1、第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数代数形式的加、减运算及其几何意义 基础过关练基础过关练 题组一题组一 复数的加、减法复数的加、减法 1.已知复数 z1=2 018-3i,z2=1+3i,则 z1+z2=( ) A.6i B.2 019 C.2 019+6i D.2 019-6i 2.复数(1+i)-(2-i)-3i 等于( ) A.-1-i B.1-i C.i D.-i 3.已知复数 z-3+3i=2-3i,则 z=( ) A.0 B.6 C.6i D.5-6i
2、 4.已知复数 z1=(a 2-2)-3ai,z 2=a+(a 2+2)i,若 z 1+z2是纯虚数,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.-2 D.-2 或 1 5.若复数 z 满足 z+(3-4i)=1,则 z 的虚部是( ) A.-2 B.4 C.3 D.-4 6.实数 x,y 满足 z1=y+xi,z2=yi-x,且 z1-z2=2,则 xy 的值是( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 7.设 f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)等于( ) A. B.5 C. D.5 8.已知 z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,yR R),z2=(
3、4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR R).设 z=z1-z2,且 z=13-2i,则 z1= ,z2= . 9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i); (2)5i-(3+4i)-(-1+3i); (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR). 10.已知 z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y 为实数,若 z1-z2=5-3i,求 |z1+z2|. 11.(1)已知复数 z 满足 z+1-3i=5-2i,求 z; (2)已知复数 z 满足|z|+z=1+3i,求 z. 12.已知复数 z1=(a-1)+(2-a)i,z
4、2=2a-1+(1-2a)i(其中 i 为虚数单位,aR R),若 z1+z2为实数,求实数 a 的值. 题组二题组二 复数加、减法的几何意义复数加、减法的几何意义 13.在复平面内,O 是原点,向量 , , 表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则 向量 表示的复数为( ) A.2+8i B.4-4i C.6-6i D.-4+2i 14.设平行四边形 ABCD 在复平面内,A 为原点,B,D 两点对应的复数分别是 3+2i 和 2-4i,则点 C 对应的复数是 . 15.设 z=3-4i,则复数 z-|z|+(1-i)在复平面内对应的点在第 象限. 16.已知 zC C,指出下列等式
5、所表示的几何图形. (1)|z+1+i|=1; (2)|z-1|=|z+2i|; (3)|z+1|+|z+1-i|=2. 17.如图,平行四边形 OABC 中,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: (1)向量 对应的复数,向量 对应的复数; (2)向量 对应的复数; (3)B 点对应的复数. 18.如图所示,复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,在复平面内对应的点分别是一个正 方形的三个顶点 A、B、C,求这个正方形的第四个顶点 D 对应的复数. 19.在复平面内,复数-3-i 与 5+i 对应的向量分别是 与 ,其中 O 是原点,求向 量 + 对应的
6、复数、向量 对应的复数及 A,B 两点间的距离. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.()如图所示,设向量 , , 对应的复数分别为 z1,z2,z3,那么( ) A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0 C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0 2.()ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z1,z2,z3,复数 z 满足|z-z1|=|z- z2|=|z-z3|,则 z 对应的点是ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3.()已知 i 是虚数单位,复数 z1=-3+2i,z2=1-4i,则复数 z=z1+z2在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象
7、限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.()设复数 z 满足关系式 z+|z|=2+i,那么 z 等于( ) A.- +i B. -i C.- -i D. +i 5.()已知复数 z 对应的向量如图所示,则下图中表示复数 z+1 对应的向量的 是( ) 6.()在复平面内点 A,B,C 对应的复数分别为 1+3i,-i,2+i,若 = ,则点 D 表示的复数是( ) A.1-3i B.-3-i C.3+5i D.5+3i 7.(2019 河北张家口第四中学高二月考,)设复数 z 满足|z-i|=1,z 在复平面 内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1) 2+y2=1 B.(x
8、-1) 2+y2=1 C.x 2+(y-1)2=1 D.x 2+(y+1)2=1 二、填空题 8.()已知复数 z1=2+ai,z2=a+i(aR),且复数 z1-z2在复平面内对应的点位于 第二象限,则 a 的取值范围是 . 9.()如图所示,在复平面内的四个点 O,A,B,C 恰好构成平行四边形,其中 O 为原点,A,B,C 对应的复数分别是 zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,bR),则 zA- zC= . 三、解答题 10.()计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(-2 016+2 017i)+(2 017-2 018i). 11.()已知
9、 z1=cos +isin ,z2=cos -isin , 为实数,且 z1-z2= + i, 求 cos(+)的值. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.B z1+z2=2 018-3i+1+3i=(2 018+1)+(3-3)i=2 019,故选 B. 2.A (1+i)-(2-i)-3i=(1-2)+(i+i-3i)=-1-i.故选 A. 3.D z-3+3i=2-3i,z=(2-3i)-(-3+3i)=5-6i,故选 D. 4.C 由 z1+z2=a 2-2+a+(a2-3a+2)i 是纯虚数,得 - - 解得 a=-2. 5.B z+(3-4i)=1,z=-2+4i,
