1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.3.2 综合拔高练综合拔高练 五年高考练五年高考练 考点考点 1 1 导数与极值导数与极值 1.(2016 四川,6,5 分,)已知 a 是函数 f(x)=x 3-12x 的极小值点,则 a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 2.(2017 课标全国,11,5 分,)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1的极值点, 则 f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e -3 D.1 3.(2015 陕西,15,5 分,)函数 y=xe x在其极值点处的切线方程为 . 4.(2016 山东,20,13 分,
2、)设 f(x)=xln x-ax 2+(2a-1)x,aR R. (1)令 g(x)=f(x),求 g(x)的单调区间; (2)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围. 5.(2017 山东,20,13 分,)已知函数 f(x)= x 3- ax 2,aR R. (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程; (2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有 极值时求出极值. 考点考点 2 2 导数与极值的综合运用导数与极值的综合运用 6.(2019 课标全国,21,12 分,)已
3、知函数 f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点; (2)f(x)=0 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 7.(2018 北京,18,13 分,)设函数 f(x)=ax 2-(4a+1)x+4a+3ex. (1)若曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与 x 轴平行,求 a; (2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围. 8.(2019 课标全国,20,12 分,)已知函数 f(x)=sin x-ln(1+x), f(x)为 f(x)的导数.证明: (1)f(x)在区间(- )存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有 2
4、个零点. 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.(2020 安徽阜阳第三中学高二期末,)已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象 如图,则下列叙述正确的是( ) A.函数 f(x)在(-,-4)上单调递减 B.函数 f(x)在 x=-1 处取得极大值 C.函数 f(x)在 x=-4 处取得极值 D.函数 f(x)只有一个极值点 2.(2019 四川成都高三摸底,)若函数 f(x)=(x 2+ax+3)ex在(0,+)内有且仅有 一个极值点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-,-2 B.(-,-2 ) C.(-,-3 D.(-,-3) 3.(2019 河北唐山开滦二中高二下期中,)若 x
5、=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex 的极值点,则 f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.-e D.1 4.()若函数 f(x)= x 3+ (1-3a)x 2+(2a2-a)x+1 在区间(0,3)内存在极值点,则 实数 a 的取值范围是( ) A.(0,3) B.( ) C.(0,1)(1,3) D.( )(1,2) 5.(2019 河北鹿泉一中高二月考,)函数 f(x)=2x-4sin x,x*- +的图象大 致是( ) 6.(2019 湖南湘潭高三一模,)若函数 f(x)= - 恰有 三个极值点,则 m 的取值范围是( ) A.(- - ) B.(-
6、) C.(- - ) D.(- - ) 7.(2019 江苏海安高级中学高一下期中,)已知函数 f(x)=e x(x-aex)恰有两个 极值点 x1,x2(x1x2),则 a 的取值范围是( ) A.( ) B.(1,3) C.( ) D.( ) 二、填空题 8.(2019 河北枣强中学高二下期末,)已知函数 f(x)= ln(x-1),aR R,x=2 为 f(x)的极值点,则关于 x 的不等式 f(x)0,解得 x1,所以 f(x)在(-,-2),(1,+)上单调递增,在(-2,1) 上单调递减, 所以 f(x)的极小值为 f(1)=(1-1-1)e 1-1=-1.故选 A. 3.答案答案
