1、考前冲刺三考前冲刺三 多选题、开放探究型解答题多选题、开放探究型解答题 突破突破 2020 年新高考山东、海南卷及北京卷数学试题均出现了两种新题型：多选题与开 放探究型解答题，体现了“破定势，考真功”的命题理念，为了使广大考生更快、 更好地适应新高考的这种变化趋势，精选若干实例，供同学们学习体会. 类型一 多选题突破 多选题更能全面考查学生的知识、能力和数学核心素养，有利于选拔合格考生. 【例 1】 关于函数 f(x)sin|x|sin x|的下列结论，正确的是( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间 2， 单调递增 C.f(x)在，有 4 个零点 D.f(x)的最大值为 2 解析 f
2、(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，又 xR，f(x)为偶函数， 故 A 正确；当 2x 时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在 2， 单调递减，故 B 不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数 f(x)在，只有 3 个零 点，故 C 不正确；ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，f(x) 可以取到最大值 2，故 D 正确.故选 AD. 答案 AD 点评 (1)本题利用函数的解析式研究函数的单一性质，将单调性、奇偶性、最值 综合，并与函数的零点、图象交汇，全面考查三角函数的图象和性质，提高试题 的选拔功能.
3、(2)对于多项选择题，根据给分标准，务必对各选项正确推断，才能得全分；把握 不准的选项不能选，才能多得分. 【例 2】 (2020 长沙雅礼中学检测)已知数列an是等差数列，前 n 项和为 Sn，满 足 a15a3S8，下列结论一定正确的是( ) A.a100 B.S10最小 C.S7S12 D.S200 解析 设数列an的公差为 d，又 a15a3S8，所以 a15(a12d)8a128d， 则 a19d.所以 ana1(n1)d(n10)d， 所以 a100， 故 A 一定正确.Snna1 n（n1）d 2 9ndn（n1）d 2 d 2(n 219n)， 所以 S1045d， 不一定最小
4、， 故 B 不一定正确； 由 Snd 2(n 219n)的对称性知 S7S12， 故 C 一定正确， S2010d， 不一定等于 0，故 D 不一定正确.一定正确为 AC. 答案 AC 【例 3】 (2020 荆门模拟)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P 是空间中 任意一点，下列说法正确的是( ) A.若点 P 为棱 CC1的中点，则异面直线 AP 与 CD 所成角的正切值为 5 2 B.若点 P 在线段 A1B 上运动，则 APPD1的最小值为 6 2 2 C.若点 P 在半圆弧 CD 上运动， 当三棱锥 PABC 的体积最大时， 三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 2
5、D.若过点 P 的平面 与正方体每条棱所成的角都相等，则平面 截此正方体所得 截面的面积的最大值为3 3 4 解析 对于 A，如图(1)，连接 AP，BP.由 ABCD，知BAP 即为异面直线 AP 与 CD 所成的角.在 RtABP 中，AB1，BP BC2CP2 5 2 ，则 tan BAP BP AB 5 2 ，A 正确.对于 B，如图(2)，将三角形 AA1B 与四边形 A1BCD1沿 A1B 展开 到同一个平面上，连接 AD1.由图可知，线段 AD1的长度即为 APPD1的最小值. 在AA1D1中，利用余弦定理，得 AD12 2，B 错误.对于 C，如图(3)，当 P 为半圆弧 CD
6、 的中点时，三棱锥 PABC 的体积最大.连接 AC，此时，三棱锥 P ABC 的外接球球心是 AC 的中点 O，连接 OP，半径 OP 的长为 2 2 ，所以球的 表面积为 4 2 2 2 2，C 正确.对于 D，如图(4)，点 P，R，Q 分别在棱 A1D1， A1B1，AA1上，连接 QP，QR，PR.平面 与正方体的每条棱所成的角都相等，只 需与过同一顶点的三条棱所成的角都相等， 即 A1PA1RA1Q， 则平面 PQR 与正 方体过点 A1的三条棱所成的角相等.若点 E，F，G，H，M，N 分别为棱 D1C1， B1C1，BB1，AB，AD，DD1的中点，连接 EF，FG，GH，MH
7、，MN，NE，可得 平面 EFGHMN 平行于平面 PQR，且六边形 EFGHMN 为正六边形，因为正方体 的棱长为 1， 所以正六边形 EFGHMN 的边长为 2 2 ， 可得此正六边形的面积为3 3 4 ， 为截面的最大面积，D 正确.故选 ACD. 答案 ACD 【例 4】 (2020 湖北联考)已知椭圆x 2 4 y2 31 的左、右焦点分别为 F，E，直线 x m(1m1)与椭圆相交于点 A，B，则( ) A.当 m0 时，FAB 的面积为 3 B.不存在 m 使FAB 为直角三角形 C.存在 m 使四边形 FBEA 的面积最大 D.存在 m 使FAB 的周长最大 解析 根据题意作出
8、图形，如图. 对于 A，由题意，得 a2，b 3，则 c1.当 m0 时，SFAB1 22bc 1 22 3 1 3， A 正确.对于 B， 当 m0 时， 可以得出AFE 3， 当 m1 时， AFE 4， 则存在 m 使FAB 为直角三角形，B 错误；对于 C，根据椭圆的对称性可知，当 m0 时，四边形 FBEA 的面积最大，C 正确.对于 D，由椭圆的定义，得FAB 的周长为|AB|AF|BF|AB|(2a|AE|)(2a|BE|)4a|AB|AE| |BE|.|AE|BE|AB|，|AB|AE|BE|0，当 AB 过点 E 时取等号，|AB| |AF|BF|4aABAEBE4a， 即当
9、直线xm过椭圆的右焦点E时， FAB 的周长最大.此时直线 xmc1，但1m1，不存在 m 使FAB 的周长最 大，D 错误.故选 AC. 答案 AC 【例 5】 (2020 长沙模拟)已知函数 f(x)x3ax2bxc，x2，2表示的曲线 过原点，且此曲线在 x 1 处的切线的斜率均为1，则以下命题正确的是( ) A.f(x)x34x，x2，2 B.f(x)的极值点有且仅有一个 C.f(x)的极大值为16 3 9 D.f(x)的最大值与最小值之和等于零 解析 f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb. 由题意可得 f（0）c0， f（1）32ab1， f（1）32ab1， 解得 a0， b4， c0， f(x)x34x，f(x)3x24，x2，2. 令 f(x)0，得 x 2 3 3 2，2. 当2x2 3 3 或2 3 3 0， 当2 3 3 x2 3 3 时，f(x)Sk1且 Sk1Sk1且 Sk10， Sk1Skak10， ak128（k1）1390， 解得111 28 kSk1且 Sk1Sk1且 Sk10， Sk1Skak10， ak128（k1）1390， 解得111 28 kSk1且 Sk1Sk1且 Sk10， Sk1Skak10， ak128（k1）1390， 解得111 28 kSk1且 Sk1Sk.