10、z 的虚部是 4. 6.A z1-z2=(y+x)+(x-y)i=2, 即 - x=y=1,xy=1. 7.D 因为 z1-z2=5+5i, 所以 f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5 . 8.答案答案 5-9i;-8-7i 解析解析 z=z1-z2=(3x+y-4y+2x)+(y-4x+5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i, - - 解得 - z1=5-9i,z2=-8-7i. 9.解析解析 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i. (2)5i-(3+4i)-(-1+3i)=5i-(4+i)=-4+4i. (
11、3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i. 10.解析解析 z1-z2=(3x-4y)+(y-2x)i-(-2x+y)+(x-3y)i=(3x-4y)-(- 2x+y)+(y-2x)-(x-3y)i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i, 所以 - - - 解得 所以 z1=3-2i,z2=-2+i,则 z1+z2=1-i, 所以|z1+z2|= . 11.解析解析 (1)解法一:设 z=x+yi(x,yR),因为 z+1-3i=5-2i,所以 x+yi+(1-3i)=5- 2i,即 x+1=5 且 y-3=-2,解得 x=4,
12、y=1,所以 z=4+i. 解法二:因为 z+1-3i=5-2i,所以 z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. (2)设 z=x+yi(x,yR),则|z|= ,又|z|+z=1+3i,所以 +x+yi=1+3i, 由复数相等的充要条件得 解得 - 所以 z=-4+3i. 12.解析解析 复数 z1=(a-1)+(2-a)i,z2=2a-1+(1-2a)i(其中 i 为虚数单位,aR), z1+z2=3a-2+(3-3a)i, 又z1+z2为实数, 3-3a=0,解得 a=1. 13.B = - = -( + )=3+2i-(1+5i-2+i)=3+2i+1-6i=4-4i. 14.答案答案
13、 5-2i 解析解析 设 AC 与 BD 的交点为 E,则点 E 的坐标为( - ),设点 C 的坐标为(x,y),则 x=5,y=-2,故点 C 对应的复数为 5-2i. 15.答案答案 三 解析解析 因为 z=3-4i,所以|z|=5, 所以 z-|z|+(1-i)=3-4i-5+(1-i)=-1-5i,其在复平面内对应的点 Z(-1,-5)位于第 三象限. 16.解析解析 (1)表示以点(-1,-1)为圆心,1 为半径的圆. (2)表示以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线. (3)表示以点(-1,0)和(-1,1)为焦点,长轴长为 2 的椭圆. 17.解析解析 (1) =
14、- , 向量 对应的复数为-3-2i. = , 向量 对应的复数为-3-2i. (2) = - , 向量 对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3) = + = + , 向量 对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 18.解析解析 复数 z1,z2,z3在复平面内对应的点分别为 A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2).设 正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x,yR), 则 = - =(x,y)-(1,2)=(x-1,y-2), = - =(-1,-2)-(-2,1)=(1,-3). = , - - - 解
15、得 - 故点 D 对应的复数为 2-i. 19.解析解析 向量 + 对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2. = - , 向量 对应的复数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i. A,B 两点间的距离为|-8-2i|= - - =2 . 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.D + =0, + - =0,z1+z2-z3=0. 2.A 设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应,由ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知,点 Z 到ABC 的三个顶点的距离相等,由三角 形外心的定义可知,点 Z 为ABC 的外心. 3.C 由复数的加法运
16、算可知 z=z1+z2=-3+2i+1-4i=-2-2i,在复平面内对应的点的 坐标为(-2,-2),所以复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限,故选 C. 4.D 设 z=a+bi(a,bR),则 z+|z|=(a+ )+bi=2+i, 则 解得 z= +i. 5.A 由题图知 z=-2+i,则 z+1=-1+i,所以由复数的几何意义可知选项 A 正确. 6.C 点 A,B,C 对应的复数分别为 1+3i,-i,2+i, = - , 对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i. 设 D(x,y), = ,(x-1,y-3)=(2,2), - - 解得 点 D 对应的复数为 3+5i. 7.
17、C 由题意知 z=x+yi(x,yR R),则 z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|= - =1,即 x 2+(y-1)2=1.故选 C. 二、填空题 8.答案答案 (2,+) 解析解析 由题得 z1-z2=(2-a)+(a-1)i, 因为复数 z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限, 所以 - - 解得 a2. 故答案为(2,+). 9.答案答案 2-4i 解析解析 因为 + = , 所以 4+ai+(a+bi)=6+8i, 因为 a,bR, 所以 解得 所以 zA=4+2i,zC=2+6i, 所以 zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i. 三、解答题 10.解析解析 原式=(1-2)+(3-4)+(2 015-2 016)+2 017+(-2+3)+(- 4+5)+(-2 016+2 017)-2 018i =(-1 008+2 017)+(1 008-2 018)i =1 009-1 010i. 11.解析解析 z1=cos +isin ,z2=cos -isin , z1-z2=(cos -cos )+i(sin +sin )= + i, - 2+2得 2-2cos(+)=1, 即 cos(+)= .
