1、. 31 相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学 学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线 123 , ,l l l（如图 3.1-1） ，直线a交 123 , ,l l l于 点, ,A B C，2,3ABBC?， 另作直线b 交 123 , ,l l l于点,A B C，不难发现 2 . 3 A BAB B CBC ? 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图 3.1-2， 123 /lll，有 ABDE BCEF
2、 =.当然，也可以得出 ABDE ACDF ?.在运用该 定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成 比例. 例例 1 如图 3.1-2， 123 /lll， 且2,3,4,ABBCDF=求,DE EF. 解解 123 2 / / /, 3 A BD E lll B CE F =Q 28312 ,. 235235 DEDFEFDF? ? 例 2 在ABC中，,D E为边,AB AC上的点，/DEBC， 求证： ADAEDE ABACBC ?. 证明（1） /,DEBCADEABCAEDACB? ADE?ABC，. ADAEDE ABACBC ? 证明（2） 如图
3、3.1-3，过A作直线/lBC， /,lDEBC ADAE ABAC ?. 过E作/EFAB交AB于D，得BDEF， 图 3.1-1 图 3.1-2 . 因而.DEBF? /,. AEBFDE EFAB ACBCBC ? . ADAEDE ABACBC ? 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得的对应线 段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边 与原三角形的三边对应成比例. 例 3 已知ABC，D在AC上，:2:1AD DC ?，能否在AB上找到一点E，使 得线段EC的中点在BD上. 解 假设能找到， 如图
4、3.1-4， 设EC交BD于F， 则F为EC的中点， 作/EGAC 交BD于G. /,EGAC EFFC?， ?EGFCDF?，且EGDC?， 1 /, 2 EGADBEGBAD?， 且 1 , 2 B E E G B A A D ? E?为AB的中点. 可见， 当E为AB的中点时，EC的中点在BD上. 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在， 无解或矛盾则不存在. 例 4 在ABCV中，AD为BAC的平分线，求证： ABBD ACDC =. 证明 过 C 作 CE/AD，交 BA 延长线于 E， /,. BABD ADCE AEDC =Q QAD 平分 ,BACBA
5、DDAC衆? 由/ADCE知,BADEDACACE?行= ? ,EACEAEAC ?即 ABBD ACDC =. 例 4 的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等 于该角的两边之比）. 练习 1 1如图 3.1-6， 123 /lll，下列比例式正确的是 图 3.1-3 图 3.1-4 图 3.1-5 . （ ） A ADCE DFBC = B ADBC BEAF = C CEAD DFBC = D. AFBE DFCE = 2如图3.1-7， /,/,DEBC EFAB5,ADcm=3,2,DBcm FCcm=求BF. 3如图，在ABCV中，AD 是角 BAC 的平分
6、线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长. 4如图，在ABCV中，BAC的外角平分 线AD交BC的延长线于点D，求证： ABBD ACDC =. 5如图，在ABCV的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点，使 BD=CE，DE 延长线 交 BC 的延长线于 F.求证： DFAC EFAB =. 3.12相似形 我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形 相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例 5 如图 3.1-11， 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，BACCDB?， 求证： 图 3.1-6 图 3.1-7 图 3.1-8 图 3.1
7、-9 图3.1-10 . DACCBD?. 证明 在OABV与ODCV中， ,AOBDOCOABODC?行= ? OABVODCV， OAOB ODOC =，即 OAOD OBOC =. 又OADV与OBCV中，AODBOC?， OADVOBCV， DACCBD?. 例 6 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中，BAC为直角，ADBCD于. 求 证 ：（ 1 ） 2 ABBD BC=?， 2 ACCD CB=?； （2） 2 ADBD CD=? 证明 （1）在RtBACV与Rt BDAV中， BB?， BAC VBDAV， 2 ,. BABC ABBD BC BDBA =?即 同理可证
8、得 2 ACCD CB=?. （2）在Rt ABDV与Rt CADV中，90oCCADBAD?- ?， RtABDVRt CADV， 2 ,. ADDC ADBD DC BDAD =?即 我们把这个例题的结论称为射影定理射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 例 7 在ABCV中 ，,ADBCD DEABE DFACF于于于， 求 证 ： A EA BA FA C?. 证明 A DB CQ， ADBV为直角三角形，又DEAB， 由射影定理，知 2 ADAE AB=?. 同理可得 2 ADAF AC=?. AE ABAF AC?. 例 8 如图 3.1-14，在ABCV中，D为边BC的中点，
9、E为边AC上的任意一点， BE交AD于 点O. 某 学 生 在 研 究 这 一 问 题 时 ， 发 现 了 如 下 的 事 实 ： 图 3.1-11 图3.1-12 图3.1-13 . （1） 当 11 211 AE AC = + 时，有 22 321 AO AD = + .（如图 3.1-14a） （2） 当 11 312 AE AC = + 时，有 22 422 AO AD = + .（如图 3.1-14b） （3） 当 11 413 AE AC = + 时，有 22 523 AO AD = + .（如图 3.1-14c） 在图 3.1-14d 中，当 1 1 AE ACn = + 时，参
10、照上述研究结论，请你猜想用 n 表示 AO AD 的一般结论，并给出证明（其中 n 为正整数）. 解：依题意可以猜想：当 1 1 AE ACn = + 时，有 2 2 AO ADn = + 成立. 证明 过点 D 作 DF/BE 交 AC 于点 F， QD 是 BC 的中点， F 是 EC 的中点， 由 1 1 AE ACn = + 可知 1AE ECn =， 22 ,. 2 AEAE EFn AFn = + . 2 . 2 AOAE ADAFn = + 想一想，图 3.1-14d 中，若 1AO ADn =，则? AE AC = 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发
