1、 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法一、不等式恒成立问题的处理方法 1 1、转换求函数的最值：、转换求函数的最值： （1）若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA，( )f x的下界大于 A （2）若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB,( )f x的上界小于 A 例例 1 1、设 f(x)=x 2-2ax+2,当 x-1,+ 时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。 例例 2 2、已知 , 2 2 x axx xf 对任意 0, 1xfx恒成立,试求实数a的取值范围; 例例3 3 、 R上 的
2、函 数 xf既 是 奇 函 数 ， 又 是 减 函 数 ， 且 当 2 , 0 时 ， 有 022sin2cos2mfmf恒成立，求实数 m 的取值范围. 例例 4 4、已知函数)0(ln)( 44 xcbxxaxxf在1x处取得极值3 c ，其中a、b为常数.（1）试 确定a、b的值； （2）讨论函数)(xf的单调区间； （3）若对任意0 x，不等式 2 2)(cxf恒成立，求c的取值范围。 2 2、主参换位法主参换位法 例例 5 5、若不等式a10 x 对1,2x恒成立，求实数 a 的取值范围 例例 6 6、若对于任意1a ，不等式 2 (4)420 xaxa恒成立，求实数 x 的取值范围
3、 例例 7 7、已知函数 32 3 ( )(1)1 32 a f xxxax，其中a为实数若不等式 2 ( )1fxxxa对任意 (0)a，都成立，求实数x的取值范围 3 3、分离参数法分离参数法 （1） 将参数与变量分离，即化为 gf x（或 gf x）恒成立的形式； （2） 求 f x在xD上的最大（或最小）值； （3） 解不等式 max ( )gf x(或 mingf x) ，得的取值范围。 适用题型： （1） 参数与变量能分离； （2） 函数的最值易求出。 例例 8 8、当(1,2)x时，不等式 2 40 xmx恒成立，则m的取值范围是 . 例例 9 9、已知函数 32 1 ( )3
4、3 f xaxbxx,其中0a（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2） 已知0a,且)(xf在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 4 4、数形结合、数形结合 例例 10 10 、若对任意xR,不等式|xax恒成立，则实数a的取值范围是_ 例例 1111、当 x(1,2)时，不等式 2 (1)xlogax恒成立，求 a 的取值范围。 二、不等式能成立问题的处理方法二、不等式能成立问题的处理方法 若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA； 若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB. 例例 1
5、212、已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_ 例例 1313、若关于x的不等式3 2 aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围是 例例 1414、已知函数 2 1 ln2 2 f xxaxx（0a）存在单调递减区间，求a的取值范围 三、不等式恰好成立问题的处理方法三、不等式恰好成立问题的处理方法 例例 1515、不等式 2 axbx10 的解集为 1 | 1 3 xx 则a b _ 例例 1616、已知 , 2 2 x axx xf 当 xfx, 1的值域是, 0,试求实数a的值. 例例 1717、已知两函数 f(x)=8x 2+16x-k，g(x)=2x3+
6、5x2+4x，其中 k 为实数。 （1）对任意 x-3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围； （2）存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围； （3）对任意 x1、x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)，求 k 的取值范围。 不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习 （请做在另外作业纸上）（请做在另外作业纸上） 1、若不等式 2 (1)(1)3(1)0mxmxm对任意实数 x 恒成立，求实数 m 取值范围 2、已知不等式 2 2 6 2 2 kxkx xx 对任意的xR恒成立，求实数 k 的取值范围 3、设函数 3
