1、. 第 1 课 十字相乘法 【知识要点知识要点】 ： 1、 十字相乘法： 依据：对于二次三项式 2 ( , ,0)axbxc a b ca?都是整数且，如果存在 四 个 整 数 1212 , ,aa c c， 使 1212 .,a aa ccc?， 且 1221 a ca cb?， 那 么 22 1 21 22 11 21122 ()()()axbxcaa xaca c xcca xca xc? ?，分离其二次项系数及 常数项，也可表达为 这种分解因式的方法称为十字相乘法。特别地，当1a ?时，若,.bpqcpq?且，则 22 ().()()xbxcxpq xpqxp xq? ?。 特征：拆两
2、头，凑中间 注意点：一要保证交叉相乘的两个积的和等于一次项系数；交叉相乘的两个积的和等于一次项系数；二要保证由十字相乘写出的因由十字相乘写出的因 式无漏写字母式无漏写字母，如： 22 568(2)(54)xxyyxx?即为错例。 2、因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式法或十字相乘法， 最后考虑分组分解法，对于一个还可再分解的多项式因式仍用这一步骤反复进行，直至每 个多项式因式不可再分解为止。 3、代数式的恒等变形重要依据各类代数式的概念、性质及运算法则。其中最为重要的是 分式的化简，此部分内容除了要用整式化简求值的知识方法外，还常用到如下技巧：恰当 引入参数；取倒数或利
3、用倒数关系；拆项变形或拆分变形；整体代入；利用比例性质等。 1 a 1 c 2 a 2 c . 【范例选讲范例选讲】 ： 例 1、将下列各式因式分解： （1） 22 651x yxy? （2）8)3(2)3( 222 ?aaaa （3）24)4)(3)(2)(1(?xxxx （4）127 24 ? mm（实数范围内分解） 分析 ：第（1） 、 （2） 、 （4）题运用整体思想，直接将各式视为二次三项式 2 axbxc? 用十字相乘法进行分解； 第 （3） 题可将原式适当展开为 2 5xx?的二次多项式再进行分解； 例 2、若 16 8 xy yx ?，则 22 22 23 2 xxyy xxy
4、y ? ? 的值为（ ） A 1 2 B 9 4 C5 D2 分析 ：把连等式拆开用，通过变形，导出 x、y 间的关系后将此关系式代入求值。 例 3、已知0abc?，求 111111 ()()()abc bcacab ?的值。 分析 ：由于0abc?，所给式中各项都有 a、b、c，只是括号内的项不相同，可考 虑将其变得相同，提取公因式后剩下abc?，从而得解。 . 练习一 十字相乘法 班级 姓名 学号 等第 1、已知5212?x，则?744 2 xx ； 2、 已知3 69232 41mnmn ? ? ，求 的值为 ； 3、化简 222 222 2 2 abcab abcac ? ? ? _；
5、 4、 若有理数yx,使代数式10644 22 ?yxyx的值为 0， 则 y x ? )2(值为? （ ） （A）1 （B） 3 1 （C）-3 （D）1 或-3 5、 已知5, 4?cbba， 则代数式bcabcba222 222 ?的值为? （ ） （A）9 （B）41 （C）1 （D）-9 6、 若二次三项式1 2 ? axx可分解为)(2(bxx?， 则ba ?的值为? （ ） （A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2 7、分解因式：?xxx82 23 ?1yxxy ?ayaxyx 22 322 2aa baba? 8、 若多项式 x 2+kx+12 分解为（x+2）(x+6)时，
6、k=8； 若多项式 x 2+kx+12 分解为（x-2）(x-6)时，k= -8； 请问， 要使多项式x 2+kx+12可以分解成二个一次因式的乘积， 这样的整数k可以是哪些值？ 写出 k 的值。并分解相应的多项式 x 2+kx+12。 . 9、化简： 1 1 1 12 1 23 1 99100aaaaaaa? ? ? ? ? ? ?()()()()()() ? 10、某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是 甲、丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍， 求 111 111abc ? ? 的值。 . 第 2 课 全等与相似（1
7、） 【基础回顾基础回顾】 ： 1、 的两个三角形是全等三角形； 的两个 三角形是相似三角形；全等三角形可看作是 相似三角形。 2、识别两个三角形全等的方法有： （1）边边边公理：如果两个三角形的 分别对应相等，那么这两个三 角形全等。 （记作：SSS） （2） 公理：如果两个三角形的 分别对应相等，那么这两个 三角形全等。 （记作： ） （3） 公理：如果两个三角形的 分别对应相等，那么这两个 三角形全等。 （记作： ） （4） 定理：如果两个三角形的 分别对应相等，那么这两个 三角形全等。 （记作： ） （5） 定理：如果两个直角三角形的 分别对应相等，那么这 两个直角三角形全等。 （记作：
8、 ） 3、识别两个三角形相似的方法有： （1）如果两个三角形的 ，那么这两个三角形相似； （2）如果两个三角形的 ，那么这两个三角形相似； （3）如果两个三角形的 ，那么这两个三角形相似； （4）如果两个直角三角形的 ，那么这两个直角三角形相似； 【范例选讲】【范例选讲】 ： 例 1、如图.下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确 的命题并加以证明.AE = AD AB = AC OB = OC B=C 分析 ：本题隐含两对等角：A=A，EOC=DOB， 则借助四个条件中的哪两个可得全等三角形即为本题解题的 关键。 . 例 2、已知如图，在ABC 中，ABAC，延长
