.0.26 J C.0.12 J D.0.28 J 9.一质点在直
4、线上从时刻 t=0 s 以速度 v(t)=t 2-4t+3(单位:m/s)开始运动,求: (1)在 t=4 s 时的路程 s; (2)在 t=4 s 时的位移 x. 10.一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力,把它从自然长度压缩到比自然长度短 5 cm,求弹簧克服弹力所做的功. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.B 在同一坐标系中作出射线 y=4x(x0),曲线 y=x 3(如图),所求面积为图中阴影 部分的面积. 解方程组 得射线 y=4x(x0)与曲线 y=x 3交点的坐标为(0,0)和(2,8), 故所围成的图形的面积为 2 3 0 (4)dxxx =( -
5、) =4. 故选 B. 2.A 由解析式作出如图所示的草图: 由图可知所求封闭图形的面积为曲线 y= 与 x 轴围成的曲边三角形 OCB 的面积 与ABC 的面积之差. 解方程组 - 得曲线 y= 与直线 y=2x-1 的交点为 C(1,1),则点 B 的坐标为 (1,0), 直线与 x 轴的交点为 A( ),所以 AB= ,BC=1. 因此曲边三角形的面积 SOCB= 1 0 dx x = ,ABC 的面积 SABC= 1= , 所以所围成的封闭图形的面积为 - = . 3.C 曲线 y=- ,直线 y=-x+2 及 y 轴所围成的图形如图阴影部分所示: 阴影部分的面积可表示为 (2-x+
6、)dx; 根据对称性可知, (2-x)dx= (x-2)dx, 阴影部分的面积可表示为 0-(- )dx= dx; 由 y=- 得 x=y 2(y0),由 y=-x+2 得 x=2-y, 可画出图象如图所示: 阴影部分的面积可表示为 - (2-y-y 2)dy+ (2-y)dy; 根据对称性可知 - 4-(2-y)dy= (2-y)dy, 阴影部分的面积可表示为 - (4-y 2)dy.故选 C. 4.B 阴影部分的面积为 2 4 0 (cossin )dxx x =2(sin x+cos x) =2 -2, 矩形 ABCD 的面积为 1= , 则此点取自阴影部分的概率 P= - = ( -1
7、). 5.答案答案 解析解析 作出曲线 y=x-x 2与 y=x2-x. 如图所示,曲线 y=x-x 2和 y=x2-x 所围成的封闭图形的面积为 (x-x 2)-(x2- x)dx= (2x-2x 2)dx=( - ) =1- = ,故答案为 . 6.答案答案 2ln 2- 解析解析 由题意,作出曲线 y= (x0),直线 y=x-1 及 x=1,它们所围成的图形如下(阴 影部分): 解方程组 - 得直线 y=x-1 与曲线 y= (x0)交点的坐标为(2,1), 所以阴影部分的面积为 S= 2 1 2 (1) dxx x =( - ) =2ln 2- . 7.解析解析 (1)由题得 f(x
8、)=2ax,f(1)=2a=2,解得 a=1. f(x)=x 2+2. (2)在平面直角坐标系中画出如图所示的草图: 则所求图形的面积 S= 1 2 0 (23 ) dxxx + 2 2 1 (32) dxxx =( - ) +( - - ) = +2- +6- -4-( - - )=1. 8.A 设 x(单位:m)表示弹簧的伸长量,F(x)(单位:N)表示加在弹簧上的力. 由题意,设 F(x)=kx(k0). 当 x=0.01 时,F(0.01)=1,即 0.01k=1, k=100,F(x)=100 x, 将弹簧拉长 6 cm,力所做的功 W= 100 xdx=50 x 2 =0.18(J
9、). 故选 A. 9.解析解析 (1)由 v(t)=t 2-4t+3=(t-1)(t-3), 得当 0t1 或 3t4 时,v(t)0; 当 1t3 时,v(t)0. 所以在 t=4 s 时的路程 s= (t 2-4t+3)dt- (t 2-4t+3)dt+ (t 2-4t+3)dt= - | - - | +( - )| =4(m). (2)在 t=4 s 时的位移 x= (t 2-4t+3)dt =( - )| = (m). 10.解析解析 设 F(x)=kx(k0), 弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力, k=4, 弹簧克服弹力所做的功 W=4 =4 x 2 =50(Ncm)=0.5(J).
