1、 高 2018 级一诊理科数学试题 第 1 页 共 10 页 宜宾市普通高中宜宾市普通高中 2018 级第一次诊断性测试级第一次诊断性测试 理科数学理科数学 （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 注意事项注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并 认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将
2、答题卡交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的合要求的. 1复数 4i3 i 21 的值为 A.i 5 2 5 1 B.i 5 2 5 1 C.i 5 2 5 1 D.i 5 2 5 1 2命题“Rx，052 2 xx”的否定是 A.Rx，052 2 xx B.Rx，052 2 xx C.Rx 0 ，052 0 2 0 xx D.Rx 0 ，052 0 2 0 xx 3已知集合043 2 xxxA，0 xxB，则BA A.40 xx B.01x
3、x C.41xx D.4xx 4某团支部随机抽取甲乙两位同学连续 9 期“青年大学习”的成 绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这 9 期的 成绩，则下列说法正确的是 A.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数 B.乙成绩的极差为 40 C.甲乙两人成绩的众数相等 D.甲成绩的中位数为 32 5符号 x表示大于或等于x的最小整数，在下图中输入的ba,依次为0.3和1.4，则输出的是 高 2018 级一诊理科数学试题 第 2 页 共 10 页 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 6如图，ABC是等边三角形，ADC是等腰直角三角形，90ADC，线段BDAC,交于点O， 设BCa，B
4、Ab，用a，b表示 为 A.ODba 6 3 6 3 B.ODba 3 3 3 3 C.ODba 6 3 6 3 D.ODba 3 3 3 3 7若 5 1 ()a x x 展开式中所有项的系数和为 1，则其展开式中x的系数为 A.2 B.10 C.16 D.80 8函数( )sincosf xxxx 部分图象大致形状为 A B C D 9已知 5 2 cos3sin, 则) 6 cos() 3 2 sin( A. 5 4 B. 5 2 C.0 D. 5 2 10九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半。”题
5、意是:有两只老鼠从墙的两边打洞 穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙 足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的 3 倍，则n的值为（结果精确到 0.1，参考数 据： 3010. 02lg , 4771. 03lg ） A.2.2 B.2.4 C. 2.6 D.2.8 11已知定义在R上的奇函数)(xfy 满足，)(2(xfxf ），若1 , 0, 21 xx且 21 xx 时，都 有)()()()( 21122211 xfxxfxxfxxfx，则下列结论正确的是 A.)(xfy 图象关于直线2020 x对称 B.)(xfy 图象关于点 )0 ,
6、 2020( 中心对称 C.)(xfy 在2021,2019上为减函数 D.)(xfy 在2022,2020上为增函数 高 2018 级一诊理科数学试题 第 3 页 共 10 页 12已知实数 2 1 e 2 3 a, 3 2 e 3 4 b, 7 6 e 7 8 c，(e为自然对数的底数)则a,b,c的大小关系为 A.cba B.acb C.abc D.cab 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4个小题，每小题个小题，每小题 5分，共分，共 20分分. 13已知实数 x，y满足约束条件 02 0 0 yx y x ，则目标函数yxz 2的最大值为 14已知向量a)0 , 1 (，2b
7、，向量a与向量b的夹角为45，则 )(baa 15已知ABC中，内角CBA、的对边分别为cba、，且aBc a cba sin 2 222 ，则 B 16已知函数)ln(e)(xxaxxf x (e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数 a的取值范围 是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60分分. 17（1
8、2分） 已知函数1 2 cos2 2 cos 2 sin32)( 2 xxx xf. （1）求函数 )(xf 的最小正周期 ； （2）将函数 )(xf 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 2 1 倍（纵坐标不变），再向左平移 6 个单位得到函数 )(xg 图象，求函数 )(xg 的单调增区间. 18（12分） 已知函数baxxxf 3 )(在1x处取得极值. （1）求实数a的值； （2）若函数)(xfy 在2 , 0内有零点，求实数b的取值范围. 高 2018 级一诊理科数学试题 第 4 页 共 10 页 19（12分） 第七次全国人口普查登记于 2020 年 11 月 1 日开始，这是在我国
