1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.3 数学归纳法数学归纳法 基础过关练基础过关练 题组一题组一 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 1.用数学归纳法证明 1- + - + - =2 + + (n 为正偶数)成立时,若假 设 n=k(k2 且 k 为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证 n= 时等式成 立( ) A.k+1 B.k+2 C.2k+2 D.2(k+2) 2.某个与正整数 n 有关的命题:如果当 n=k(kN *)时命题成立,并且可以推出当 n=k+1 时该命题也成立.现已知当 n=5 时命题不成立,那么可以推得( ) A.当 n=4 时命题不成立 B.当 n=6 时命
2、题不成立 C.当 n=4 时命题成立 D.当 n=6 时命题成立 3.(2019 福建莆田一中高二期中)用数学归纳法证明等式 1+a+a 2+ +a n-1= - - (a1,nN *),在验证 n=1 成立时,等式左边需计算的项是( ) A.1 B.1+a C.1+a+a 2 D.1+a+a 2+a3 4.(2019 辽宁凤城一中高二月考)用数学归纳法证明“1+2+3+n 3= ,nN *”的过 程中,从 n=k(kN *)到 n=k+1 时,等式左边应添加的项是( ) A.k 3+1 B.(k+1) 3 C.(k 3+1)+(k3+2)+(k+1)3 D. 5.(2019 安徽六安二中高二
3、期末)已知 f(n)=1+ + + + (nN *),用数学归纳法证 明 f(n)n 时,有 f(k+1)-f(k)= (kN *). 6.(2019 安徽亳州二中高二月考)用数学归纳法证明: 1+2+3+(n+3)= (nN *). 题组二题组二 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 7.(2019 安徽师范大学附属中学高二期中)在用数学归纳法证明“2 nn2 对从 n0开始 的所有正整数都成立”时,第一步验证的 n0等于( ) A.1 B.3 C.5 D.7 8. 对于不等式 n+1(nN *),某学生的证明过程如下: 当 n=1 时, 1+1,不等式成立. 假设 n=k(kN *
4、)时,不等式成立,即 k+1,则 n=k+1 时, = - (nN *).假设 n=k(kN*)时,不等式成立, 则当 n=k+1 时,应推证的目标不等式是 . 10.用数学归纳法证明“2 n+1n2+n+2(nN*)”时,第一步的验证为 . 题组三题组三 用数学归纳法解决归纳用数学归纳法解决归纳猜想猜想证明问题证明问题 11.(2019 北师大附中高二期末)在数列an中,a1=1,an+1= (nN *). (1)计算 a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.(2019 山西大学附中高二月考,)用数学归纳法证明
5、“5 n-2n(nN*)能被 3 整除” 的第二步中,n=k+1 时,为了使用假设,应将 5 k+1-2k+1变形为( ) A.5(5 k-2k)+3 2k B.(5k-2k)+4 5k-2k C.(5-2)(5 k-2k) D.2(5k-2k)-3 5k 2.(2018 湖北鄂州期中,)已知数列an的前 n 项和为 Sn,首项 a1=- ,且 Sn+ +2=an(n2),则 S2 018=( ) A.- B.- C.- D.- 二、填空题 3.()如图为一个类似于杨辉三角的数阵,则第九行的第二个数为 . 1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 三、解答题 4.(
6、2019 湖南长沙长郡中学调研,)已知正项数列an满足 a1=1, an+1= (nN *). (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn=(n+1)an-nan+1,记数列bn的前 n 项和为 Tn,求证:Tnn2,当 n=2 时,2n=n2,当 n=3 时,2nn2,所以第一步验证的 n 0等于 5,故选 C. 8.D 从 n=k(kN *)到 n=k+1 的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证 明要求. 9.答案答案 + + + - 解析解析 观察不等式左边分式的分母可知,从 n=k(kN *)到 n=k+1,不等式的左边多出 了 这一项. 10.答案答案 当 n=1 时,左边
