1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 本章达标检测本章达标检测 (满分:150分;时间:120分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下面是某电影中的一个片段:女主人欲输入由十个数字组成的密码,当她依次输 入了前八个数字 11235813 后,欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是忘记了最 后两个数字,也许.请你根据上述相关数据信息推测最后两个数字最有可能是 ( ) A.2,1 B.2,0 C.1,3 D.3,1 2.下面几种推理是合情推理的是( ) 由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形 内角和是 180 归纳出所有三角形的内角和
2、都是 180 ;由 f(x)=sin x 满足 f(-x) =-f(x),xR R,推出 f(x)=sin x 是奇函数;三角形内角和是 180 ,四边形内角和是 360 ,五边形内角和是 540 ,由此得凸 n 边形内角和是(n-2)180 . A. B. C. D. 3.用演绎法证明函数 y=x 3是增函数时的大前提是( ) A.增函数的定义 B.函数 y=x 3满足增函数的定义 C.若 x1x2,则 f(x1)x2,则 f(x1)f(x2) 4.在证明命题“对于任意角 ,cos 4-sin4=cos 2”的过程中,“cos4- sin 4=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=c
3、os2-sin2=cos 2”应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法 D.间接证法 5.下列证明中更适合用反证法的是( ) A.证明 + + = (nN *) B.证明 是无理数 C.证明 cos 4x-sin4x=cos 2x D.已知 - =1,证明 3sin 2x=-4cos 2x 6.用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n-2)”时,归纳奠基中 n0的取值应为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.观察下列式子:1+ ,1+ + ,1+ + + ,根据以上式子可以猜 想:1+ + + 0,a+c0,b+c0,则 f(a)+f(b)+f(c)的值 ( )
4、A.一定大于 0 B.一定等于 0 C.一定小于 0 D.正负都有可能 12.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为k,即 k=5n+k|nZ,k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: 2 0133; -22; Z=01234; “整数 a,b 属于同一类”的充要条件是“a-b0”. 其中,正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛,有两人获奖.在比赛结果揭晓之前,四 人的猜测如下表,其中“”表示猜测某人获奖,“”表示猜测某人未获奖,而“”
5、则表 示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那 么两名获奖者是 . 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 14.已知点 A(x1, ),B(x2, )是函数 y=a x(a1)的图象上任意不同的两点,依据 图象可知,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立,运用类比的思想方法可知,若点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是 函数 y=sin x (x(0,)的图象上任意不同的两点,则类似地有 成 立. 15.设平面内有 n 条直线(n3),其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条直线不
6、 过同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)= ;当 n4 时, f(n)= (用含 n 的数学表达式表示). 16.下面给出一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数 成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数为 aij(ij,i,jN *), 则 a53= ,amn= (m3). , , , , , , 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知 0a0,nN*. (1)计算 a1,a2,a3的值,并猜想an的通项公式; (2)用数学归纳法证明an的通项公式. 19.(12 分)已知 ,k+ (k