7、2 9 ( )6 2 f xxxxa对于任意实数x，( )fxm恒成立，求m的最大值。 4、对于满足|p|2 的所有实数 p,求使不等式 2 12xpxpx 恒成立的 x 的取值范围。 5、已知不等式 2 2023xxax对任意实数，恒成立。求实数a的取值范围。 6、对任意的2,2a ，函数 2 ( )(4)42f xxaxa的值总是正数，求 x 的取值范围 7、 若不等式 2 log0 m xx在 1 0, 2 内恒成立，则实数 m 的取值范围 。 8、不等式)4(xxax在3 , 0 x内恒成立，求实数 a 的取值范围。 9、不等式 2 20kxk 有解，求k的取值范围。 10、对于不等式
8、21xxa，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是 M；对于任意0 5x ， 使此不等式恒成立的实数a的集合为 N，求集合MN， 11、对一切实数 x,不等式32xxa恒成立，求实数 a 的范围。 若不等式32xxa有解，求实数 a 的范围。 若方程32xxa有解，求实数 a 的范围。 12、 若 x,y 满足方程 22 (1)1xy，不等式0 xyc恒成立，求实数 c 的范围。 若 x,y 满足方程 22 (1)1xy，0 xyc，求实数 c 的范围。 13、设函数 432 ( )2()f xxaxxb xR，其中, a bR若对于任意的2 2a ，不等式( )1f x 在11 ，上恒成
9、立，求b的取值范围 14、设函数 32 1 ( )(1)424 3 f xxa xaxa，其中常数1a ，若当0 x时，( )0f x 恒成立，求a 的取值范围。 15、已知向量a=( 2 x，x+1)，b= (1-x，t)。若函数baxf)(在区间（-1，1）上是增函数，求 t 的取 值范围。 不等式恒成立、能成立、恰成立问题不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案参考答案 例例 1 1、解：a 的取值范围为-3，1 例例 2 2、解：等价于 02 2 axxx对任意 , 1x 恒成立,又等价于1x时, x的最小值0成立. 由于 11 2 axx在, 1上为增函数, 则 31 min ax
10、, 所以 3, 03aa 例例 3 3、解：由022sin2cos2mfmf得到：22sin2cos2mfmf因为 xf为奇函数， 故有22sin2cos2mfmf恒成立， 又因为 xf为 R 减函数，从而有22sin2cos2mm对 2 , 0 恒成立 设tsin，则0122 2 mmtt对于1 , 0t恒成立， 在设函数 122 2 mmtttg,对称轴为mt . 当0 mt时， 0120 mg， 即 2 1 m，又0m0 2 1 m(如图 1) 当1 , 0 mt，即10 m时, 01244 2 mmm,即012 2 mm, 2121m,又1 , 0m,10 m(如图 2) 当1 mt时
11、， 0212211mmg恒成立.1m(如图 3) t g(t) o 1 图图 1 t=m t g(t) o 1 图图 2 t=m t g(t) o 1 图图 3 t=m 故由可知： 2 1 m. 例例 4 4、解： （1） （2）略（3）由（2）知，)(xf在1x处取得极小值cf3) 1 (， 此极小值也是最小值.要使)0(2)( 2 xcxf恒成立，只需 2 23cc. 即032 2 cc， 从而0) 1)(32(cc. 解得 2 3 c或1c. c的取值范围为 ), 2 3 1,( . 例例 5 5、解： 1 2 a 例例 6 6、解：(,1)(3,)x 例例 7 7、解析：由题设知“ 2
12、2 3(1)1axxaxxa对(0)a，都成立， 即 22 (2)20a xxx对(0)a，都成立。 设 22 ( )(2)2g axaxx（aR） ， 则( )g a是一个以a为自变量的一次函数。 2 20 x 恒成立，则对xR，( )g a为R上的单调递增函数。 所以对(0)a，( )0g a 恒成立的充分必要条件是(0)0g， 2 20 xx，20 x ，于 是x的取值范围是 | 20 xx 。 例例 8 8、解析: 当(1,2)x时，由 2 40 xmx得 2 4x m x . 令 2 44 ( ) x f xx xx ，则易知( )f x在(1,2)上是减函数， 所以1,2x时( )