9、人口发展进入关键期开展的一 次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策 体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校 高三一班共有学生 54 名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走 读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为2:7，住校生中男生占 7 4 ， 现从住校生中采用分层抽样的方法抽取 7 名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？ （2）若从抽出的 7 名户主中随机抽取 3人进行普查登记培训 求这 3 人中既有
10、男生又有女生的概率； 用X表示抽取的 3 人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望. 20（12分） 已知递增数列 n a满足 21 2 nnn aaa ，n N ，且 24 ,a a是方程 2 10210 xx的两根， 数列 n b的前n项和为 n S，且 * 1 1 2 nn SbnN . （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）记 nnn bac ，求数列 n c的前n项和 n T. 21（12分） 已知函数 1ln)(xaxxfa( 为常数， )Ra. （1）若 0)(xf 恒成立，求实数a的取值范围； （2）判断方程 xxxxxsinln| )ln(| 是否存在实
11、数解；如果存在，求出解的个数；如果不存 在，请说明理由. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中选一题作答题中选一题作答.如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. 高 2018 级一诊理科数学试题 第 5 页 共 10 页 22（10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 m my m mx 1 2 1 2 （m为参数），以坐标原点O为 极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2) 4 cos( （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）若直线l与曲线C
12、相交于点P，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的直角坐标方 程 23（10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数22)(xxxf. （1）求不等式 42)( xxf 的解集； （2）若 ( )f x的最小值为k，且实数cba, ，满足 kcba )( ，求证： 82 222 cba . 高 2018 级一诊理科数学试题 第 6 页 共 10 页 宜宾市高宜宾市高 2012018 8 级高三第一次诊断测试级高三第一次诊断测试 理科数学理科数学参考答案参考答案 一选择题 1-5:BCADC 6-10: ADCBC 11-12: BA 二填空题 13: 4 14: 0 15:135) 4 3 (
13、或 16:)e,( 三解答题 17【解析】（1） ) 6 sin(2cossin31 2 cos2 2 cos 2 sin32)( 2 xxx xxx xf， 所以 函数 f(x)的最小正周期 2. .5分 （2）将 函数 f(x) 图象上 所有 点的 横坐 标都缩 短为 原来 的 2 1 倍 （纵坐 标不 变） ，得 到 ) 6 2sin(2( xxh） 再向左移动 6 个单位得) 6 2sin(2 6 ) 6 (2sin2)(g xxx， 2 2 6 2 2 2 kxk 63 kxk. 函数)(xg的单调增区间是 )( 6 , 3 Zkkk . .12 分 18【解析】（1）axxf 2
14、3)( ，baxxxf 3 )(在1x处取得极值. 03) 1( af，所以3a. 经验证 3a 时,)(xf在 1x 处取得极值. .5 分 高 2018 级一诊理科数学试题 第 7 页 共 10 页 （2）由（1）知bxxxf3)( 3 ，) 1)(1(333)( 2 xxxxf所以)(xfy 极值点为 1,-1. 将,( ),( )x f xfx在2 , 0内的取值列表如下： x 0 （0，1） 1 （1，2） 2 ( )fx / - 0 + / ( )f x b 极小值2b 2b 由 此 可 得 ，)(xfy 在2 , 0内 有 零 点 ， 只 需 max min ( )20 ( )2