7、Z),且 sin +cos =2sin ,sin cos =sin 2.求 证: - = - . 20.(12 分)正项数列an的前 n 项和为 Sn,且 2Sn= +n 对于任意的 nN*均成立. (1)求 a1,a2,a3; (2)猜想数列an的通项公式并证明; (3)比较 与(n+1 的大小并给出证明. 21.(12 分)刺绣有着悠久的历史,如下图,(1)(2)(3)(4)为刺绣中最简单的四个图 案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n(nN *)个图案包含 f(n)个小正方形. (1)求出 f(5)的值; (2
8、)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你 得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 + - + - + - (n2)的值. 22.(12 分)已知数列an是以 d 为公差的等差数列,数列bn是以 q 为公比的等比 数列. (1)若数列bn的前 n 项和为 Sn,且 a1=b1=d=2,S3sr,且(s-r)是(t-r)的约数),求证:数列bn中 每一项都是数列an中的项. 答案全解全析答案全解全析 一、选择题 1.A 分析前八个数字 11235813,发现 1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13,又 8+13=21,最后
9、两个数字最有可能是 2,1. 2.C 是类比推理,是归纳推理,类比推理和归纳推理统称为合情推理,所以 是合情推理.是演绎推理. 3.A 用演绎法证明函数为增函数时,大前提应为增函数的定义.故选 A. 4.B 证明从已知出发,变形后经推理得到结论,符合综合法的特征. 5.B 对于 A, + + =1- + - + - = (nN *),适合直接证明; 对于 B,不适合直接证明,适合反证法; 对于 C,cos 4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos 2x,适合直接证明; 对于 D,由已知可得 tan x=- ,所以 - = - = - =1,也适合直接证 明
10、. 综上,更适合用反证法的是选项 B. 6.C 边数最少的凸 n 边形为三角形,故 n0=3. 7.B 由题可知不等式的左边各项的分子是 1,分母是正整数的平方,右边分数的分 母等于左边最后一项分数分母的算术平方根,分子是以 3 为首项,2 为公差的等差 数列,故可得 1+ + + . 8.C 由题中数阵知 A(3,2)= ,A(4,2)= ,A(5,2)= , 依此类推,A(8,2)= = . 9.C 三边长分别是 2,3,4 的“连续整边三角形”中,设最大角为 ,则 cos = - =- 0,故 是钝角,所以该三角形是钝角三角形,故 A,B 都错误; 如图,ABC 中,设 AC=n,BC=
11、n+2,AB=n+1,nN *,若BAC=2ABC,作 AD 平分BAC,则 CAD=BAD=ABC,所以CADCBA,所以 = ,所以 CD= = ,BD=n+2- = , 又由 AD 是BAC 的角平分线,得 = , 所以 = ,解得 n=4(负值舍去), 所以“连续整边三角形”中最大角是最小角的 2 倍的三角形有且仅有 1 个,该三角形 三边长分别为 4,5,6,故 C 正确,D 错误. 10.D 假设 a,b,c 都小于 ,则 a+2b+c0,f(x)在 R 上是增函数.又 a+b0,a-b,f(a)f(-b). 又 f(x)=x 3+x 是奇函数,f(a)-f(b),即 f(a)+f
12、(b)0.同理, f(b)+f(c)0,f(c)+f(a)0,f(a)+f(b)+f(c)0.故选 A. 12.C 因为 2 013=5 402+3,所以 2 0133,正确;因为-2=5 (-1)+3,所以- 23,不正确;正确;设 a=5n1+k1,b=5n2+k2,n1,n2Z,k1,k20,1,2,3,4,若 a,b 属于同一“类”,则 k1=k2,a-b=5(n1-n2),则 a-b0;若 a-b0,则 a-b=5(n1-n2)+k1- k20,则 k1-k2=5m(mZ),又由 k1、k20,1,2,3,4,得|k1-k2|max=4,k1-k2=0, k1=k2,即 a,b 属于
13、同一“类”,所以正确.故正确的结论有 3 个. 二、填空题 13.答案答案 乙、丁 解析解析 由题表可知,若甲的猜测正确,则乙、丙、丁的猜测错误,与题意不符,故甲 的猜测错误;若乙的猜测正确,则依题意丙的猜测无法确定正误,丁的猜测错误;若 丙的猜测正确,则丁的猜测错误. 综上,只有乙、丙的猜测不矛盾,依题意乙、丙的猜测是正确的,从而得出乙、丁 获奖. 14.答案答案 1)的图象上任意不同的两点,且函数是变 化率逐渐变大的函数,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有 成立;而函数 y=sin x(x(0,)的变化率逐渐变小,线段 AB 总是位 于 A、B 两点之间函数图象的
14、下方,故可类比得到结论 sin . 15.答案答案 5; (n-2)(n+1) 解析解析 最初的 3 条直线产生 2 个交点,即 f(3)=2. 每增加 1 条直线,与前面的每条直线最多产生 1 个交点,而新增加的第 n 条直线, 与前面的(n-1)条直线产生(n-1)个交点,即 f(n)-f(n-1)=n-1. 由下图知 f(4)=5. 当 n4 时, f(n)-f(n-1)=n-1, f(n-1)-f(n-2)=n-2, f(4)-f(3)=3, 叠加可得 f(n)-f(3)= (n+2)(n-3). 因为 f(3)=2, 所以 f(n)= (n+2)(n-3)+2, 化简整理,得 f(n