7、=4,右边=4,左边右边,不等式成立 解析解析 nN *,第一步的验证应为当 n=1 时的情况. 11.解析解析 (1)a1=1,an+1= (nN *), a2= = , a3= = = , a4= = = , 因此可猜想:an= - (nN *). (2)当 n=1 时,a1=1,等式成立, 假设 n=k(kN *)时,等式成立,即 a k= - , 则当 n=k+1 时,ak+1= = - - = = - , 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综上所述,对任意 nN *,a n= - . 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.A 假设当 n=k(kN *)时,命题成立,即 5k-2k能
8、被 3 整除, 当 n=k+1 时, 5 k+1-2k+1=5 5k-2 2k=5(5k-2k)+5 2k-2 2k=5(5k-2k)+3 2k. 2.A 数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn+ +2=an(n2), 则 Sn+ +2=Sn-Sn-1, 所以 Sn=- - . S1=a1=- , 则当 n=2 时,S2=- =- , 当 n=3 时,S3=- =- , 猜想:Sn=- (nN *). 用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,左边 S1=a1=- ,右边=- =- ,猜想成立. 假设当 n=k(kN *)时猜想成立,即 Sk=- , 则当 n=k+1 时,Sk+1=- =-
9、- =- ,所以当 n=k+1 时猜想也成立. 综上所述,Sn=- 对任意 nN *都成立. 所以 S2 018=- =- .故选 A. 二、填空题 3.答案答案 66 解析解析 设第 n(n2 且 nN *)行的第二个数为 a n,由题图可知 a2=3,a3-a2=3,a4- a3=5,an-an-1=2n-3,叠加可得 an=n 2-2n+3,所以第九行的第二个数 a 9=81- 18+3=66. 三、解答题 4.解析解析 (1)由题可得,a1=1,a2= ,a3= ,从而猜想 an= (nN *).用数学归纳法证 明如下: 当 n=1 时,有 a1=1= ,猜想成立; 假设当 n=k(k
10、N *)时猜想成立,即 a k= ,则当 n=k+1 时, ak+1 = = ,所以当 n=k+1 时,猜想也成立. 由可知,an= 对任意 nN *都成立. (2)证明: - =( - )(n+1)+ +n, 由基本不等式可得(n+1)+ +n(2 + )=3 , 所以 - ( - ) =(n+1) -n =bn, 所以 Tn ( - )+( - )+ - = - , 故 Tn . 5.解析解析 (1)第 5 个等式为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=9 2; 第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1) 2,nN*. (2)当 n=1 时,等式左边=
11、1,等式右边=(2-1) 2=1,所以等式成立. 假设 n=k(kN *)时,等式成立,即 k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1) 2, 那么,当 n=k+1 时, (k+1)+(k+1)+1+(k+1)+2+3(k+1)- 2=(k+1)+(k+2)+(k+3)+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k- 1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1) 2+8k=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=2(k+1)-12,即 n=k+1 时等式 成立. 根据和,可知对任何 nN *等式都成立. 6.解析解析 (1)证明:因为 f(n)f(n+1)+1=22-
12、f(n+1),整理,得 f(n+1)= - , 由 f(1)=2,代入得 f(2)= - = , f(3)= - = , 所以 f(3)-f(2)= - = . (2)存在. 由 f(1)=2, f(2)= ,可得 a=- ,b= . 故猜想存在实数 a=- ,b= ,使 f(n)= - (- ) - +1 对任意正整数 n 恒成立. 用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,显然成立. 假设当 n=k(kN *)时,猜想成立, 即 f(k)= - (- ) - +1, 那么,当 n=k+1 时, f(k+1)= - = - (- )(- ) - (- )(- ) - = (- ) (- ) - =1+ (- ) - = - (- ) - +1, 即当 n=k+1 时, f(k+1)= - (- ) - +1 成立. 由可知,存在实数 a=- ,b= ,使 f(n)= (- ) - +1 对任意正整数 n 恒成立.
