1、by 不学无数不学无数 07boy 1 解答题专项练习-坐标系与参数方程(修订版) 一、直角坐标应用一、直角坐标应用 例：例：在平面直角坐标系中，曲线在平面直角坐标系中，曲线 C1： 33cos 2sin x y （a 为参数）经过伸缩变换为参数）经过伸缩变换 3 2 x x y y 后的曲线为后的曲线为 C2， 以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求）求 C2的极坐标方程； （的极坐标方程； （2）设曲线）设曲线 C3的极坐标方程为的极坐标方程为 sin（ 6 ）=1，且曲线，且曲线 C3与曲线与曲线 C2相交于相交于 P，Q
2、两点，求两点，求|PQ|的值的值 变式：变式：在直角坐标系在直角坐标系xOy中，曲线中，曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 cos, sin k k xt yt (t为参数 为参数)以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x轴正轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为的极坐标方程为4 cos16 sin30 （1）当）当1k 时，时， 1 C是什么曲线？（是什么曲线？（2）当）当 4k 时，求时，求 1 C与与 2 C的公共点的直角坐标的公共点的直角坐标 二、参数方程及其应用二、参数方程及其应用 (一一)、参数、参数的的本质本质 在直角坐标系在直角坐标
3、系 xOy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程为的参数方程为 2 2 2 23 xtt ytt （t 为参数且为参数且 t1） ，） ，C 与坐标轴交于与坐标轴交于 A、B 两两 点 （点 （1）求）求|AB； （； （2）以坐标原点为极点，）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程的极坐标方程 (二二)、参数方程的应用、参数方程的应用 例例 1、在直角坐标系、在直角坐标系 xOy 中，直线中，直线 l 的参数方程为的参数方程为 x 31 2t， ， y 3 2 t (t 为参数为参数).以原点为极点，以原点为极点，x 轴正半
4、轴为极轴正半轴为极 轴建立极坐标系，轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为的极坐标方程为 2 3sin . (1)写出写出C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)P 为直线为直线 l 上一动点，当上一动点，当 P 到圆心到圆心 C 的距离最小时，求的距离最小时，求 P 的直角坐标的直角坐标. 变式：变式：已知曲线已知曲线 C：x 2 4 y 2 9 1，直线，直线 l： x2t， y22t， (t 为参数为参数) (1)写出曲线写出曲线 C 的参数方程，直线的参数方程，直线 l 的普通方程；的普通方程； (2)过曲线过曲线 C 上任意一点上任意一点 P 作与作与 l 夹角为夹角为 30 的直线，
5、交的直线，交 l 于点于点 A，求，求|PA|的最大值与最小值的最大值与最小值 by 不学无数不学无数 07boy 2 例例 2、在直角坐标系、在直角坐标系 xOy 中，直线中，直线 l 的参数方程是的参数方程是 2 2 2 2 2 xt yt (t 为参数为参数)，以原点为起点，以，以原点为起点，以 x 轴正半轴轴正半轴 为极轴，圆为极轴，圆 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 4 2cos() 4 . (1)求圆求圆 C 圆心圆心的极坐标；的极坐标；(2)若直线若直线 l 与圆相交于与圆相交于 A、B 两点，点两点，点 P 的坐标为的坐标为(2，0)，试求，试求 1 |PA| 1 |PB|的
6、值 的值. 变式：变式： 已知曲线已知曲线 C： 34cos 44sin x y （ 为参数） ， 直线为参数） ， 直线 l1： 1cos () sin xt t yt 为参数， l2： cos2sin= 4 （1）写出曲线）写出曲线 C 和直线和直线 l2的普通方程； （的普通方程； （2）l1与与 C 交于不同两点交于不同两点 M，N，MN 的中点为的中点为 P，l1与与 l2的的 交点为交点为 Q，l1恒过点恒过点 A，求，求|AP|AQ|. 三、极坐标极径的应用三、极坐标极径的应用 (一一)、极坐标的本质、极坐标的本质 在极坐标系中，已知点在极坐标系中，已知点 1 (,) 3 A 在
7、直线在直线:cos2l上，点上，点 2 (,) 6 B 在圆在圆:4sinC上（其中上（其中0， 02） （） （1）求）求 1 ， 2 的值的值； （2）求出直线）求出直线l与圆与圆C的公共点的极坐标的公共点的极坐标 (二二)、极坐标应用、极坐标应用 例例 1：如图，在极坐标系如图，在极坐标系 Ox 中，中，弧，弧，所所 在圆的圆心分别是在圆的圆心分别是，曲线，曲线是弧是弧，曲线，曲线是弧是弧，曲线，曲线是弧是弧. （1）分别写出）分别写出，的极坐标方程；的极坐标方程； （2）曲线）曲线由由，构成，若点构成，若点在在 M 上，且上，且， 求求 P 的极坐标的极坐标. (2,0)A( 2,)