13、(1)5 max f xf，则 2 min 4 ()5 x x 5m. 例例 9、解析： （1） 2 ab （ 2 ）)(xf在 区 间( 0 , 1 上 单 调 递 增 2 ( )210fxaxbx 在(0,1上 恒 成 立 1 ,(0,1 22 ax bx x 恒成立 max 1 () 22 ax b x ，(0,1x。 设 1 ( ) 22 ax g x x ， 2 22 1 () 1 ( ) 222 a x a a g x xx ， 令( )0g x 得 1 x a 或 1 x a (舍去)， 当1a时, 1 01 a ， 当 1 (0,)x a 时( )0g x ， 1 ( ) 22
14、 ax g x x 单调增函数； 当 1 (,1x a 时( )0g x ， 1 ( ) 22 ax g x x 单调减函数, max ( )g x 1 ()ga a 。ba 。 当01a时， 1 1 a ，此时( )0g x 在区间(0,1恒成立， 所以 1 ( ) 22 ax g x x 在区间(0,1上单调递增， max ( )g x 1 (1) 2 a g ， 1 2 a b 。 综上，当1a时, ba ； 当01a时， 1 2 a b 。 例例 1010、解析：对xR,不等式|xax恒成立 则由一次函数性质及图像知11a ，即11a 。 例例 1111、解：10,设 f(p)= (x
15、-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在-2,2上恒大于 0，故有： )2( 0)2( f f 即 01 034 2 2 x xx 解得： 11 13 xx xx 或 或 x3. 5、解：0a 6、解：), 4()0 ,(x 7、解：) 1 , 16 1 8、解：画出两个凼数axy 和)4(xxy在3 , 0 x 上的图象如图知当3x时3y， 3 3 a 当 3 3 a3 , 0 x时总有)4(xxax所以 3 3 a 9、解：不等式 2 20kxk 有解 2 (1)2k x 有解 2 2 1 k x 有解 2 max 2 2 1 k x ，所以 (2)k ， 。 10、解：由 21(1) (
16、 )213( 12) 21(2). xx f xxxx xx ， ， 又 ( )af x 有解 min ( )3af x ， 所以 3Ma a 令 ( )g x 2105( )xxxag x， 恒成立 max ( )(5)9ag xg x y 0 3 axy 所以 9Na a 11、解：5a5a 5 , 5a 12、解：12 c 21,21c 13、解： 322 ( )434(434)fxxaxxxxax 由条件2 2a ，可知 2 9640a ，从而 2 4340 xax恒成立 当0 x时，( )0fx；当0 x时，( )0fx 因此函数( )f x在11 ，上的最大值是(1)f与( 1)f
17、 两者中的较大者 为使对任意2 2a ，不等式( )1f x 在11 ，上恒成立，当且仅当 max ( )1f x， 即 (1)1 ( 1)1 f f ，即 2 2 ba ba 在2 2a ，上恒成立即 min min ( 2) ( 2) ba ba ，2 2a ， 所以4b，因此满足条件的b的取值范围是4， 14、解： （II）由（I）知，当0 x时，)(xf在ax2或0 x处取得最小值。 aaaaaaaf2424)2)(1 ()2( 3 1 )2( 23 aaa244 3 4 23 ；af24)0( 则由题意得 , 0)0( , 0)2( 1 f af a 即 . 024 , 0)6)(3
18、( 3 4 , 1 a aaa a 解得 16a (1,6)a 15、解：依定义ttxxxxtxxxf 232 ) 1()1 ()(。则txxxf23)( 2 ， 若)(xf在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)( x f恒成立。 0)( x fxxt23 2 在（-1，1）上恒成立。 考虑函数xxxg23)( 2 ， （如图） 由于)(xg的图象是对称轴为 3 1 x，开口向上的抛物线， 故要使xxt23 2 在（-1，1）上恒成立) 1(gt，即5t。 而当5t时，)(x f 在（-1，1）上满足)(x f 0， 即)(xf在（-1，1）上是增函数。故 t 的取值范围是5t. o x 1 -1 y g(x) 3 1 x