15、0 f xb f xb ， 所 以 22b . .12 分 19【解析】（1）由已知，住校生人数为 42 人，住校生中男生占 4 7 ，由于采用分层抽样的方法从中 抽取7人，因此男生、女生就分别抽取4人，3 人. .3分 （2）设事件 A为“抽取的 3 名户主中既有男生，又有女生”,设事件 B为“抽取的 3 名户主中男 生有 1 人，女生有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 名户主中男生有 2 人，女生有 1 人”，则 A=BC， 且 B 与 C 互斥， 3 7 2 3 1 4 )( C CC BP= 12 35 ， 3 7 1 3 2 4 )( C CC CP= 18 35 ，故 )()(
16、)(CPBPAP 6 7 , 所以，事件 A 发生的概率为 6 7 .7分 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3, )3 , 2 , 1 , 0()( 3 7 3 43 k C CC kxP kk 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 随机变量 X 的数学期望 7 9 35 1 3 35 12 2 35 18 1 35 4 0)(XE. .12 分 20【解析】（1）因为方程 2 10210 xx两根为3x 或 7， 又 2 a、 4 a是方程 2 10210 xx的两根，数列 n a是递增的等差数列， 高 2018 级一诊理科
17、数学试题 第 8 页 共 10 页 2 3a， 4 7a ，设公差为d，则 1 1 3 37 ad ad ，解得 1 1a ， 2d . 1 (1)1 2(1)21 n aandnn . .3分 对于数列 n b， * 1 1 2 nn SbnN ， 当1n 时， 11 1 1 2 bb ，解得 1 2 3 b ； 当2n时， 11 11 11 22 nnnnn bSSbb ， 整理得 1 1 3 nn bb ，即 1 1 3 n n b b ，所以数列 n b是等比数列， 1 212 333 n n n b . .7 分 （2） 2(21)42 33 nnn nn nn ca b ， 数列
18、n c的前n项和 231 26104(1)242 33333 n nn nn T L. 231 26104(1)242 33333 n nn nn T L 21 61042 32 333 n n n T L. 21 61042 32 333 n n n T L 两式相减可得 21 44442 22 3333 n nn n T L. 21 44442 22 3333 n nn n T L 1 4 1 42443 24 1 33 1 3 n nn nn ， 22 2 3 n n n T . .12 分 21【解析】 （1）法一：因为0,x 所以0)(xf ln1x a x ， .1 分 设 x x
19、 xg 1ln )( ，则 2 ln )( x x xg， .2 分 高 2018 级一诊理科数学试题 第 9 页 共 10 页 当01x时，)(, 0)( xgxg递减， 当1x 时，)(, 0)( xgxg递增， .4 分 min ( )(1)1g xg ，1a . .5 分 法二：当0a时，01) 1 ( af，不合题意， .1 分 当0a时，, 11 )( x ax x axf 令, 0)( x f则, 1 a x .2 分 )(, 0)(), 1 , 0(xfxf a x单调递增，)(, 0)(), 1 (xfxf a x单调递减， , 0) 1 ln() 1 ()( max aa
20、fxf； 1a .5分 （2）由（1）可知，当1a时，01ln)(xxxf， 即1ln xx，当且仅当1x时等号成立， 由题意可知即判断方程xxxxxs i nln)ln(是否存在实数 解， .7分 设xxxxxxxxxxgsinln) 1(sinln)ln()( 2 ， xxxxxxgsin1sin) 1) 1()( 2 （ （当且仅当 1x时等号成立）， 又0sin-1x，当且仅当)( 2 2Nkkx 时等号成立， 所以对任意0 x，0)(xg恒成立. 所以函数xxxxxgsinln) 1()( 2 无零点， 即方程 xxxxxsinln)ln( 不存在实数解 . .12 高 2018 级
21、一诊理科数学试题 第 10 页 共 10 页 分 22 【解析】(1)曲线 C 的参数方程为 1 2 1 2 xm m ym m （m 为参数）， 两式平方相减得曲线 C 的普通方程为： 22 8xy 直线 l 的极坐标方程为cos()2 4 ，则(coscossinsin)2 44 转换为直角坐标方程为 20 xy .5 分 （2）由 22 8 20 x xy y 得 3 1 x y ，所以点 P 的直角坐标为(3,1) 设圆心为( ,0)a，则 22 (3)1aa，解得： 5 3 a 所以，圆的直角坐标方程为： 22 525 () 39 xy. .10分 23【解析】 （1）当2x时，不等式即为224xx，解得1,2xx 当22x 时，不等式即为424x，020 xx 当2x时，不等式即为224xx，x 综上,不等式( )24f xx的解集为(,0. .5 分 （2）由绝对值不等式的性质可得：|2|2| |(2)(2)| 4xxxx 当 22x 时， ( )f x取最小值 4，即4,()4ka bc ，即4abac 2222222 2228abcabacabac 当且仅当 2abc 时等号成立. . .10分