7、 y=- 解析解析 令 y=f(x)=xe xf(x)=(1+x)ex, 令 f(x)=0 x=-1,此时 f(-1)=- ,函数 y=xe x 的图象在其极值点处的切线方程为 y=- . 4.解析解析 (1)f(x)=ln x-2ax+2a, 则 g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+), 则 g(x)= -2a= - , 当 a0 时,x(0,+)时,g(x)0,函数 g(x)单调递增; 当 a0 时,x( )时,g(x)0,函数 g(x)单调递增, x( )时,g(x)0 时,函数 g(x)的单调递增区间为( ),单调递减区间为( ). (2)由(1)知, f(1)=0. 当 a0
8、 时, f(x)单调递增, 所以当 x(0,1)时, f(x)0, f(x)单调递增, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,不符合题意. 当 0a1,由(1)知 f(x)在( )内单调递增, 可得当 x(0,1)时, f(x)0, 所以 f(x)在(0,1)内单调递减,在( )内单调递增, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,不符合题意. 当 a= 时, =1 时, f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以当 x(0,+)时, f(x)0 恒成立, f(x)单调递减,无极值点,不符合题意. 当 a 时,0 0, f(x)单调递增, 当 x(1,+)时, f(x)
9、. 5.解析解析 (1)由题意得 f(x)=x 2-ax, 当 a=2 时, f(3)=0, f(x)=x 2-2x, f(3)=3, 因此,曲线 y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程是 y=3(x-3),即 3x-y-9=0. (2)g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, g(x)=x 2-ax-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x), 当 x0 时,x-sin x0,当 x=0 时,x-sin x=0,当 x0 时,x-sin x0, 令 g(x)=0,得 x=a 或 x=0. 当 a=0 时,g(x)0 恒成立,g(x)单调递增,无极值. 当 a0,g
10、(x)单调递增; 在(a,0)上,g(x)0,g(x)单调递增. x=a 为极大值点,g(x)有极大值,极大值为 g(a)=- a 3-sin a, x=0 为极小值点,g(x)有极小值,极小值为 g(0)=-a. 当 a0 时, 在(-,0)上,g(x)0,g(x)单调递增; 在(0,a)上,g(x)0,g(x)单调递增. x=0 为极大值点,g(x)有极大值,极大值为 g(0)=-a, x=a 为极小值点,g(x)有极小值,极小值为 g(a)=- a 3-sin a. 综上所述,当 a=0 时,g(x)0 恒成立,g(x)单调递增,无极值; 当 a0 时,在(-,0)和(a,+)上 g(x
11、)单调递增,在(0,a)上 g(x)单调递减,极大值 为-a,极小值为- a 3-sin a. 6.证明证明 (1)f(x)的定义域为(0,+). f(x)= - +ln x-1=ln x- . 因为 y=ln x 单调递增,y= 单调递减,所以 f(x)单调递增.又 f(1)=-10,故存在唯一的 x0(1,2),使得 f(x0)=0. 又当 0xx0时, f(x)x0时, f(x)0, f(x)单调递增. 因此, f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知 f(x0)0, 所以 f(x)=0 在(x0,+)内存在唯一的实数根 x=. 由 x01 得 1 ,则当 x( )时, f (x)0
12、. 所以 f(x)在 x=2 处取得极小值,符合题意. 若 a ,则当 x(0,2)时,x-20,ax-1 x-10, 所以 2 不是 f(x)的极小值点,不符合题意. 综上可知,a 的取值范围是( ). 8.证明证明 (1)设 g(x)=f(x), 则 g(x)=cos x- (x-1), g(x)=-sin x+ . 当 x(- )时,g(x)单调递减,而 g(0)0,g( )0;当 x( )时,g(x)0. 所以 g(x)在(-1,)上单调递增,在( )上单调递减,故 g(x)在(- )上存在唯 一极大值点,即 f(x)在(- )上存在唯一极大值点. (2)f(x)的定义域为(-1,+)