8、4 B ( 2,) 4 C (2, )D ABBCCD (1,0)(1,) 2 (1, ) 1 M AB2 M BC3 M CD 1 M 2 M 3 M M 1 M 2 M 3 MP |3OP by 不学无数不学无数 07boy 3 变式变式 1：在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 C1的参数方程为的参数方程为 13cos ( 3sin x y 为参数），在以，在以 O 为极点，为极点，x 轴轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：1. (1)求求 C1的极坐标方程与的极坐标方程与 C2的直角坐标方程；的直角坐标方程；(2)若射线若射线l的极坐标
9、方程为的极坐标方程为(0) 3 ，且，且l分别与分别与 C1， C2相交于点相交于点 A，B 两点两点，求，求|AB|. 变式变式 2：在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xoy 中，曲线中，曲线 C 的参数方程是的参数方程是 = + = （ （ 为参数） 以坐标原点为参数） 以坐标原点 O 为为 极点，极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：的极坐标方程为：( + ) = 。 （1）求曲线）求曲线 C 的极坐标方程； （的极坐标方程； （2）设直线）设直线=() 6 R 与直线与直线 l 交于点交于点 M，与曲线，与曲线 C 交于交于
10、 P，Q 两点，两点， 已知已知|OM|OP|OQ|10，求，求 t 的值的值. 变式变式 3：在直角坐标系在直角坐标系中，直线中，直线的参数方程是的参数方程是（t 为参数），曲线为参数），曲线的参数方程是的参数方程是 （为参数），以为参数），以为极点，为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线）求直线和曲线和曲线的极坐标方程；（的极坐标方程；（2）已知射线）已知射线（其中（其中）与曲线）与曲线交交 于于两点， 射线两点， 射线与直线与直线交于交于点， 若点， 若的面积为的面积为 1， 求， 求的值和的值和 变式变式 4：在极坐标系中，曲线在极坐标系中，
11、曲线 C：2acos (a0)，l： 3 cos() 32 ，C 与与 l 有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点 (1)求求 a；(2)O 为极点，为极点，A，B 为为 C 上的两点，且上的两点，且AOB 3，求 ，求|OA|OB|的最大值的最大值 xOyl 1 xt yt C 22cos 2sin x y Ox lC 1 OP： 0 2 C O P， 2 2 OQ：lQOPQOP by 不学无数不学无数 07boy 4 五、轨迹问题五、轨迹问题 1、已知曲线、已知曲线 C1，C2的参数方程分别为的参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y ， （ 为参数） ，为参数） ，C2
12、： 1, 1 xt t yt t （t 为参数）为参数）. （1）将）将 C1，C2的参数方程化为普通方程； （的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系.设设 C1，C2的交点为的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程的圆的极坐标方程. 2、已知动点、已知动点 P，Q 都在曲线都在曲线 C： 2cos 2sin xt yt (t 为参数为参数)上，对应参数分别为上，对应参数分别为 t 与与 t2(02)，M 为为 PQ 的中点的中点(1)求求 M 的轨迹的
13、参数方程；的轨迹的参数方程；(2)将将 M 到坐标原点的距离到坐标原点的距离 d 表示为表示为 的函数，并判断的函数，并判断 M 的轨迹的轨迹 是否过坐标原点是否过坐标原点 3、（、（2017全国全国）在直角坐标系）在直角坐标系xOy中，直线中，直线l的参数方程为的参数方程为 , , xt ykt （t为参数），直线为参数），直线l的参数方程的参数方程 为为 , , xm m y k （m为参数），设为参数），设l与与l的交点为的交点为P，当，当k变化时，变化时，P的轨迹为曲线的轨迹为曲线C （1）写出）写出C的普通方程：的普通方程： （2）以坐标原点为极点，）以坐标原点为极点，x轴正半轴正半
14、轴为极轴建立极坐标系，设轴为极轴建立极坐标系，设: (cossin )l ，M为为l与与C的交的交 点，求点，求M的极径的极径 4、 （2018 全国全国） 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，中，O的参数方程为的参数方程为 cos sin x y ， （， （为参数） ， 过点为参数） ， 过点(0,2) 且倾斜角为且倾斜角为的直线的直线l与与O交于交于A，B两点两点 (1)求求的取值范围；的取值范围； (2)求求AB中点中点P的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程 5、在直角坐标系、在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程的极坐标方程 为为cos4。 （1）M 为曲线为曲线 1 C上的动点，点上的动点，点 P 在线段在线段 OM 上，且满足上，且满足| | 16OMOP，求点求点 P 的轨迹的轨迹 2 C的直角坐的直角坐 标方程； （标方程； （2）设点）设点 A 的极坐标为的极坐标为(2,) 3 ，点，点 B 在曲线在曲线 2 C上，求上，求OAB面积的最大值。面积的最大值。
