1、. 第一章第一章 因式分解因式分解 第第 2 讲讲 十字相乘法十字相乘法-精讲深剖精讲深剖 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及 各种恒等变形中起着重要的作用,是继续高中数学学习的一项基本技能。 因式分解的方法较多, 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外, 还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。 【知识梳理知识梳理】 1.乘法公式:初中已经学习过了下列乘法公式:来源:163文库来源:学.科.网 Z.X.X.K (1)平方差公式 22 ()()ab abab?; (2)完全平方公式 222
2、 ()2abaabb? (3)立方和公式 2233 ()()ab aabbab?; (4)立方差公式 2233 ()()ab aabbab?; 2把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式 3因式分解与整式乘法的区别和联系:因式分解与整式乘法是互逆关系 (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 4因式分解的思路: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;学科+网 (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整
3、式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内(比如有理数范围内)不能再分解为止 5因式分解的解题步骤:一提(公因式)、二套(平方差公式,完全平方公式) 、三检查(彻底分解) 来 源:学#科#网 【精讲深剖精讲深剖】 1对于二次项系数为对于二次项系数为 1 的二次三项式的二次三项式 2 ()xp q xpq+型的因式分解型的因式分解来源来源:163文库 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:二次项系数是 1;常数项是两个数之积;一次项 系数是常数项的两个因数之和。 . 即; 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq?
4、 注:这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数, 通常借助画十字交叉线的办法来确定,故称为十字相乘法。 【典例解析】【典例解析】把下列各式因式分解: (1) 2 56xx?; (2) 2 1312xx?; (3) 2 524xx?; 【变式训练变式训练】 1.把下列各式因式分解: (1)?65 2 xx_。 (2) 2 76xx+ =_。 (3)?65 2 xx_。 (4)?65 2 xx_。 (5)?axax1 2 _。 (6)?1811 2 xx_。 (7) 2 12xx-+-_。 (8) 22 6xxyy?_。 (9)若?42 2 ?xxb
5、axx则 ?a, ?b。 (10)? 3 4 2 ?xxxx 2对于对于一般二次三项式一般二次三项式 2 axbxc?型的因式分解型的因式分解 因为, 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xaca c xcc? 反过来,就得到; 2 1 21 22 11 21122 ()()()aa xaca c xcca xca xc? 我们发现,二次项系数a分解成 12 a a,常数项c分解成 1 2 c c,把 1212 , ,a a c c写成 11 22 ac ac ?,这里按斜 线交叉相乘, 再相加, 就得到 1 22 1 a ca c?, 如果它正好等于 2
6、axbxc?的一次项系数b, 那么 2 axbxc? 就可以分解成 1122 ()()a xca xc?,其中 11 ,a c位于上一行, 22 ,a c位于下一行。 . 【典例解析】【典例解析】把下列各式因式分解:学科+网 (1) 2 1252xx?; (2) 22 568xxyy? 【变式训练变式训练】 1.把下列各式分解因式: (1) 22 45mmnn?; (2) 42 718xx? ; (3) 2 673xx?; (4) 22 3352baba?; (5) 22 82615xxyy? ; (6) 2 7()5()2abab? 来源:学,科,网 给我最大快乐的,不是已懂得知识,而是不断的学 习;不是已有的东西,而是不断的获取;不是已达到 的高度,而是继续不断的攀登。-高斯