11、现一 些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断 探索的历史. 练习 2 1如图 3.1-15，D 是ABCV的边 AB 上的一点，过 D 点 作 DE/BC 交 AC 于 E.已知 AD：DB=2：3，则 : A D EB C D E SS V四边形 等于（ ） 图3.1-14 . A2:3 B4:9 C4:5 D4:21 2 若一个梯形的中位线长为 15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段 的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是_. 3已知：ABCV的三边长分别是 3，4，5，与其相似的A B CV的最大边长是 15，求A B C的面积 A B C S
12、V. 4已知：如图 3.1-16，在四边形 ABCD 中，E、F、 G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. （1） 请判断四边形 EFGH 是什么四边形，试说明 理由； （2） 若四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、 BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方 形？ 5如图 3.1-17,点 C、D 在线段 AB 上，PCDV是 等边三角形， （1） 当 AC、 CD、 DB 满足怎样的关系时，ACPV PDBV？ （2） 当ACPVPDBV时，求APB的度数. 习题习题 3.1 A 组组 1如图 3.1-18，ABCV中， AD=DF=FB， AE=EG=GC， FG
13、=4，则（ ） ADE=1，BC=7 BDE=2，BC=6 CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 2如图 3.1-19，BD、CE 是ABCV的中线，P、Q 分别 是 BD、CE 的中点，则:PQ BC等于（ ） A1：3 B1：4 C1：5 D1：6 图3.1-15 图3.1-16 图3.1-17 图3.1-18 . 3如图 3.1-20，ABCDY中，E 是 AB 延长线上一点，DE 交 BC 于点 F，已知 BE：AB=2：3，4 BEF S= V ，求 CDF SV. 4如图 3.1-21，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点， BEAC交 AC 于 F，过 F 作 FG/
14、AB 交 AE 于 G， 求证： 2 AGAF FC=?. B 组组 1如图 3.1-22， 已知ABCV中， AE： EB=1： 3， BD： DC=2： 1，AD 与 CE 相交于 F，则 EFAF FCFD +的值为（ ） A 1 2 B1 C 3 2 D2 2如图 3.1-23， 已知ABCV周长为 1， 连结ABCV三边的中点构成第二个三角形， 再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依 此类推，第 2003 个三角形周长为（ ） A 1 2002 B 1 2003 C 2002 1 2 D 2003 1 2 3如图 3.1-24，已知 M 为ABCDY的边 AB 的中 点，CM
15、 交 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积 与ABCDY面积的比是（ ） A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 5 12 4如图 3.1-25， 梯形 ABCD 中， AD/BC， EF 经过梯形对角线的交点 O， 且 EF/AD. 图3.1-19 图3.1-20 图3.1-22 图3.1-23 图3.1-24 图3.1-21 . （1） 求证：OE=OF； （2） 求 OEOE ADBC +的值； （3） 求证： 112 ADBCEF +=. C 组组 1如图 3.1-26，ABCV中，P 是边 AB 上一点，连结 CP. （1） 要 使A C PVABCV， 还 要 补 充 的 一 个
16、条 件 是 _. （2） 若ACPVABCV， 且:2 : 1A PP B=， 则 :B CP C=_. 2如 图 3.1-27 ， 点 E 是 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 ， 且 B A CB D CD A E?. （1） 求证：BE ADCD AE?； （2） 根据图形的特点，猜想 BC DE 可能等于那两条线段 的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？ 并证明你的猜想. 3如图 3.1-28，在Rt ABCV中，AB=AC，90oA?， 点 D 为 BC 上任一点，DFAB于 F，DEAC于 E，M 为 BC 的中点，试判断MEFV是什么形状的 三角形，并证
17、明你的结论. 4如图 3.1-29a，,ABBD CDBD垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于 E， EFBD于 F，我们可以证明 111 ABCDEF +=成立. 图3.1-25 图3.1-26 图3.1-27 图3.1-28 . 若将图 3.1-29a 中的垂直改为斜交，如图 3.1-29 b，/,ABCD ADBC、相交于 E，EF/AB 交 BD 于 F，则： （1） 111 ABCDEF +=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请 说明理由； （2） 请找出, ABDBCD SS VV 和 EBD SV之间的关系，并给出证明. 第二讲第二讲 三角形三角形与与圆圆 3.1
18、 相似形 练习 1 1D 2设 510 , 283 DEADx BFxx BCABx ? ? ，即 10 3 BF ?. 3 535 ,. 49 ABBD BDcm ACDC ? 4 作/CFAB交AD于F， 则 A BB D C FD C ?， 又A F CF A EF A C? ? ?得 ,ACCF? ABBD ACDC ?. 5作/EGAB交BC于G，, EGCE CEGCAB ABAC ?即 , ACCEDB ABEGEG ? DFAC EFAB ?. 练习 2 1C 212，18 3 2 115 3 46,()654. 25 ABCA B C SS? ? 4 （1）因为 1 /, 2 EHBD FG所以EFGH是平行四边形； （2）当ACBD?时，EFGH为 菱形；当,ACBD ACBD?时，EFGH为正方形. 5 （1）当 2 CDAC BD?时，ACPPDB； （2）120oAPB?. 图3.1-29 . 习题 3.1 A 组 1B 2.B 3.9 CDF S? 4 BF为 直 角 三 角 形ABC斜 边 上 的
