1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1.复数 (1)定义:形如a+bi的数叫做复数,其中a,b R ,i叫做 虚数单位 ,a叫做复 数的 实部 ,b叫做复数的 虚部 . (2)复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的 代数形式 . 2.复数集 全体复数所组成的集合C叫做复数集. 1 |复数的有关概念 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义 第第1讲讲 描
2、述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 2 | 复数相等 在复数集C=a+bi|a,bR中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,dR),我们规定:a+bi 与c+di相等的充要条件是 a=c且b=d . 1.设z=a+bi(a,bR),当且仅当 b=0 时,z为实数;当 b0 时,z为虚数;当 a=0且b0 时,z为纯虚数. 2.数集之间的包含关系如图所示: 由此可以看出实数集、虚数集都是复数集的真子集. 3 | 复数的分类 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入
3、4 | 复平面 5 |复数的两种几何意义 6 | 复数的模 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 实轴 ,y轴叫做 虚轴 .实轴上的点都表示 实数 ;除 原点 外,虚轴上的点都 表示纯虚数. 复数z=a+bi(a,bR)复平面内的点Z(a,b); 复数z=a+bi(a,bR)平面向量. OZ 若z=a+bi(a,bR),则|z|= . 22 ab 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1.若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( ) 提示:当b=0时,z是实数,故错误. 2.复数i的实部不存在,虚部为0.(
4、) 提示:复数i的实部为0,虚部为1,故错误. 3.任意两个复数,不能比较大小.( ) 提示:虚数不能比较大小,如果这两个复数是实数,则可以比较大小. 4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( ) 提示:满足复数相等的条件,故正确. 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 5.复数集由实数集和纯虚数集构成.( ) 提示:复数集由实数集和虚数集构成,故错误. 6.复平面内,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示纯虚数. ( ) 提示:虚轴上的原点表示实数.
5、 7.|a-bi|=(a,bR).( ) 提示:当a,bR时,|a-bi|=. 8.复数的模一定是正实数.( ) 提示:复数0的模是0,故错误. 9.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件. ( ) 提示:两个复数相等,复数的模必然相等,故正确. 22 ab 22 -a b 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1 |利用复数的概念解决相关问题 利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应 满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式z=a+bi(a, bR)时应先进行转
6、化. 注意分清复数分类中的条件 设复数z=a+bi(a,bR),则z为实数b=0;z为虚数b0;z为纯虚数a=0,b 0;z=0a=0,且b=0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组 求解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件, 同时这也是复数问题实数化思想的体现. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 ()(1)若x=1是方程x2+(1-2i)x+3m-i=1-3i的实数根,求实数m的值; (2)若x2+(1-2i)
7、x+3m-i0,求实数m的取值范围. 解析解析 (1)由题意可知,1+1-2i+3m-i=1-3i,则2+3m=1,所以m=-. (2)由题意可知,x2+(1-2i)x+3m-i=x2+x+3m-(2x+1)i0, 故解得 所以实数m的取值范围为. 1 3 2 210, 30, x xxm 1 -, 2 1 , 12 x m 1 , 12 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 跟踪训练跟踪训练1()复数z1=(2m+7)+(m2-2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,mR,若z1=z2,则m= . 答案答案 5 解析
8、解析 因为mR,z1=z2, 所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i. 由复数相等的充要条件得解得m=5. 2 2 27-8, -243, mm mm 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 2 |复数的几何意义的应用 高考中,主要考查复数在复平面中对应的点,复数的模等问题.复数的几何意义 架起了复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决.处理这类 问题要先化简整理,然后利用几何意义求解. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与
9、复数的引入 ()求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(aR)对应的点Z满足下 列条件. (1)在复平面的第二象限内; (2)在复平面内的x轴下方. 解析解析 (1)点Z在复平面的第二象限内, 则解得a-3. (2)点Z在x轴下方,则 2- -6 3 a a a 2 2 - -6 0, 3 -2 -150, a a a aa 2-2 -15 0, 30, aa a 解得-3a5. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 跟踪训练跟踪训练2()在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(mR)
10、的对应点在虚 轴上或实轴负半轴上,分别求复数z. 解析解析 若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,解得m=-1或m=2, 所以z=6i或z=0. 若复数z的对应点在实轴负半轴上, 则解得m=1, 所以z=-2. 2 2 - -20, -320, m m mm 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用复数的模的公式进行计算. 两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 3 |复数的模及其应用 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与
11、复数的引入数系的扩充与复数的引入 ()复数z1=x+1+(y-2)i,z2=3+ai(x,y,aR). (1)若|z1|=2,求z1对应的点Z1(x,y)的轨迹; (2)若x=3,y=-2,且|z2|z1|,求实数a的取值范围. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 解析解析 (1)|z1|=2, =2,即(x+1)2+(y-2)2=22. 故点Z1(x,y)的轨迹是以(-1,2)为圆心,2为半径的圆. (2)z2=3+ai(aR), |z2|=, x=3,y=-2, z1=4-4i, |z1|=|4-4i|=4. 由已知得4, a223, 实数a的取值范围为(-,). 22 (1)( -2)xy 22 3a 2 22 3a 2 2323 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 跟踪训练跟踪训练3()已知z=x+yi(x,yR),且|z|=1,则x+y的最大值为( B ) A.1+ B.2 3 3 C.1 D. 3 解析 z=x+yi(x,yR),且|z|=1, x2+y2=1. 设x=cos ,y=sin ,R, x+y=cos +sin =2sin, x+y的最大值是2. 故选B. 33 6 3
