1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1 |复数的乘除法与乘法的运算律 名称 内容 说明 运算 法则 任意两个复数z1=a+bi,z2=c+di a,b,c, dR 乘法 z1 z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 除法 = + i(c+di0) 1 2 z z ab cd i i 22 acbd cd 22 bc-ad cd 乘法 的运 算律 交换律 z1z2= z2z1 z1,z2, z3C 结合律 (z1z
2、2)z3= z1(z2z3) 分配律 z1(z2+z3)= z1z2+z1z3 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 2|共轭复数 名称 内容 说明 定义 共轭 复数 如果两个复数的实部 相等 ,虚部 互为相反 时 ,这两个复数叫做互为 共轭复数 a,bR 共轭 虚数 虚部不等于0的两个共轭复数叫做 共轭虚数 表示 若z=a+bi,则= a-bi z 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引
3、入 知识拓展 1.常用公式 (1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,bR); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bR). 2.设z=a+bi,则=a-bi,|z|=|=, |z|2=|2=z(a,bR). zz 22 ab zz 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1.复数乘法与多项式乘法类似,但结果必须把i2换成-1,再将实部、虚部分别合并. ( ) 提示:符合复数乘法法则. 2.|z|2=z2.( ) 提示:例如,|i|2=1,而i2=-1. 3.实数不存在共轭复数.( ) 提示:实数的共轭复数
4、是其本身. 4.两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),若R,则bc-ad=0.( ) 提示:根据复数除法法则,若R,则=+i的虚部=0,即bc-ad=0. 5.若z1,z2C,且+=0,则z1=z2=0.( ) 提示:令z1=i,z2=1,则+=0,但z1与z2均不为0. 1 2 z z 1 2 z z 1 2 z z 22 acbd cd 22 -bc ad cd 22 -bc ad cd 2 1 z 2 2 z 2 1 z 2 2 z 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入
5、数系的扩充与复数的引入 1 |利用运算性质,快速处理复数的相关问题 1.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,复 数的运算与实数的运算一样,对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘 法公式更简捷,如平方差公式、完全平方公式. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 2.解题时灵活运用以下运算性质,适当变形,可达到事半功倍的效果: (1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(nZ);in+in+1+in+2+in+3=0(nZ). (2)=-i;=i;=-i;(1i)2
6、=2i. (3)设1=,2=,则具有如下关系: =1; 1+1+2=0; =2,=1; 1=且=2; 1 2=1,1=,2=; 1 i 1i 1-i 1-i 1i -13i 2 -1- 3i 2 3 1 3 2 2 1 2 2 21 2 1 1 1 3n=1,3n+1=,3n+2=2(nZ). 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 ()计算下列各式: (1)+-; (2)(+i)5+; (3)+; (4)+. 解析解析 (1)原式=(1+i)23+(1-i)23- =(2i)3 i+(-2i)3 (-i)- =8+8-16
7、-16i=-16i. 7 (1i) 1-i 7 (1-i) 1i 3 (3-4i)(22i) 43i 1 i 22 4 1 1i 7 1i 1-i 12 3 1 -i 22 8 22i 1- 3i 6 1i 1-i 23i 3- 2i 1i 1-i 1-i 1i 2 8(3-4i)(1i) (1i) (3-4i)i 8 2i(1i) i 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 (2)原式=-i ()5 (1+i)22 (1+i)+i7 =16(-1+i)-i =-+(16-1)i. (3)+ =(-i)12+ 2 2 2 1
8、 (1i) 2 1 4 1 16 2 4 2 12 3 1 -i 22 8 22i 1- 3i 12 3 1 -i 22 8 1i 13 -i 22 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 =+(-8+8i) =1-8+8i=-7+8i. (4)解法一:原式=+ =i6+=-1+i. 解法二:原式=+ =i6+=-1+i. 导师点睛 进行复数运算时应先观察分析,然后合理调整运算的次序,达到简化运算过程的目的. 4 3 13 -i 22 3 33 6 2 (1i) 2 22 ( 23i)( 32i) ( 3)( 2) 62i3
9、i- 6 5 6 2 (1i) 2 ( 23i)i ( 3- 2i)i ( 23i)i 23i 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 跟踪训练跟踪训练1()计算: (1); (2)+. 解析解析 (1)=+i. (2)+=-=-1. 2 (12i)3(1-i) 2i 2 1-i (1i) 2 1i (1-i) 2 (12i)3(1-i) 2i -34i3-3i 2i i 2i i(2-i) 5 1 5 2 5 2 1-i (1i) 2 1i (1-i) 1-i 2i 1i 2i -2i 2i 第第1讲讲 描述运动的基本概念
10、描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1.当z为实数时,z=;反之,亦成立.“一个复数的共轭复数等于它本身”是“这 个复数为实数”的充要条件,即z=zR,这是证明一个复数是实数的一种重要 方法. 2.当a,bR时,有(a+bi)(a-bi)=a2+b2,其中a+bi与a-bi是一对共轭复数,这是虚数实数 化的一个重要方法. 3.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|2=|z|2=z. z z zz 2 |共轭复数及其应用 4.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充
11、与复数的引入数系的扩充与复数的引入 ()已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求实数b,c的值; (2)求出x的共轭复数,并计算x; (3)试判断是不是方程的根. 解析解析 (1)x=1+i是方程x2+bx+c=0的根, (1+i)2+b(1+i)+c=0,即b+c+(2+b)i=0, 解得 故b的值为-2,c的值为2. (2)x=1+i, =1-i, x x x 0, 20, bc b -2, 2. b c x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 x=(1+i)(1-i)=12+1=2
12、. (3)由(1)知方程可化为x2-2x+2=0, 把=1-i代入方程,则x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, 是方程的根. 导师点睛 与复数方程有关的问题,一般利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求 解,根与系数的关系仍适用,但判别式“”不再适用. x x x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 跟踪训练跟踪训练2()在复数范围内解方程|z|2+(z+)i=(i为虚数单位). z 3-i 2i 解析解析 |z|2+(z+)i=1-i, 设z=x+yi(x,yR), 则x2+y2+2xi=1-i, 解得 z=-i. z 3-i 2i (3-i)(2-i) (2i)(2-i) 5-5i 5 22 1, 2-1, xy x 1 -, 2 3 , 2 x y 1 2 3 2