9、 AB 至 D，使 BDAB，E 为 AB 的中点， 试说明 CD2CE。 分析 ：延长 CE 到 F，使 EFCE，连结 AF，再证明ACFBDC，便可得 CDCF 2CE。 例 3、如图，等边ABC 的边长为 a，在 BC 的延长线上取点 D，使 CDb，在 BA 的延 长线上取点 E，使 AEa+b，证明 ECED。 分析 ：欲证明 ECED，在原图中只有说明ECDEDC 才可得 ECED，而利用 原图这是不可能得到的，因此需适当作辅助线构造全等三角形，利用条件 AEa+b，延长 BD 到 F，使 DFBCa，连结 EF，则有 BFBE2ab，而B60，可得EBF 是 等边三角形，再由E
10、BCEFD，得到 ECED。 （备用例题）如图，一张矩形纸片 ABCD 中，其较短的边长 BC6cm，按图所示的折痕 DE 折叠，使得一个的 C 恰好落在 AB 边上的 C处，若CDE，求折痕 DE、线段 BE 的长度 （用含的代数式表示） 分析 ：由题意可知，且容易得到ACDBE C，故可将求线段 DE、BE 的长度与解 直角三角形与相似三角形相联系。 D A B C E DF A BC D E C A B C D E . 练习二 全等与相似（1） 班级 姓名 学号 等第 1如图，AB=DC，AC=DB，AC、DB相交于点O，图中有 对三角形全等，它们 是 ； 2如图，已知ACB=BDA=9
11、0，要使ACBBDA，至少还需加上条 件： 。 3如图，ABC 中，AB=AC=4，P 是 BC 上任意一点，过 P 作 PDAC 于 D，PEAB 于 E，若 SABC=6，则 PE+PD= 。 4如图, ABCADE，B35,EAB21，C29，则D ， DAC= ； 5如图、在正方形网格上有一个ABC，、作一个与它全等的三角形。、如每一个 小正方形的边长为 1，则ABC 的面积是： 6 D 为ABC 中 AB 边上一点， 已知 AB12， AC15， AD 3 2 AB， 在 AC 边上取一点 E， 使得ADE 与原三角形相似，则 AE_ 7 如图，在ABC 中，若 DEBC，FGAB，
12、MNAC，且 DE、FG、MN 相交于一点 P，则图中除了ABC 外，与ABC 相似的三角形一共有( ) A4 个； B5 个； C6 个； D8 个； 8设点 D 在ABC 的边 AC 上，下列条件中不能判定ABC 与ADB 相似的是( ) AAB2ADAC； BADBABC； CABDC； DACADABBC； A BC D E F G P N M A BC D E P B D A O C 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 . 9已知：如图，CEAB 与 E，BDAC 于 D，BD、CE、AO 交于点 O，且 AO 平分 BAC.求证：OB=OC 10如图，ABC
13、 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上一点，过 A 作 AHBE，连结 ED 并延长交 AB 于 F，交 AH 于 H。 （1）求证：AHCE （2）如果 AB=4AF，EH8，求 DF 的长。 . B D C A 1 2 A B C D A D E B C A B C D E 第 3 课 全等与相似（2） 【基础回顾基础回顾】 ： 1、判断两个图形是否全等的标准是叠放在一起是否完全重合； 一个图形在经历了翻折、旋转、平移后，位置虽有变化，但新图形与原图形全等。 2、全等三角形具有怎样的性质？如何判断两个三角形是否全等？ 3、相似三角形具有怎样的性质？如何判断两个三角形是否相似？
14、【知识拓展】【知识拓展】 ： 1、设RtABC的斜边AB上的高为CD(如图)， 则下列关系式是经常用到的， 应熟练掌握： AC2十 BC2AB2， ACBCABCD， AC2ADAB， BC2BDAB， CD2ADBD 想一想 ：上述各式分别是如何得到的？ 2、如图， 如 DEBC，则 ， 故 AD AB ?；进而有 ADBD BDAB ?，； 用语言叙述为：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边（或两边的延长线）相交，平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边（或两边的延长线）相交， 所得到的三角形与原三角形相似；所得到的三角形与原三角形相似； 平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的对应线平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的对应线 段成比例段成比例。 【范例选讲】【范例选讲】 ： 例 1、如图，已知：在ABC 中，AD 平分BAC，ABBDAC， 求BC 的值。 分析 ：由图形猜想到BC21，设法利用条件“ABBD AC”来解决，故可采取截长法或补短法。 . A B C D E F 例 2、已知：如图，在ABC 中，BAC90 ，ADBC 于 D，CE 平分 BCA 交 AD 于 E，AF 平分BAD 交 BD 于 F 求证： CF2CDCB； EFAB 分析 ：（1） 由题意容易看出 CA2CD CB， 故