13、. (i)当 x(-1,0时,由(1)知, f(x)在(-1,0)上单调递增,而 f(0)=0,所以当 x (-1,0)时, f(x)0,故 f(x)在(-1,0)上单调递减.又 f(0)=0,从而 x=0 是 f(x)在 (-1,0上的唯一零点. (ii)当 x( +时,由(1)知, f(x)在(0,)上单调递增,在( )上单调递减,而 f(0)=0, f( )0; 当 x( )时, f(x)0,所以当 x( +时,f(x)0.从而 f(x)在( +上 没有零点. (iii)当 x( +时, f(x)0, f()1, 所以 f(x)0,从而 f(x)在(,+)上没有零点. 综上, f(x)有
14、且仅有 2 个零点. 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.D 由题中导函数的图象可得,当 x2 时,f(x)0,函数 f(x)单调递减. 对于选项 A,由于函数的单调减区间为(2,+),所以 A 不正确; 对于选项 B,由题意可得函数在 x=2 处取得极大值,所以 B 不正确; 对于选项 C,由题意知在 x=-4 处函数无极值,所以 C 不正确; 对于选项 D,由题意可得只有在 x=2 处函数取得极大值,所以 D 正确. 2.C f(x)=x 2+(a+2)x+3+aex, 因为函数 f(x)在(0,+)内有且只有一个极值点, 所以 f(0)0,即 3+a0,解得 a-3, 又当 a=-3
15、时, f(x)=(x 2-x)ex,令 f(x)=0,解得 x=1,满足题意,所以 a-3. 故选 C. 3.C f(x)=(x 2+ax-1)ex, 则 f(x)=(2x+a)e x+(x2+ax-1)ex, 因为 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex的极值点, 所以 f(-2)=(-4+a)e -2+(4-2a-1)e-2=0,即-4+a+(3-2a)=0,解得 a=-1, 可得 f(x)=(2x-1)e x+(x2-x-1)ex=(x2+x-2)ex, 令 f(x)=0,解得 x=-2 或 x=1, 当 x1 时, f(x)0,此时函数 f(x)为单调递增函数, 当-2x
16、1 时, f(x)1,则 a2a-1,由于 f(x)在区间(0,3)内存在极值点,a3,1a3; 若 a2a-1,由于 f(x)在区间(0,3)内存在极值点,a0,0a1. 综上所述,0a1 或 1a0 时,令 f(x)=0,可化为-2m= ,令 g(x)= ,则 g(x)=- ,则函数 g(x) 在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,g(x)的图象如图所示,所以当 0-2m1, 即- m0 时, f(x)=0 有两个不同的实根;当 x0 时,令 f(x)=0,则 x= 0,解 得 m1,解得 0a ,所以 a 的取值范围是( ). 二、填空题 8.答案答案 (2,e 2+1) 解析
17、解析 f(x)= - + ln(x-1),由题意知 f(2)=0,解得 a=-2, 经检验,当 a=-2 时,x=2 为 f(x)的极值点,符合题意. 所以 f(x)= - ln(x-1). 由 f(x)x-2 得 - ln(x-1)x-2, 即(x-2)ln(x-1)-20, 所以 - - - 或 - - - 解得 2xe 2+1, 故 f(x)0 时, f(x)f(0)=0, 当 x0 时, f(x)0 时, f(x)f(0)=0, 当 xf(0)=0, 故函数 f(x)在(0,+)上单调递减,在(-,0) 上单调递增, 故 f(x)在 x=0 处取得极大值,不符合题意; 当-1mm,即
18、g(x)0,f(x)在(0,x0)上递减, 故 f(x)f(0)=0,即 f(x)在(0,x0)上递减,不符合题意. 综上所述,m 的取值范围是1,+). 三、解答题 10.解析解析 (1)因为 f(x)=e x-x2+2x-1, 所以 f(x)=e x-2x+2, f(1)=e-1+2-1=e, 所以 f(1)=e-2+2=e, 所以函数 f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程为 y-e=e(x-1),即 ex-y=0. (2)g(x)=xf(x)-e x+x3+x 可化为 g(x)=xex-ex-ax2, 所以 g(x)=e x+xex-ex-2ax=x(ex-2a), g(0)=
19、0, 若 a0, 则 x(-,0)时,g(x)0, 此时 y=g(x)存在一个极值点 x=0; 若 0a ,则 ln 2a0, x(ln 2a,0)时,g(x)0, 此时 y=g(x)存在两个极值点 x=0,x=ln 2a; 若 a= ,则 ln 2a=0, 所以 x(-,0)时,g(x)0, x(0,+)时,g(x)0, 此时 y=g(x)没有极值点; 若 a ,则 ln 2a0, 所以 x(-,0)时,g(x)0, x(0,ln 2a)时,g(x)0, 此时 y=g(x)存在两个极值点 x=0,x=ln 2a. 综上所述,当 0a 时,g(x)存在两个极值点; 当 a0 时,g(x)存在一个极值点; 当 a= 时,g(x)没有极值点.