15、)= (n-2)(n+1). 16.答案答案 ; 解析解析 设第一列等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q. 由题意可知,第一列的首项为 ,公差 d= - = ,a51= +4 = . 由题意知,每行的公比都是 ,即 q= , a53=a51q 2= ( ) = . 由题意知 am1= +(m-1) = ,amn= ( ) - = ,m3. 三、解答题 17.证明证明 0a1,01-a0,a1= -1. 当 n=2 时,a2S2= -a2+1,解得 a2=- ,又 an0,a2= - . 当 n=3 时,a3S3= -a3+1,解得 a3=- ,又 an0,a3= - . 猜想 an= -
16、 - (nN *). (2)证明:当 n=1 时,由(1)可知 a1= -1,猜想成立. 假设 n=k(kN *)时,a k= - - 成立, 又anSn= -an+1, Sn= an+ -1, ak+1=Sk+1-Sk= + -1 - + -1 , 将 ak= - - 代入上式并化简,得 +2 ak+1-2=0, ak+10, ak+1= - - . 所以当 n=k+1 时猜想也成立. 综上可知,an= - - 对一切 nN *都成立. 19.证明证明 要证 - = - 成立, 只需证 - = - ( ) , 即证 cos 2-sin2= (cos 2-sin2), 即证 1-2sin 2=
17、 (1-2sin 2), 即证 4sin 2-2sin2=1. 因为 sin +cos =2sin , 所以(sin +cos ) 2=1+2sin cos =4sin2,又 sin cos =sin2,所以 1+2sin 2=4sin2,即 4sin2-2sin2=1. 故原结论得证. 20.解析解析 (1)当 n=1 时,2a1= +1,解得 a1=1; 当 n=2 时,2(a1+a2)= +2=2+2a2, 解得 a2=0(舍)或 a2=2; 当 n=3 时,2(a1+a2+a3)= +3=6+2a3, 解得 a3=-1(舍)或 a3=3. 综上,a1=1,a2=2,a3=3. (2)猜
18、想:an=n(nN *). 当 n=1 时,a1=1,猜想成立. 假设当 n=k(kN *)时,猜想成立,即 a k=k,此时 2Sk= +k, 则当 n=k+1 时, 由 2Sk+1= +(k+1), 即 2(Sk+ak+1)= +(k+1), 即 2Sk+2ak+1= +(k+1), 则 +k+2a k+1= +(k+1), 即 k 2+k+2a k+1= +(k+1), 解得 ak+1=1-k(舍)或 ak+1=1+k, 由知,对任意的 nN *,a n=n 成立. (3)由(2)知 an=n,则 =nn+1,(n+1 =(n+1)n, 猜想:n=1,2 时,n n+1(n+1)n. 证
19、明:易知,n=1,2 时,猜想成立. 当 n3 时,不等式两边同时取对数,得 (n+1)ln nnln(n+1), 即证 (n3), 构造函数 f(x)= ,即证 f(x)f(x+1)(x3), 又函数的导数 f(x)= - = - , 则当 x3 时, f(x)f(n+1). 所以 n3 时,猜想成立. 综上,n=1,2 时, (n+1 . 21.解析解析 (1)按所给图案的规律画出第五个图案如下: 由图可得 f(5)=41. (2)由题意可得 f(2)-f(1)=4=4 1; f(3)-f(2)=8=4 2; f(4)-f(3)=12=4 3; f(5)-f(4)=16=4 4; 由上述规
20、律,可得 f(n+1)-f(n)=4n. f(n+1)-f(n)=4nf(n+1)=f(n)+4nf(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n- 2)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+4=2n 2-2n+1. f(n)=2n 2-2n+1(nN*). (3)当 n2 时, - = - = - = ( - - ), 原式= + 1- + - + - + - - =1+ ( - )= - . 22.解析解析 (1)由题意知,an=2n,bn=2q n-1,所以由 S 3a1 003+5b2-2 010,可得 b1+b2+b3a1 003+5b2-2
21、010,即 q 2-4q+30,解得 1qbm+p-12 k2m+p-1km+p-1km+p(*), 又 bk=2 k=b m+bm+1+bm+2+bm+p-1=2 m+2m+1+2m+p-1= - - =2 m+p-2m2m+p, 所以 ksr,且(s-r)是(t-r)的约数,所以 q 是整数,且 q2, 对于数列bn中任一项 bi(这里只要讨论 i3 的情形), 有 bi=arq i-1=a r+ar(q i-1-1) =ar+ar(q-1)(1+q+q 2+qi-2) =ar+d(s-r)(1+q+q 2+qi-2) =ar+(s-r)(1+q+q 2+qi-2)+1-1d, 由于(s-r)(1+q+q 2+qi-2)+1 是正整数,所以 b i一定是数列an的项. 故得证.
